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2020-2021学年广西柳州高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版
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这是一份2020-2021学年广西柳州高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合M={x|−1A.[1, 2]B.(−1, 1]C.[1, 2)D.(−∞, −1)
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3. 若a=0.40.5，b=0.50.4，c=lg0.50.4，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
4. 已知△ABC中，点E在CB的延长线上，且满足，则＝（ ）
A.B.C.D.
5. 已知角θ的终边在直线y＝−2x上，则cs2θ＝（ ）
A.B.C.D.
6. 若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的取值范围（ ）
A.[−3, 6]B.[6, 18]C.[−3, 18]D.[−18, 6]
7. 等差数列{an}的公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，且a2+a3=−4，则{an}前5项的和为（ ）
A.−24B.−15C.−20D.−30
8. 若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)lnx+2x，则f′(1)＝（ ）
A.0B.−1C.−2D.2
9. 新型冠状爆发期间，某专家为了解广西某中学学生一天自主学习的时间（单位，小时），随机抽查该校50名学生的学习时间；了解到以下数据：
根据频率分布表中的数据，可以估计该校50名中学生自主学习时间的平均值（精确到0.1）（ ）
A.4.7B.4.6C.4.5D.4.4
10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A.12πB.18πC.24πD.25π
11. 运行如图所示的程序框图，若输出S的值为224，则判断框中可以填（ ）
A.n<3B.n<2C.n<4D.n<5
12. 设双曲线C：(a>0, b>0)的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A.B.C.D.2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
各项均为正数的等比数列，若a1a9+2a5a6+a3a9＝4，则a6+a5＝________．
已知，，若，则＝________．
已知P为抛物线C:x2＝my(m>0)上一点，点P到C焦点的距离为1，到x轴的距离为，则m＝________．
在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直底面且底面△ABC为等边三角形且A1A＝2AB，E在棱AA1上，AE＝A，则异面直线AC1与BE所成角的余弦值________．
三、本大题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
设函数，x∈R．
（1）求函数f(x)的对称轴方程；
（2）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，a＝2，，求△ABC的周长．
现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；
(2)若采用分层抽样在月收入在[15,25)，[25,35)的被调查人中抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率．
参考公式：K2 = n(ad − bd)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60∘，SA＝SD＝，SB＝2，点E是棱AD的中点，点F是棱SC上靠近S的一个三等分点．
（1）求证：平面SBE⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥F−SEB的体积．
已知函数f(x)＝ex−x2−ax．
（1）当a＝−1时，求函数f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；
（2）当x>0时，f(x)≥1−x恒成立，求实数a的取值范围；
已知椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2，点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的一点，A(2, 0)，，O(0, 0)，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|⋅|BM|为定值．
选考题（10分，二选一）
已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P(1, 0)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．
设函数(a≠0)．
（1）当a＝1时，求不等式f(x)
（2）若恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西柳州某校高二（上）期末数学试卷（文科）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
进行交集的运算即可．
【解答】
∵ M={x|−1∴ M∩N=[1, 2)．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
化简复数z，写出，再写出的虚部．
【解答】
复数＝＝＝-i，
则＝+i，所以的虚部为．
3.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性直接求解．
【解答】
∵ 0<0.40.5<0.50.5<0.50.4<1＝lg0.50.5a=0.40.5，b=0.50.4，c=lg0.50.4，
∴ 实数a，b，c的大小关系为：c>b>a．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量的加法法则，可以直接运算．
【解答】
∵
∵ ，
∴ ＝3，
5.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
二倍角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
由约束条件作出可行域如图，
由x−2y−2＝0，取y＝0，可得x＝2，即B(2, 0)，
联立，解得A(−4, −3)，
作出直线3x+2y＝0，由图可知，平移直线3x+2y＝0，
当直线过A时，z有最小值为−18，当直线过B时，z取最大值为6．
∴ z＝3x+2y的取值范围是[−18, 6]．
7.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列与等比数列的综合
【解析】
利用等比数列性质、等差数列通项公式列出方程组，求出a1=1，d=−2，由此能求出{an}前5项的和．
【解答】
∵ 等差数列{an}的公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，且a2+a3=−4，
∴ (a1+2d)2＝(a1+d)(a1+5d)a1+d+a1+2d＝−4，
解得a1=1，d=−2，
∴ {an}前5项的和为：
S5=5+5×42×(−2)=−15．
8.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
先对f(x)进行求导，然后令x＝1，求解即可．
【解答】
因为f(x)＝2f′(1)lnx+2x，
则有f′(x)＝2f′(1)+2，
故f′(1)＝2f′(1)+2，
解得f′(1)＝−2．
故选：C．
9.
