2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月周练数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月周练数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式中S的值不可以用算法求解的是( )
A.S=1+2+3+4B.S=1+2+3+4+…
C.S=1+12+13+...+1100D.S=12+22+32+...+1002

2. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=−4时的值时，v3的值为( )
A.−845B.220C.−57D.34

3. 在下列各数中，最大的数是( )
A.85(9)B.210(6)C.1000(4)D.11111(2)

4. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为( )
A.45B.85C.415D.815

5. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，⋯，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495住在第II营区，从496到600在第III营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26，16，8B.25，17，8C.25，16，9D.24，17，9

6. 如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112μg/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的是（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

7. 在一次实验中，测得(x, y)的四组值为(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, 5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）
A.y=x+1B.y=x+2C.y=2x+1D.y=x−1

8. 给出计算 12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A.i>10B.i<10C.i>20D.i<20

9. 设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（ ）
A.32B.33C.54D.53

10. 若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆x2+y2=(b2+c)2（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A.(55,35)B.(25,55)C.(25,35)D.(0,55)
二、填空题

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l，过M(1, 0)且斜率为3的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM→=MB→，则p=________．
三、解答题

自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口．某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：

(1)求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a（回归方程系数精确到0.1）；

(2)某同学认为y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为y=−311x2+10x+68．经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由．
附：b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯．

某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售．为了更好的销售，现随机摘下了100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[200, 500]内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如图所示：

(1)按分层抽样的方法从质量落在[350, 400)，[400, 450)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量都不小于400克的概率；

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有10000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：
甲：所有脐橙均以10元/千克收购；
乙：低于350克的脐橙以2元/个收购，高于或等于350克的以5元/个收购．
请通过计算为该果园选择收益最好的方案．
(参考数据：225×0.05+275×0.16+325×0.24
+375×0.3+425×0.2+475×0.05=354.5)

已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列．
(1)当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；

