2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“若x>2020，则x>0”的否命题是( )
A.若x>2020，则x≤0B.若x≤0，则x≤2020
C.若x≤2020，则x≤0D.若x>0，则x>2020

2. 已知△ABC中，角A，B的对边为a，b，a=1，b=3，B=120∘，则A等于( )
A.30∘或150∘B.60∘或120∘C.30∘D.60∘

3. 已知c>1，则不等式x2−(c+1c)x+1>0的解集为( )
A.{x|1c1c或x>c}C.{x|x<1c或x>c}D.{x|c
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+bc．若sin Bsin C=sin2A，则△ABC的形状是( )
A.等腰且非等边三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形

5. 已知等比数列an的前n项和为Sn ，如表给出了Sn的部分数据：
那么数列 an的第四项a4等于( )
A.8116B.278C.−8116或8116D.−278或278

6. 设变量x，y满足约束条件y≥x，x+3y≤4,x≥−2，则x−2y的最大值为（）
A.−1B.2C.−6D.4

7. 下列说法中，一定成立的是（）
A.若a>b，c>d，则ab>cdB.若1a>1b，则aC.若a>b，则a2>b2D.若|a|0

8. 若a，b为实数，则"b<1a"是“ab<1"的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME−7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=⋯=A7A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，⋯OAn，⋯的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )

A.an=n，n∈N∗B.an=n+1，n∈N∗
C.an=n，n∈N∗D.an=n2，n∈N∗

10. 给出下列结论：
①在△ABC中， sinA>sinB⇔a>b；
②常数列既是等差数列又是等比数列；
③数列 an的通项公式为 an=n2−kn+1，若an为递增数列，则k∈(−∞,2]；
④△ABC的内角A，B，C满足sinA:sinB:sinC=3:5:7，则△ABC为锐角三角形．
其中正确结论的个数为（）
A.0B.1C.2D.3

11. 已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C，则sinB+csB的取值范围是( )
A.(1, 1+32]B.[12, 1+32]C.(1, 2]D.[12, 2]

12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是( )
①若S10=0，则S2+S8=0；
②若S4=S12，则使Sn>0的最大的n为15；
③若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大；
④若S7A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

若实数 a， b∈0,1且ab=14，则11−a+21−b的最小值为________.
三、解答题

已知p:x2−7x+10<0，q:x2−4mx+3m2<0，其中m>0．
(1)若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；

(2)若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

在公比大于0的等比数列an中，已知a3a5=a4，且a2,3a4,a3成等差数列．
(1)求an的通项公式；

(2)已知Sn=a1a2⋯an，试问当n为何值时，Sn取得最大值，并求Sn的最大值．

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bsinB+C2=asinB．
(1)求角A；

(2)若a=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．

已知函数y=ax2+2ax+1的定义域为R．
(1)求a的取值范围．

(2)若函数的最小值为22，解关于x的不等式x2−x−a2−a<0．

十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员xx>0户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为3a−3x50a>0万元．
(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；

(2)在(1)的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．

已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，首项为a1，且12， an，Sn成等差数列．
(1)判断数列an是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由；