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
该校50名中学生自主学习时间的平均值为各组组中值与各组相应频率之积的和．
【解答】
该校50名中学生自主学习时间的平均值为：
＝(0.5×2+1.5×4+3.5×20+5.5×14+7.5×6+9.5×4)≈4.7，
10.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图和几何体的直观图之间的转换，进一步求出几何体的表面积．
【解答】
如图所示：
所以．
故选：C．
11.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句是利用循环结构计算当输出变量S＝224时，循环中变量n的变化情况，模拟程序的运行过程可得答案．
【解答】
S＝0，n＝7，运行该程序，
第一次，S＝27＝128，n＝6，不满足退出循环的条件；
第二次，S＝128+64＝192，n＝5，不满足退出循环的条件；
第三次，S＝192+32＝224，n＝4，满足退出循环的条件；
输出S的值为224时，n＝4<5，
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的渐近线方程，推出a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
双曲线C：(a>0, b>0)的渐近线方程为，
可得，
e＝＝＝＝2，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
【答案】
2
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
等比数列性质得，由此能求出结果．
【解答】
各项均为正数的等比数列，a1a9+2a5a6+a3a9＝4，
∴ a1a9+2a5a6+a3a9＝＝(a5+a6)2＝4，
∴ a6+a5＝2．
【答案】
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
向量的概念与向量的模
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得m的值，即可得的坐标，则可得3+的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，已知，，
若，则(−1)×m＝4，解得m＝−4，
则＝(2, −4)，
则有3+＝(−1, 2)，
故＝＝，
【答案】
1
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程，转化求解即可．
【解答】
P为抛物线C:x2＝my(m>0)上一点，点P到C焦点的距离为1，到x轴的距离为，
因为排位上的点到解得的距离与到准线y＝-的距离相等，
所以，
解得m＝1．
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由题意画出图形，取A1C1的中点F，连接EF，BF，设AB＝a，在三角形BEF中，由余弦定理求解．
【解答】
如图，
设AB＝a，则A1A＝2AB＝2a，
由AE＝A，得E为AA1的中点，取A1C1的中点F，AC中点G，
连接BE，EF，BF，FG，BG，
可得EF // AC1，
∴ ∠BEF（或其补角）为异面直线AC1与BE所成角，
求解三角形可得EF＝，BE＝，
BF＝，
在△BEF中，由余弦定理可得，cs∠BEF＝＝．
∴ 异面直线AC1与BE所成角的余弦值为．
三、本大题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
因为＝，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
可得函数f(x)的对称轴方程为，k∈Z．
因为锐角三角形△ABC，
所以，，
所以，，
又因为，，
所以，，
因为，
所以bc＝4，
又因为，
所以b+c＝4，
所以△ABC的周长为a+b+c＝6．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
（1）利用两角和差的正弦和余弦公式，进行化简，求出f(x)的解析式，结合三角函数的对称性质即可求f(x)的对称轴方程；
（2）由已知可求范围，根据已知可求，利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理可得b+c＝4，即可求解三角形的周长．
【解答】
因为＝，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
可得函数f(x)的对称轴方程为，k∈Z．
因为锐角三角形△ABC，
所以，，
所以，，
又因为，，
所以，，
因为，
所以bc＝4，
又因为，
所以b+c＝4，
所以△ABC的周长为a+b+c＝6．
【答案】
解：(1)由题意填2×2列联表如下，
由表中数据，计算K2 = 50 × (30 × 5 − 10 × 5)240 × 10 × 35 × 15 ≈ 2.38<6.635，
所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异.
