2021届高考数学（文）二轮专题七 数列 学案

数列的考查主要分为三种，第一种考的是等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差等比数列中项的性质、判断与证明；第二种数列求和的考查，主要以解答题的形式出现，一般求和方法有：分组求和、错位相减、裂项相消等；第三种是数列与其他知识的综合考查，例如数列与函数、不等式结合来探究数列中的最值和不等式的证明．

等差数列的通项公式：

等差中项：，若，则

等差数列的求和公式：，

等比数列的通项公式：

等比中项：，若，则

等比数列的求和公式：

前项和与第项的关系：

一、选择题．

1．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列的前项和为，若则（    ）

A． B． C． D．

3．已知等比数列的首项为，前项和为，若，则公比（    ）

A．2 B． C． D．

4．在数列中，对任意，都有，则等于（    ）

A． B． C． D．

5．设等差数列和的前项和分别为和，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知数列满足，，则的值为（    ）

A． B． C．3 D．6

二、解答题．

7．已知公比大于0的等比数列的前项和为，，是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

8．已知数列是公差为的等差数列，且是的等比中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，求数列的前n项和．

9．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列．

（1）求数列通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

一、填空题．

1．设数列的前项和为，若，则_________．

2．数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是_________．

一、填空题．

1．各项均为正数的等比数列，若，则_________．

2．已知等比数列的前项和为，则数列的通项公式__________．

3．已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，

则_________．

4．在等差数列中，为其前项的和，若，，则________．

5．数列中，，若，则________．

二、解答题．

6．等差数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

7．已知是递增的等差数列，，是方程的根．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

8．等比数列的各项均为正数，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】由，得，解得，．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查了推理能力与计算能力，是基础题．

2．【答案】A

【解析】因为等差数列的前项和为，

所以，所以，

所以，故选A．

【点评】本题的考查点为数列的前项和公式，以及等差中项，属于基础题．

3．【答案】D

【解析】当公比时，，不满足题意；

当时，，，

所以，解得，故选D．

【点评】本题主要考查了等比数列前项和的计算、通项公式，属于基础题．

4．【答案】A

【解析】由，得，即数列是以为公比的等比数列，

，故选A．

【点评】本题考查了等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题型．

5．【答案】A

【解析】由题意可得，，

则，解得，故选A．

【点评】本题考查等差数列的前项和，等差数列的前项和性质：

是等差数列，是其前项和，则

（1）是等差数列，

（2）．

6．【答案】A

【解析】因为，，所以，，

，，，

故选A．

【点评】本题主要考查了等差数列定义及基本量的计算，属于基础题．

二、解答题．

7．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设数列的公比为，

由题意知，即，

化简得，

因为，所以．

所以．

（2）由（1）可知．

所以，①     ，②

由，可得，

所以．

【点评】数列求和的方法技巧

（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

8．【答案】（1）当时，；当时，；（2）．

【解析】（1）是的等比中项，

，即，

整理得，解得或．

当时，；

当时，．

（2）由（1）知，当时，，

，

．

【点评】本题主要考查等差数列通项公式和裂项相消法求前n项和，涉及到等比中项，属于中档题．

9．【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，

由题意，得，解得或，

所以或．

（2）当时，，

此时；

当时，，

此时．

【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用．

一、填空题．

1．【答案】

【解析】由题意，数列满足，

当时，，

两式相减可得，即，可得，

令，可得，即，可得，

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以，故答案为．

【点评】本题考查了通项与前项和公式关系，但要注意在运算时，前提为．

2．【答案】

【解析】记，设，

当时，；

当时，．

当时，也满足上式，所以，即．

显然当时，，，

当时，，因此的最大值若存在，必为正值．

当时，，

因为，当且仅当时取等号，

所以的最大值为．

故，变形得，

而，当且仅当时取等号，所以．

故答案为．

【点评】本题主要考查与的关系应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记，设，利用通项与前项和的关系，

求出通项，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．

一、填空题．

1．【答案】2

【解析】由各项均为正数的等比数列得，

所以．

故答案为2．

【点评】应用等比数列性质解题时的2个关注点：

（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，

则”，可以减少运算量，提高解题速度；

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

2．【答案】

【解析】由得，

当时，，

当时，，，所以，

当时，，

因为数列是等比数列，所以，即，所以，

，公比，

所以．

故答案为．

【点评】本题数列前项和与通项的关系，属于基础题型．

3．【答案】

【解析】，故答案为．

【点评】本题考查了等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理应用．

4．【答案】144

【解析】设等差数列的公差为d，则，解得，，

，故答案为144．

【点评】本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题．

5．【答案】3

【解析】因为，所以，

所以，是等比数列，公比为2．

所以．

因为，

所以，故答案为3．

【点评】本题主要考查等比数列的定义，前项和公式的应用，属于基础题．

二、解答题．

6．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为d，则．

因为，所以，解得，，

所以的通项公式为．

（2），

所以．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．【答案】（1）；（2）．

【解析】方程的两根为2，3，

由题意得，．

设数列的公差为，则，故，从而得．

所以的通项公式为．

（2）设的前n项和为，

由（1）知，

则，，

两式相减得，

所以．

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．

8．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），即，所以，

又因为，所以，

又因为，所以，所以，

所以．

（2）因为，所以，

，

设数列的前项和为，

则，

所以的前项和为．

【点评】裂项相消时注意前后的保留项

（1）前面保留的项数和后面保留的项数要一致；

（2）裂项相消时注意常数的提取，一般情况下分母的差是几，所提常数就是几．