(2)若bn=−2lg2an, 设cn=bnan, 求数列cn的前n项和Tn；

(3)若不等式3n−28nTn≤14m2−m−1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，写出即可．
【解答】
解：根据命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，可知：
命题“若x>2020，则x>0”的否命题是若“x≤2020，则x≤0”.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．
【解答】
解：在△ABC中，a=1，b=3，B=120∘，
由正弦定理：asinA=bsinB，
可得sinA=a⋅sinBb=1×323=12，
∵ a∴ A∴ A=30∘．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
根据c>1得出1c<10的解集即可．
【解答】
解：∵ c>1，
∴ 1c<1不等式x2−(c+1c)x+1>0可化为(x−c)(x−1c)>0，
解得x<1c或x>c；
∴ 不等式的解集为{x|x<1c或x>c}．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得csA=12，可得A=π3．由sin B⋅sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．
【解答】
解：在△ABC中，∵ b2+c2=a2+bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
∵ A∈(0, π)，∴ A=π3．
∵ sin B⋅sin C=sin2A，
∴ bc=a2，
代入b2+c2=a2+bc，∴ (b−c)2=0，解得b=c．
∴ △ABC的形状是等边三角形．
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
由题意得等比数列an中， S1=a1=−1，a5=a1q4=S5−S4=−5516−138，且q<0，由此求出公式q，从而能求出结果．
【解答】
解：由题意得等比数列an中，
S1=a1=−1，a5=a1q4=S5−S4=−5516−138，且q<0，
∴a5=−q4=−8116，
解得q=−32，
∴ a4=−−323=278.
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义求解即可.
【解答】
解：作出变量x,y满足约束条件 y≥x，x+3y≤4，x≥−2，对应的平面区域如图：
由z=x−2y, 得y=12x−z2，
平移直线y=12x−z2，
当直线y=12x−z2经过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z最大，
由 x=−2x=y，解得B−2,−2，
此时z的最大值为 z=−2+2×2=2，
则x−2y的最大值为：2.
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用特殊值代入法排除A、B、C，利用不等式的基本性质b−|a|>0，可得 b>±a，从而得到 a+b>0，从而得出结论．
【解答】
解：A，不妨令a=−1，b=−2，c=4，d=1，满足a>b，c>d，但不满足ab>cd，故排除A；
B，不妨令a=1，b=−1，满足1a>1b，但不满足aC，不妨令a=−1，b=−2，满足a>b，但不满足 a2>b2，故排除C；
D，若|a|0，即 b>±a，∴ a+b>0，故D正确.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
利用特值即可判断其充分性与必要性均不成立即可得解.
【解答】
解：当b=−2，a=−1 时，满足b<1a ，但ab<1不成立，即充分性不成立；
当a=−1，b=2时，满足 ab<1，但b<1a不成立，即必要性不成立；
则“b<1a”是“ab<1”的既不充分也不必要条件.
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
归纳推理
等差关系的确定
【解析】
先归纳基本规律，再由数列知识求解．
【解答】
解：根据题意：OA1=A1A2=A2A3=⋯=A7A8=1，
∴ an2=an−12+1，
∴ {an2}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴ an2=n，
∴ an=n，n∈N∗.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
正弦定理
数列的概念及简单表示法
数列的函数特性
三角形的形状判断
【解析】
可通过相关定理或者举反例的方式逐项判定即可.
【解答】
解：对于①，在△ABC中，有asinA=bsinB=2R ，
由此可以判定sinA>sinB⇔a>b，故①正确；
对于②，常数列0是等差数列不是等比数列，故②错；
对于③，数列 an的通项公式为 an=n2−kn+1，则 an+1=(n+1)2−k(n+1）+1，
an+1−an=2n−k+1，
an为递增数列，则an+1−an>0，对于任意n∈N∗都成立，
即2n−k+1>0，即k<2n+1，
k只需小于2n+1的最小值即可，
易知当n=1时，2n+1的最小值为3，
故k∈−∞,3 ，故③错；
对于④，在△ABC中，满足sinA:sinB:sinC=3:5:7=a:b:c,
则32+52<72，
∴ △ABC为钝角三角形，故④错．
其中正确结论的个数为：1.
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
等比数列的性质
基本不等式在最值问题中的应用
两角和与差的正弦公式
【解析】
运用等比数列的中项定义和余弦定理，结合基本不等式可得csB的范围，进而得到B的范围，再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范围．
【解答】
解：由△ABC的三边a，b，c成等比数列，可得：
ac=b2=a2+c2−2accsB≥2ac−2accsB，
得csB≥12，
由0故B∈(0,π3]，
可得sinB+csB=2sin(B+π4)，
由B+π4∈(π4, 7π12]，
可得sin(B+π4)∈(22, 1]，
则sinB+csB∈(1,2]．
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可．
【解答】
解：①若S10=0，则S10=(a1+a10)×102=0，
则a1+a10=0，即2a1+9d=0，
则S2+S8=(2a1+d)+(8a1+28d)=10a1+29d≠0，不正确；
②若S4=S12，则S12−S4=0，
即a5+a6+⋯+a11+a12=4(a8+a9)=0.
由于a1>0，则a8>0，a9<0，
则有S15=15(a1+a15)2>0，S16=16(a1+a16)2=0，
故使Sn>0的最大的n为15，正确；
③若S15>0，S16<0，
则S15=15(a1+a15)2=15a8>0，S16=16(a1+a16)2=16(a8+a9)2<0，
则有a8>0，a9<0，
则{Sn}中S8最大，正确；
④若S70，
而S9−S8=a9，不能确定其符号，不正确.
故选B.
二、填空题
【答案】
4+423
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用基本不等式求解即可.
【解答】
解：由题意可得b=14a，
则11−a+21−b=11−a+21−14a
=11−a+8a4a−1=11−a+24a−1+2
=44−4a+24a−14−4a+4a−1×13+2
=136+44a−14−4a+24−4a4a−1+2
≥6+42+2=4+423，
当且仅当“a=1+224+22，b=2+22+42”时，等号成立.
故答案为： 4+423.
三、解答题
【答案】
解：(1)由x2−7x+10<0，解得2所以p:2又x2−4mx+3m2<0，其中m>0，解得m所以q:m当m=4时，q:4又p∧q为真，p，q都为真，
所以4故x的取值范围为(4,5).
(2)由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，¬p⇏¬q，
其逆否命题为p⇒q，q⇏p，
由(1)知，p:2所以m≤2,3m≥5,m>0,解得：53≤m≤2，
故实数m取值范围为[53，2].
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