(2)用分层抽样在月收入在[15, 25)，[25, 35)的被调查人中随机抽取6人，
则月收入在[15, 25)内有6 × 55 + 10 = 2（人），记为A，B，
在[25, 35)有6−2=4（人），记为c，d，e，f；
从这6人中抽取3人，基本事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef，cde，cdf，cef，def共20种，
这3人中至少收入在[15, 25)的事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef共16种，
故所求的概率值为P = 1620 = 45．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(1)由题意填列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2)用分层抽样法求出抽取的人数，再用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
【解答】
解：(1)由题意填2×2列联表如下，
由表中数据，计算K2 = 50 × (30 × 5 − 10 × 5)240 × 10 × 35 × 15 ≈ 2.38<6.635，
所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异.
(2)用分层抽样在月收入在[15, 25)，[25, 35)的被调查人中随机抽取6人，
则月收入在[15, 25)内有6 × 55 + 10 = 2（人），记为A，B，
在[25, 35)有6−2=4（人），记为c，d，e，f；
从这6人中抽取3人，基本事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef，cde，cdf，cef，def共20种，
这3人中至少收入在[15, 25)的事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef共16种，
故所求的概率值为P = 1620 = 45．
【答案】
证明：∵ E是AD的中点，
∴ SE⊥AD，
∴ BE⊥AD，
∵ BE⊂平面BEC，SE⊂平面BEC，且BE∩SE＝E，
∴ AD⊥平面SEB，
∵ AD⊂平面ABCD，
∴ 平面SBE⊥平面ABCD．
∵ AD // BC，
∴ BC⊥平面SEB，
∵ 点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，满足SA // 平面BEF，
∴ SA // FG，
∴ ，
∴ F到平面SBE的距离，
∴ 三棱锥F−SEB的体积．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
【解析】
（1）推导出SE⊥AD，BE⊥AD，从而AD⊥平面SEB，由此能证明平面SBE⊥平面ABCD．
（2）连结AC，设AC∩BE＝G，连结GF，由VF−SEB＝S△SBEBC，能求出三棱锥F−SEB的体积．
【解答】
证明：∵ E是AD的中点，
∴ SE⊥AD，
∴ BE⊥AD，
∵ BE⊂平面BEC，SE⊂平面BEC，且BE∩SE＝E，
∴ AD⊥平面SEB，
∵ AD⊂平面ABCD，
∴ 平面SBE⊥平面ABCD．
∵ AD // BC，
∴ BC⊥平面SEB，
∵ 点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，满足SA // 平面BEF，
∴ SA // FG，
∴ ，
∴ F到平面SBE的距离，
∴ 三棱锥F−SEB的体积．
【答案】
当a＝−1时，f(x)＝ex−x2+x，
f′(x)＝ex−2x+1，f′(1)＝e−1，f(1)＝e，
所以切线方程为y−e＝(e−1)(x−1)，即y＝(e−1)x−e+1．
当x>0时，f(x)≥1−x，即，
令(x>0)，
设F(x)＝ex−x−1，F′(x)＝ex−1，x∈(0, +∞)，
当x∈(0, +∞)，F′(x)>0，F(x)单调递增，
故F(x)>F(0)＝0，
所以当x∈(0, 1)，g′(x)<0，g(x)单调递减函数，
当x∈(1, +∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝e−1，
所以a【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）利用导数求出切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）将不等式转化为恒成立，令，利用导数求得g(x)min，从而求得a的取值范围．
【解答】
当a＝−1时，f(x)＝ex−x2+x，
f′(x)＝ex−2x+1，f′(1)＝e−1，f(1)＝e，
所以切线方程为y−e＝(e−1)(x−1)，即y＝(e−1)x−e+1．
当x>0时，f(x)≥1−x，即，
令(x>0)，
设F(x)＝ex−x−1，F′(x)＝ex−1，x∈(0, +∞)，
当x∈(0, +∞)，F′(x)>0，F(x)单调递增，
故F(x)>F(0)＝0，
所以当x∈(0, 1)，g′(x)<0，g(x)单调递减函数，
当x∈(1, +∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝e−1，
所以a【答案】