(2)设点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点．当|PQ|=367时，求|MN|的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月周练数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
算法的概念
【解析】
由算法的概念可知：算法是在有限步内完成的，结果明确性，每一步操作明确的，即可判断A，B，C，D的正误．
【解答】
解：由算法的概念可知：求解某一类问题的算法必须是有限步的，
对于A，S=1+2+3+4，可四步完成；
对于B，S=1+2+3+4+…，不知其多少步完成；
对于C，S=1+12+13+...+1100，可100步完成；
对于D，S=12+22+32+...+1002，可100步完成；
所以S的值不可以用算法求解的是B．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
秦九韶算法
【解析】
首先把一个n次多项式f(x)写成(…（(a[n]x+a[n−1])x+a[n−2]）x+...+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V3的值．
【解答】
解：∵ f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6
=(((((3x+5)x+6)x+79)x−8)x+35)x+12，
∴ v0=a6=3，
v1=v0x+a5=3×(−4)+5=−7，
v2=v1x+a4=−7×(−4)+6=34，
v3=v2x+a3=34×(−4)+79=−57，
∴ v3的值为−57.
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
进位制
【解析】
欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．
【解答】
解：将4个选项中的数化为十进制数：
85(9)=8×91+5×90=77；
210(6)=2×62+1×61+0×60=78；
1000(4)=1×43+0×42+0×41+0×40=64；
11111(2)=1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=31．
故210(6)最大.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
秦九韶算法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意，p＝10，S=10(10−a)(10−b)(10−c)=20(10−a)(10−b)，利用基本不等式，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，p＝10，
S=10(10−a)(10−b)(10−c)
=20(10−a)(10−b)
≤20⋅10−a+10−b2=85，
∴ 此三角形面积的最大值为85．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．
【解答】
解：从600名学生中抽取容量为50的样本，
组距是60050=12.
又抽得第一个号码为003，
则3+12(k−1)≤300，
∴ k≤912+25，
∴ 从001到300应抽取的人数是25.
同理可得，从301到495应抽取的人数是42−25=17，
从496到600应抽取的人数是50−42=8，
即三个营区被抽中的人数依次为25，17，8．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
众数、中位数、平均数
【解析】
根据折线统计图提供的信息，逐一分析，即可解答．
【解答】
解：由图1可知，18日的PM2.5浓度为25μg/m3，浓度最低，故①正确；
这六天中PM2.5浓度的中位数是67+922=79.5μg/m3，故②错误；
∵ 当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，
∴ 18日、19日、20日、23日空气质量为“优良”，
故③正确；
空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．
【解答】
解：∵ x¯=1+2+3+44=2.5，
y¯=2+3+4+54=3.5，
∴ 这组数据的样本中心点是(2.5, 3.5)，
把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．
【解答】
解：根据框图，i−1表示加的项数，
当加到120时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，
i−1=10执行“是”，
所以判断框中的条件是“i>10”.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由题设知EF2＝b，且EF1⊥EF2，再由E在椭圆上，知EF1+EF2＝2a．由F1F2＝2c，知4c2＝(2a−b)2+b2．由此能求出椭圆的离心率．
【解答】
解：∵ F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，
与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，
∴ |EF2|=b，且EF1⊥EF2，
∵ E在椭圆上，∴ |EF1|+|EF2|=2a．
又∵ |F1F2|=2c，∴ |F1F2|2=|EF1|2+|EF2|2，
即4c2=(2a−b)2+b2．
将c2=a2−b2代入得b=23a．
e2=c2a2=a2−b2a2=1−(ba)2=59．
∴ 椭圆的离心率e=53．
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由题设知b2+c>bb2+cb，得2c>b，再平方，4c2>b2，e=ca>55；由b2+c【解答】
解：∵ 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆x2+y2=(b2+c)2（c为椭圆的半焦距）的中心都在原点，
且它们有四个交点，
∴ 圆的半径b2+c>b,b2+c由b2+c>b，得2c>b，再平方，4c2>b2，
在椭圆中，a2=b2+c2<5c2，
∴ e=ca>55；
由b2+c再平方，b2+4c2+4bc<4a2，
∴ 3c2+4bc<3a2，
∴ 4bc<3b2，
∴ 4c<3b，
∴ 16c2<9b2，
∴ 16c2<9a2−9c2，
∴ 9a2>25c2，
∴ c2a2<925，
∴ e<35．
综上所述，55故选A.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
抛物线的性质
【解析】
设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+(−6−2p)x+3＝0，进而根据AM→=MB→，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】
解：设直线AB:y=3x−3，
代入y2=2px得3x2+(−6−2p)x+3=0，
又∵ AM→=MB→，即M为AB的中点，
∴ xB+(−p2)=2，即xB=2+p2，
得p2+4p−12=0，
解得p=2或p=−6（舍去）.
故答案为：2.
三、解答题
【答案】
解：(1)由表格计算可得m=5.5，n=112.1，
由最小二乘法公式求得b=570.582.5≈6.9，a=112.1−6.9×5.5=74.2，
即所求回归方程为y=6.9x+74.2；
(2)由(1)可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为：y=6.9×11+74.2=150.1（万个），
用题中的二次函数模型y=−311x2+10x+68求得该企业第11天的产量为：−311×112+10×11+68=145（万个），
与第11天的实际数据进行比较发现：|150.1−145.3|>|145−145.3|．
所以用二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