（1）分别解出关于p，q的不等式，根据p∧q为真，p，q都为真，求出x的范围即可；
（2）由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，其逆否命题为p⇒q，求出m的范围即可．
【解答】
解：(1)由x2−7x+10<0，解得2所以p:2又x2−4mx+3m2<0，其中m>0，解得m所以q:m当m=4时，q:4又p∧q为真，p，q都为真，
所以4故x的取值范围为(4,5).
(2)由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，¬p⇏¬q，
其逆否命题为p⇒q，q⇏p，
由(1)知，p:2所以m≤2,3m≥5,m>0,解得：53≤m≤2，
故实数m取值范围为[53，2].
【答案】
解：(1)设an的公比为q，
由a3a5=a4，
得a4=1.
因为a2,3a4,a3成等差数列，
所以a2+a3=6a4，
则6q2−q−1=0，
解得q=12,a1=8．
所以an=812n−1=24−n.
(2)Sn=a1a2⋯an=23+2+1+⋯+(4−n)=2(7−n)n2，
当n=3或4时，Sn取得最大值，此时最大值为S3=S4=26=64.
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
未提供解析
未提供解析
【解答】
解：(1)设an的公比为q，
由a3a5=a4，
得a4=1.
因为a2,3a4,a3成等差数列，
所以a2+a3=6a4，
则6q2−q−1=0，
解得q=12,a1=8．
所以an=812n−1=24−n.
(2)Sn=a1a2⋯an=23+2+1+⋯+(4−n)=2(7−n)n2，
当n=3或4时，Sn取得最大值，此时最大值为S3=S4=26=64.
【答案】
解：(1)∵ bsinB+C2=asinB，
∴ 由正弦定理可得sinBsinπ−A2=sinAsinB，
∵ sinB≠0，
∴ csA2=sinA，即csA2=2sinA2csA2，
∵ A2∈(0, π2)，csA2≠0，
∴ sinA2=12，
∴ A2=π6，可得A=π3.
(2)∵ a=7，A=π3，
△ABC的面积为332=12bcsinA=34bc，
∴ 解得bc=6，
又∵ 由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
可得7=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−18，
∴ 解得b+c=5，
∴ △ABC的周长为5+7.
【考点】
正弦定理
二倍角的余弦公式
余弦定理
解三角形
【解析】
（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA2=12，结合A2的范围即可求解．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求解得bc＝6，进而根据余弦定理可求b+c＝5，即可得解△ABC的周长．
【解答】
解：(1)∵ bsinB+C2=asinB，
∴ 由正弦定理可得sinBsinπ−A2=sinAsinB，
∵ sinB≠0，
∴ csA2=sinA，即csA2=2sinA2csA2，
∵ A2∈(0, π2)，csA2≠0，
∴ sinA2=12，
∴ A2=π6，可得A=π3.
(2)∵ a=7，A=π3，
△ABC的面积为332=12bcsinA=34bc，
∴ 解得bc=6，
又∵ 由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
可得7=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−18，
∴ 解得b+c=5，
∴ △ABC的周长为5+7.
【答案】
解：(1)函数y=ax2+2ax+1的定义域为R，
∴ ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a=0时，1>0恒成立，满足题意；
当a≠0时，须a>0，Δ≤0，
即a>0，4a2−4a≤0，
解得0综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
(2)∵ 函数y的最小值为22，
∴ ax2+2ax+1≥22，a∈[0, 1]；
∴ ax2+2ax+1≥12；
当a=0时，不满足条件；
当0∴ 不等式x2−x−a2−a<0可化为x2−x−34<0，
解得−12∴ 不等式的解集是{x|−12【考点】
一元二次不等式的解法
函数的定义域及其求法
【解析】
（1）由函数y=ax2+2ax+1的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；
（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是12，求出a的值，代入不等式x2−x−a2−a<0，求解集即可．
【解答】
解：(1)函数y=ax2+2ax+1的定义域为R，
∴ ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a=0时，1>0恒成立，满足题意；
当a≠0时，须a>0，Δ≤0，
即a>0，4a2−4a≤0，
解得0综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
(2)∵ 函数y的最小值为22，
∴ ax2+2ax+1≥22，a∈[0, 1]；
∴ ax2+2ax+1≥12；
当a=0时，不满足条件；
当0∴ 不等式x2−x−a2−a<0可化为x2−x−34<0，
解得−12∴ 不等式的解集是{x|−12【答案】
解：(1)动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则200−x×[3×1+0.04x]≥200×3，
解得0(2)由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则3a−3x50⋅x≤200−x×3×1+0.04x,0化简得a≤0.02x+200x+7,a>0，
由于0.02x+200x+7>20.02x⋅200x+7=11，
当且仅当0.02x=200x，
即x=100时等号成立，
所以0【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：(1)动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则200−x×[3×1+0.04x]≥200×3，
解得0(2)由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则3a−3x50⋅x≤200−x×3×1+0.04x,0化简得a≤0.02x+200x+7,a>0，
由于0.02x+200x+7>20.02x⋅200x+7=11，
当且仅当0.02x=200x，
即x=100时等号成立，
所以0【答案】
解：(1)各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，首项为a1，且12， an，Sn成等差数列，
则12+Sn=2an①，
当n=1时，12+S1=2a1解得a1=12，
当n≥2时，12+Sn−1=2an−1②，
①−②得an=2an−2an−1，
整理得anan−1=2，
所以数列an是以a1=12为首项，2为公比的等比数列，
所以an=12⋅2n−1=2n−2，
故an=2n−2.
(2)由于an=2n−2，
所以bn=−2lg2an=4−2n，
由于cn=bnan,
则cn=4−2n2n−2=16−8n2n，
所以Tn=821+022+⋯+16−8n2n①
12Tn=822+023+⋯+16−8n2n+1②
①−②得：12Tn=4−8122+123+⋯+12n−16−8n2n+1，
=4−8⋅12(1−12n−1)1−12−16−8n2n+1
=4n2n，
故Tn=8n2n．
(3)设dn=3n−28n⋅Tn=3n−28n⋅8n2n=3n−22n，
则：dn+1−dn=3n+1−22n+1−3n−22n=5−3n2n+1，
当n=1，2，3时，d1=12，d2=1，d3=78，
当n>1时，5−3n2n+1<0，
故dn的最大值为1，
不等式3n−28nTn≤14m2−m−1对一切正整数n恒成立，
只需14m2−m−1≥1即可，
故m2−4m−8≥0，
解得m≥2+23或m≤2−23,
所以m的取值范围是m≥2+23或m≤2−23.
【考点】
等比数列的性质
数列递推式
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】