由题意可知，a2＝b2+c2，2c＝2且，
所以a＝2，，c＝1，
所以椭圆方程为；
证明：由（1）知，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，
设P(x0, y0)，则，且k，k，
所以直线PA的方程为，
当x＝0，得．从而|，
直线PB的方程为y＝，
令y＝0，得，从而|．
∴ ＝＝．
所以|AN|*|BM|为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由已知即可求出a，b，c，进而可以求解；（2）设出点P的坐标，代入椭圆的方程建立等式关系，由此即可求出直线AP，BP的斜率，进而可以求出直线AP，BP的方程，由此即可求出点M，N的坐标，从而可以求出|AN||BM|的关系式，进而可以求解．
【解答】
由题意可知，a2＝b2+c2，2c＝2且，
所以a＝2，，c＝1，
所以椭圆方程为；
证明：由（1）知，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，
设P(x0, y0)，则，且k，k，
所以直线PA的方程为，
当x＝0，得．从而|，
直线PB的方程为y＝，
令y＝0，得，从而|．
∴ ＝＝．
所以|AN|*|BM|为定值．
选考题（10分，二选一）
【答案】
直线l的参数方程为（t为参数），
消去t，可得x−y−1＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ．
由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，
可得x2+y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+y2＝1；
将直线l的参数方程为（t为参数），代入C的方程(x−1)2+y2＝1，
可得t2−1＝0，
设t1，t2是点A，B对应的参数值，
t1＝1，t2＝−1，则|PA|+|PB|＝|t1−t2|＝2．
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
（1）由代入法可得直线l的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得t的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．
【解答】
直线l的参数方程为（t为参数），
消去t，可得x−y−1＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ．
由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，
可得x2+y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+y2＝1；
将直线l的参数方程为（t为参数），代入C的方程(x−1)2+y2＝1，
可得t2−1＝0，
设t1，t2是点A，B对应的参数值，
t1＝1，t2＝−1，则|PA|+|PB|＝|t1−t2|＝2．
【答案】
当a＝1时，不等式f(x)等价为或或，
即为x∈⌀或3可得原不等式的解集为(3, 5)；
恒成立，即为−1≤f(x)min，
由f(x)＝|x−a|+|x−4|≥|x−a+4−x|＝|a−4|，当(x−a)(x−4)≤0时，取得等号，
可得−1≤|a−4|，
即为a−4≥−1，或a−4≤1−，
即≥0，或≤0，
解得a≥4或−1≤a<0或a<0或1≤a≤4，
综上可得a的取值范围是(−∞, 0)∪[1, +∞)．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
（1）由题意可得|x−1|+|x−4|（2）运用绝对值不等式的性质求得f(x)的最小值，可得−1≤|a−4|，再由绝对值不等式的解法，可得所求范围．
【解答】
当a＝1时，不等式f(x)等价为或或，
即为x∈⌀或3可得原不等式的解集为(3, 5)；
恒成立，即为−1≤f(x)min，
由f(x)＝|x−a|+|x−4|≥|x−a+4−x|＝|a−4|，当(x−a)(x−4)≤0时，取得等号，
可得−1≤|a−4|，
即为a−4≥−1，或a−4≤1−，
即≥0，或≤0，
解得a≥4或−1≤a<0或a<0或1≤a≤4，
综上可得a的取值范围是(−∞, 0)∪[1, +∞)．学习时间（）
(0, 1]
(1, 2]
(3, 4]
(5, 6]
(7, 8]
(9, 10]
人数
2
4
20
14
6
4
月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
30
5
35
不赞成
10
5
15
合计
40
10
50
月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
30
5
35
不赞成
10
5
15
合计
40
10
50
1. 已知集合M={x|−1
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3. 若a=0.40.5，b=0.50.4，c=lg0.50.4，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
4. 已知△ABC中，点E在CB的延长线上，且满足，则＝（ ）
A.B.C.D.