考查线性回归方程及学生的运算能力．
考查回归方程的拟合及其应用．
【解答】
解：(1)由表格计算可得m=5.5，n=112.1，
由最小二乘法公式求得b=570.582.5≈6.9，a=112.1−6.9×5.5=74.2，
即所求回归方程为y=6.9x+74.2；
(2)由(1)可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为：y=6.9×11+74.2=150.1（万个），
用题中的二次函数模型y=−311x2+10x+68求得该企业第11天的产量为：−311×112+10×11+68=145（万个），
与第11天的实际数据进行比较发现：|150.1−145.3|>|145−145.3|．
所以用二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好．
【答案】
解：(1)由题意知脐橙在[350, 400)，[400, 450)的比例为3:2，
故应分别在质量为[350, 400)，[400, 450)的脐橙中各抽取3个和2个．
记抽取质量在[350, 400)的为A，B，C，质量在[400, 450)的为D，E，
则从这5个脐橙中随机抽取2个的方法共有以下10种：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，
其中2个脐橙质量都不小于400克的方法有1种．
故2个脐橙质量都不小于400克的概率为110.
(2)方案乙更好，理由如下：
由频率分布直方图知[200, 250),[250, 300),[300, 350),
[350, 400),[400, 450),[450, 500]的频率分别为：
0.05，0.16，0.24，0.3，0.2，0.05．
若用甲方案，由于各质量区间脐橙数量分别为
500，1600，2400，3000，2000，500．
故总收益为[225×0.05+275×0.16+325×0.24
+375×0.3+425×0.2+475×0.05]×10000÷1000×10
=35450(元)；
若用乙方案，脐橙低于350克的有
(0.05+0.16+0.24)×10000=4500(个)，
不低于350克的有5500个．则总收益为
4500×2+5500×5=36500(元)，
所以，乙方案收益更高，选择方案乙．
【考点】
频率分布直方图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
用样本的频率分布估计总体分布
用频率估计概率
【解析】
（1）应分别在质量为[350, 400)，[400, 450)的脐橙中各抽取3个和2个．记抽取质量在[350, 400)的为A，B，C，质量在[400, 450)的为D，E，从这5个脐橙中随机抽取2个，利用列举法能求出2个脐橙质量都不小于400克的概率．
（2）用甲方案，求出总收益35450元；用乙方案，求出总收益为36500元，从而乙方案收益更高，选择方案乙．
【解答】
解：(1)由题意知脐橙在[350, 400)，[400, 450)的比例为3:2，
故应分别在质量为[350, 400)，[400, 450)的脐橙中各抽取3个和2个．
记抽取质量在[350, 400)的为A，B，C，质量在[400, 450)的为D，E，
则从这5个脐橙中随机抽取2个的方法共有以下10种：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，
其中2个脐橙质量都不小于400克的方法有1种．
故2个脐橙质量都不小于400克的概率为110．
(2)方案乙更好，理由如下：
由频率分布直方图知[200, 250),[250, 300),[300, 350),
[350, 400),[400, 450),[450, 500]的频率分别为：
0.05，0.16，0.24，0.3，0.2，0.05．
若用甲方案，由于各质量区间脐橙数量分别为
500，1600，2400，3000，2000，500．
故总收益为[225×0.05+275×0.16+325×0.24
+375×0.3+425×0.2+475×0.05]×10000÷1000×10
=35450(元)；
若用乙方案，脐橙低于350克的有
(0.05+0.16+0.24)×10000=4500(个)，
不低于350克的有5500个．则总收益为
4500×2+5500×5=36500(元)，
所以，乙方案收益更高，选择方案乙．
【答案】
解：(1)设C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其半焦距为c(c>0)，
则C2:y2=4cx．
由条件知(2b)2=2a(a2c−c)，得a=2c，
所以C1的右准线方程为x=a2c，即x=4c.
又C2的准线方程为x=−c，
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=33，
从而C1:x236+y227=1，C2:y2=12x．
(2)由题设知l:y=x−c，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，P(x3, y3)，Q(x4, y4)．
由(1)知C1：x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2=12c2．
由3x2+4y2=12c2,y=x−c知x3，x4满足7x2−8cx−8c2=0，
从而|PQ|=(x3−x4)2+(y3−y4)2
=2|x3−x4|=247c．
由条件|PQ|=367，得c=32，故C2:y2=6x．
由y2=6x,y=x−32得x2−9x+94=0，所以x1+x2=9．
于是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=12．
【考点】
椭圆的标准方程
抛物线的标准方程
抛物线的性质
两点间的距离公式
【解析】
（1）先设C1、C2的标准方程，进而可得到a=2c，再求出C1的右准线方程、C2的准线方程，根据C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列求出a，b，c的值，得到答案．
（2）先表示出直线l的方程，然后设M、N、P、Q四点的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程进而得到两根之和、两根之积再由|PQ|=367可求出c的值，最后联立直线和抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，同样可得到两根之和根据是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c可最后答案．
【解答】
解：(1)设C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其半焦距为c(c>0)，
则C2:y2=4cx．
由条件知(2b)2=2a(a2c−c)，得a=2c，
所以C1的右准线方程为x=a2c，即x=4c.
又C2的准线方程为x=−c，
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=33，
从而C1:x236+y227=1，C2:y2=12x．
(2)由题设知l:y=x−c，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，P(x3, y3)，Q(x4, y4)．
由(1)知C1：x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2=12c2．
由3x2+4y2=12c2,y=x−c知x3，x4满足7x2−8cx−8c2=0，
从而|PQ|=(x3−x4)2+(y3−y4)2
=2|x3−x4|=247c．
由条件|PQ|=367，得c=32，故C2:y2=6x．
由y2=6x,y=x−32得x2−9x+94=0，所以x1+x2=9．
于是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=12．第x天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
x¯
y¯
i=110xi−x¯2
i=110yi−y¯2
i=110xi−x¯yi−y¯
m
n
82.5
3998.9
570.5