【解答】
解：(1)各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，首项为a1，且12， an，Sn成等差数列，
则12+Sn=2an①，
当n=1时，12+S1=2a1解得a1=12，
当n≥2时，12+Sn−1=2an−1②，
①−②得an=2an−2an−1，
整理得anan−1=2，
所以数列an是以a1=12为首项，2为公比的等比数列，
所以an=12⋅2n−1=2n−2，
故an=2n−2.
(2)由于an=2n−2，
所以bn=−2lg2an=4−2n，
由于cn=bnan,
则cn=4−2n2n−2=16−8n2n，
所以Tn=821+022+⋯+16−8n2n①
12Tn=822+023+⋯+16−8n2n+1②
①−②得：12Tn=4−8122+123+⋯+12n−16−8n2n+1，
=4−8⋅12(1−12n−1)1−12−16−8n2n+1
=4n2n，
故Tn=8n2n．
(3)设dn=3n−28n⋅Tn=3n−28n⋅8n2n=3n−22n，
则：dn+1−dn=3n+1−22n+1−3n−22n=5−3n2n+1，
当n=1，2，3时，d1=12，d2=1，d3=78，
当n>1时，5−3n2n+1<0，
故dn的最大值为1，
不等式3n−28nTn≤14m2−m−1对一切正整数n恒成立，
只需14m2−m−1≥1即可，
故m2−4m−8≥0，
解得m≥2+23或m≤2−23,
所以m的取值范围是m≥2+23或m≤2−23.n
1
2
3
4
5
6
…
Sn
−1
138
−5516