5. 已知角θ的终边在直线y＝−2x上，则cs2θ＝（ ）
A.B.C.D.
6. 若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的取值范围（ ）
A.[−3, 6]B.[6, 18]C.[−3, 18]D.[−18, 6]
7. 等差数列{an}的公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，且a2+a3=−4，则{an}前5项的和为（ ）
A.−24B.−15C.−20D.−30
8. 若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)lnx+2x，则f′(1)＝（ ）
A.0B.−1C.−2D.2
9. 新型冠状爆发期间，某专家为了解广西某中学学生一天自主学习的时间（单位，小时），随机抽查该校50名学生的学习时间；了解到以下数据：
根据频率分布表中的数据，可以估计该校50名中学生自主学习时间的平均值（精确到0.1）（ ）
A.4.7B.4.6C.4.5D.4.4
10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A.12πB.18πC.24πD.25π
11. 运行如图所示的程序框图，若输出S的值为224，则判断框中可以填（ ）
A.n<3B.n<2C.n<4D.n<5
12. 设双曲线C：(a>0, b>0)的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A.B.C.D.2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
各项均为正数的等比数列，若a1a9+2a5a6+a3a9＝4，则a6+a5＝________．
已知，，若，则＝________．
已知P为抛物线C:x2＝my(m>0)上一点，点P到C焦点的距离为1，到x轴的距离为，则m＝________．
在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直底面且底面△ABC为等边三角形且A1A＝2AB，E在棱AA1上，AE＝A，则异面直线AC1与BE所成角的余弦值________．
三、本大题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
设函数，x∈R．
（1）求函数f(x)的对称轴方程；
（2）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，a＝2，，求△ABC的周长．
现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；
(2)若采用分层抽样在月收入在[15,25)，[25,35)的被调查人中抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率．
参考公式：K2 = n(ad − bd)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60∘，SA＝SD＝，SB＝2，点E是棱AD的中点，点F是棱SC上靠近S的一个三等分点．
（1）求证：平面SBE⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥F−SEB的体积．
已知函数f(x)＝ex−x2−ax．
（1）当a＝−1时，求函数f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；
（2）当x>0时，f(x)≥1−x恒成立，求实数a的取值范围；
已知椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2，点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的一点，A(2, 0)，，O(0, 0)，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|⋅|BM|为定值．
选考题（10分，二选一）
已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P(1, 0)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．
设函数(a≠0)．
（1）当a＝1时，求不等式f(x)
（2）若恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西柳州某校高二（上）期末数学试卷（文科）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
进行交集的运算即可．
【解答】
∵ M={x|−1
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
化简复数z，写出，再写出的虚部．
【解答】
复数＝＝＝-i，
则＝+i，所以的虚部为．
3.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性直接求解．
【解答】
∵ 0<0.40.5<0.50.5<0.50.4<1＝lg0.50.5
∴ 实数a，b，c的大小关系为：c>b>a．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量的加法法则，可以直接运算．
【解答】
∵
∵ ，
∴ ＝3，
5.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
二倍角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
由约束条件作出可行域如图，
由x−2y−2＝0，取y＝0，可得x＝2，即B(2, 0)，
联立，解得A(−4, −3)，
作出直线3x+2y＝0，由图可知，平移直线3x+2y＝0，
当直线过A时，z有最小值为−18，当直线过B时，z取最大值为6．
∴ z＝3x+2y的取值范围是[−18, 6]．
7.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列与等比数列的综合
【解析】
利用等比数列性质、等差数列通项公式列出方程组，求出a1=1，d=−2，由此能求出{an}前5项的和．
【解答】
∵ 等差数列{an}的公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，且a2+a3=−4，
∴ (a1+2d)2＝(a1+d)(a1+5d)a1+d+a1+2d＝−4，
解得a1=1，d=−2，
∴ {an}前5项的和为：
S5=5+5×42×(−2)=−15．
8.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
先对f(x)进行求导，然后令x＝1，求解即可．
【解答】
因为f(x)＝2f′(1)lnx+2x，
则有f′(x)＝2f′(1)+2，
故f′(1)＝2f′(1)+2，
解得f′(1)＝−2．
故选：C．
9.
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
该校50名中学生自主学习时间的平均值为各组组中值与各组相应频率之积的和．
【解答】
该校50名中学生自主学习时间的平均值为：
＝(0.5×2+1.5×4+3.5×20+5.5×14+7.5×6+9.5×4)≈4.7，
10.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图和几何体的直观图之间的转换，进一步求出几何体的表面积．
【解答】
如图所示：
所以．
故选：C．
11.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句是利用循环结构计算当输出变量S＝224时，循环中变量n的变化情况，模拟程序的运行过程可得答案．
【解答】
S＝0，n＝7，运行该程序，
第一次，S＝27＝128，n＝6，不满足退出循环的条件；
第二次，S＝128+64＝192，n＝5，不满足退出循环的条件；
第三次，S＝192+32＝224，n＝4，满足退出循环的条件；
输出S的值为224时，n＝4<5，
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的渐近线方程，推出a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
双曲线C：(a>0, b>0)的渐近线方程为，
可得，
e＝＝＝＝2，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
【答案】
2
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
等比数列性质得，由此能求出结果．
【解答】
各项均为正数的等比数列，a1a9+2a5a6+a3a9＝4，
∴ a1a9+2a5a6+a3a9＝＝(a5+a6)2＝4，
∴ a6+a5＝2．
【答案】
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
向量的概念与向量的模
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得m的值，即可得的坐标，则可得3+的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，已知，，
若，则(−1)×m＝4，解得m＝−4，
则＝(2, −4)，
则有3+＝(−1, 2)，
故＝＝，
【答案】
1
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程，转化求解即可．
【解答】
P为抛物线C:x2＝my(m>0)上一点，点P到C焦点的距离为1，到x轴的距离为，
因为排位上的点到解得的距离与到准线y＝-的距离相等，
所以，
解得m＝1．
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由题意画出图形，取A1C1的中点F，连接EF，BF，设AB＝a，在三角形BEF中，由余弦定理求解．
【解答】
如图，
设AB＝a，则A1A＝2AB＝2a，
由AE＝A，得E为AA1的中点，取A1C1的中点F，AC中点G，
连接BE，EF，BF，FG，BG，
可得EF // AC1，
∴ ∠BEF（或其补角）为异面直线AC1与BE所成角，
求解三角形可得EF＝，BE＝，
BF＝，
在△BEF中，由余弦定理可得，cs∠BEF＝＝．
∴ 异面直线AC1与BE所成角的余弦值为．
三、本大题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
因为＝，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
可得函数f(x)的对称轴方程为，k∈Z．
因为锐角三角形△ABC，
所以，，
所以，，
又因为，，
所以，，
因为，
所以bc＝4，
又因为，
所以b+c＝4，
所以△ABC的周长为a+b+c＝6．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
（1）利用两角和差的正弦和余弦公式，进行化简，求出f(x)的解析式，结合三角函数的对称性质即可求f(x)的对称轴方程；
（2）由已知可求范围，根据已知可求，利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理可得b+c＝4，即可求解三角形的周长．
【解答】
因为＝，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
可得函数f(x)的对称轴方程为，k∈Z．
因为锐角三角形△ABC，
所以，，
所以，，
又因为，，
所以，，
因为，
所以bc＝4，
又因为，
所以b+c＝4，
所以△ABC的周长为a+b+c＝6．
【答案】
解：(1)由题意填2×2列联表如下，
由表中数据，计算K2 = 50 × (30 × 5 − 10 × 5)240 × 10 × 35 × 15 ≈ 2.38<6.635，
所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异.
(2)用分层抽样在月收入在[15, 25)，[25, 35)的被调查人中随机抽取6人，
则月收入在[15, 25)内有6 × 55 + 10 = 2（人），记为A，B，
在[25, 35)有6−2=4（人），记为c，d，e，f；
从这6人中抽取3人，基本事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef，cde，cdf，cef，def共20种，
这3人中至少收入在[15, 25)的事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef共16种，
故所求的概率值为P = 1620 = 45．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(1)由题意填列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2)用分层抽样法求出抽取的人数，再用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
【解答】
解：(1)由题意填2×2列联表如下，
由表中数据，计算K2 = 50 × (30 × 5 − 10 × 5)240 × 10 × 35 × 15 ≈ 2.38<6.635，
所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异.
(2)用分层抽样在月收入在[15, 25)，[25, 35)的被调查人中随机抽取6人，
则月收入在[15, 25)内有6 × 55 + 10 = 2（人），记为A，B，
在[25, 35)有6−2=4（人），记为c，d，e，f；
从这6人中抽取3人，基本事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef，cde，cdf，cef，def共20种，
这3人中至少收入在[15, 25)的事件是ABc，ABd，ABe，ABf，Acd，Ace，Acf，Ade，Adf，Aef，
Bcd，Bce，Bcf，Bde，Bdf，Bef共16种，
故所求的概率值为P = 1620 = 45．
【答案】
证明：∵ E是AD的中点，
∴ SE⊥AD，
∴ BE⊥AD，
∵ BE⊂平面BEC，SE⊂平面BEC，且BE∩SE＝E，
∴ AD⊥平面SEB，
∵ AD⊂平面ABCD，
∴ 平面SBE⊥平面ABCD．
∵ AD // BC，
∴ BC⊥平面SEB，
∵ 点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，满足SA // 平面BEF，
∴ SA // FG，
∴ ，
∴ F到平面SBE的距离，
∴ 三棱锥F−SEB的体积．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
【解析】
（1）推导出SE⊥AD，BE⊥AD，从而AD⊥平面SEB，由此能证明平面SBE⊥平面ABCD．
（2）连结AC，设AC∩BE＝G，连结GF，由VF−SEB＝S△SBEBC，能求出三棱锥F−SEB的体积．
【解答】
证明：∵ E是AD的中点，
∴ SE⊥AD，
∴ BE⊥AD，
∵ BE⊂平面BEC，SE⊂平面BEC，且BE∩SE＝E，
∴ AD⊥平面SEB，
∵ AD⊂平面ABCD，
∴ 平面SBE⊥平面ABCD．
∵ AD // BC，
∴ BC⊥平面SEB，
∵ 点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，满足SA // 平面BEF，
∴ SA // FG，
∴ ，
∴ F到平面SBE的距离，
∴ 三棱锥F−SEB的体积．
【答案】
当a＝−1时，f(x)＝ex−x2+x，
f′(x)＝ex−2x+1，f′(1)＝e−1，f(1)＝e，
所以切线方程为y−e＝(e−1)(x−1)，即y＝(e−1)x−e+1．
当x>0时，f(x)≥1−x，即，
令(x>0)，
设F(x)＝ex−x−1，F′(x)＝ex−1，x∈(0, +∞)，
当x∈(0, +∞)，F′(x)>0，F(x)单调递增，
故F(x)>F(0)＝0，
所以当x∈(0, 1)，g′(x)<0，g(x)单调递减函数，
当x∈(1, +∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝e−1，
所以a
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）利用导数求出切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）将不等式转化为恒成立，令，利用导数求得g(x)min，从而求得a的取值范围．
【解答】
当a＝−1时，f(x)＝ex−x2+x，
f′(x)＝ex−2x+1，f′(1)＝e−1，f(1)＝e，
所以切线方程为y−e＝(e−1)(x−1)，即y＝(e−1)x−e+1．
当x>0时，f(x)≥1−x，即，
令(x>0)，
设F(x)＝ex−x−1，F′(x)＝ex−1，x∈(0, +∞)，
当x∈(0, +∞)，F′(x)>0，F(x)单调递增，
故F(x)>F(0)＝0，
所以当x∈(0, 1)，g′(x)<0，g(x)单调递减函数，
当x∈(1, +∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝e−1，
所以a
由题意可知，a2＝b2+c2，2c＝2且，
所以a＝2，，c＝1，
所以椭圆方程为；
证明：由（1）知，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，
设P(x0, y0)，则，且k，k，
所以直线PA的方程为，
当x＝0，得．从而|，
直线PB的方程为y＝，
令y＝0，得，从而|．
∴ ＝＝．
所以|AN|*|BM|为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由已知即可求出a，b，c，进而可以求解；（2）设出点P的坐标，代入椭圆的方程建立等式关系，由此即可求出直线AP，BP的斜率，进而可以求出直线AP，BP的方程，由此即可求出点M，N的坐标，从而可以求出|AN||BM|的关系式，进而可以求解．
【解答】
由题意可知，a2＝b2+c2，2c＝2且，
所以a＝2，，c＝1，
所以椭圆方程为；
证明：由（1）知，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，
设P(x0, y0)，则，且k，k，
所以直线PA的方程为，
当x＝0，得．从而|，
直线PB的方程为y＝，
令y＝0，得，从而|．
∴ ＝＝．
所以|AN|*|BM|为定值．
选考题（10分，二选一）
【答案】
直线l的参数方程为（t为参数），
消去t，可得x−y−1＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ．
由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，
可得x2+y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+y2＝1；
将直线l的参数方程为（t为参数），代入C的方程(x−1)2+y2＝1，
可得t2−1＝0，
设t1，t2是点A，B对应的参数值，
t1＝1，t2＝−1，则|PA|+|PB|＝|t1−t2|＝2．
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
（1）由代入法可得直线l的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得t的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．
【解答】
直线l的参数方程为（t为参数），
消去t，可得x−y−1＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ．
由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，
可得x2+y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+y2＝1；
将直线l的参数方程为（t为参数），代入C的方程(x−1)2+y2＝1，
可得t2−1＝0，
设t1，t2是点A，B对应的参数值，
t1＝1，t2＝−1，则|PA|+|PB|＝|t1−t2|＝2．
【答案】
当a＝1时，不等式f(x)
即为x∈⌀或3
恒成立，即为−1≤f(x)min，
由f(x)＝|x−a|+|x−4|≥|x−a+4−x|＝|a−4|，当(x−a)(x−4)≤0时，取得等号，
可得−1≤|a−4|，
即为a−4≥−1，或a−4≤1−，
即≥0，或≤0，
解得a≥4或−1≤a<0或a<0或1≤a≤4，
综上可得a的取值范围是(−∞, 0)∪[1, +∞)．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
（1）由题意可得|x−1|+|x−4|
【解答】
当a＝1时，不等式f(x)
即为x∈⌀或3
恒成立，即为−1≤f(x)min，
由f(x)＝|x−a|+|x−4|≥|x−a+4−x|＝|a−4|，当(x−a)(x−4)≤0时，取得等号，
可得−1≤|a−4|，
即为a−4≥−1，或a−4≤1−，
即≥0，或≤0，
解得a≥4或−1≤a<0或a<0或1≤a≤4，
综上可得a的取值范围是(−∞, 0)∪[1, +∞)．学习时间（）
(0, 1]
(1, 2]
(3, 4]
(5, 6]
(7, 8]
(9, 10]
人数
2
4
20
14
6
4
月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
30
5
35
不赞成
10
5
15
合计
40
10
50
月收入低于55百元的人数
月收入不低于55百元的人数
合计
赞成
30
5
35
不赞成
10
5
15
合计
40
10
50
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2020-2021学年广西高二（上）月考数学试卷（文科）（三）（12月份）人教A版： 这是一份2020-2021学年广西高二（上）月考数学试卷（文科）（三）（12月份）人教A版，共9页。试卷主要包含了解答题，共6题，共70分等内容，欢迎下载使用。
