2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）9月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）9月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 椭圆x216+y29=1的焦距是( )
A.8B.6C.10D.27

2. 双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.23B.2C.3D.1

3. 椭圆x225+y29=1上一点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是原点，则|ON|的值为( )
A.4B.8C.3D.2

4. 双曲线x29−λ+y27−λ=1(7b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

7. 已知椭圆C：x23+y2=1内有一条以点P(1,13)为中点的弦AB，则直线AB的方程为( )
A.3x+3y−2=0B.3x+3y+2=0C.3x+3y+4=0D.3x+3y−4=0

8. 若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则OP→⋅FP→的最大值为（ ）
A.8B.6C.3D.2

9. 已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为( )
A.6−3B.2−2C.3−2D.2−1

10. 已知点O(0,0)，A(−2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|−|PB|=2，且P为函数y=34−x2图像上的点，则|OP|=( )
A.222B.4105C.7D.10

11. 已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,52)B.(1,5)C.(52,+∞)D.(5,+∞)

12. 已知椭圆C的方程为x22+y2=1，若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为( )
A.32B.14C.32−12D.2
二、填空题

已知椭圆C :x2a2+y2b2=1(a>b>0) 和直线 l:x4+y3=1 ，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为________.

已知双曲线x2m+y2n=1m≠n的离心率为233，则双曲线的两条渐近线所夹的锐角为________.

设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.

F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题


(1)求与椭圆x29+y24=1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程；

(2)△ABC的两个顶点坐标A−4,0，B4,0，它的周长是18，求顶点C的轨迹方程．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为42，短半轴的长为2，过点P(−2, 1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；

(2)求弦AB的长．

设A，B分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3．
(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y=33x−2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM→+ON→=tOD→，求t的值及点D的坐标．

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若在(2, 0)，(−2, 3)，(3, 32)，(3, −32)四个点中有3个在M上．
(1)求椭圆M的方程；

(2)若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且C(−4, 0)，求CA→⋅CB→的取值范围．

双曲线M:x2a2−y2b2=1过点P4,62，且它的渐近线方程是x±2y=0.
(1)求双曲线M的方程；

(2)设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为−3的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程．

已知A，B分别为椭圆E:x2a2+y2=1a>1的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→⋅GB→=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
根据椭圆标准方程得a2＝16，b2＝9．再根据椭圆基本量的关系得c=a2−b2=7，由此即可得到该椭圆的焦距．
【解答】
解：∵ 椭圆方程为x216+y29=1，
∴ a2=16，b2=9，
得c=a2−b2=7.
可得椭圆的焦距等于2c=27.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离．
【解答】
解：双曲线x24−y212=1的焦点为(4, 0)或(−4, 0)．
渐近线方程为y=3x或y=−3x．
由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，
d=|43+0|3+1=23．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
|MF2|＝10−2＝8，ON是△MF1F2的中位线，由此能求出|ON|的值．
【解答】
解：根据椭圆的定义得：|MF2|=8，
由于△MF2F1中，N，O是MF1，F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON|=4.
故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据70
解得 x=132，y=332，
即|OP|=134+274=10.
故选D.
11.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
点到直线的距离公式
【解析】
过点F1且与渐近线y=bax平行的直线为y=ba(x+c)，依题意，只需F2到直线y=ba(x+c)的距离大于a即可．即2bca2+b2>a⇒2bc>ac．即可求解．
【解答】
解：如图，过点F1且与渐近线y=bax平行的直线为y=ba(x+c)，
依题意，只需F2到直线y=ba(x+c)的距离大于a即可．
即2bca2+b2>a⇒2bc>ac．
⇒2b>a⇒4(c2−a2)>a2．
∴ 4c2>5a2．
∴ e=ca>52．
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
椭圆中的平面几何问题
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】

【解答】
解：四边形OBPF的面积为三角形OBF与三角形BFP的面积和，
三角形OBF的面积为定值12，要使三角形BFP的面积最大，则P到直线BF的距离最大.
设与直线BF平行的直线方程为y=−x+m，
联立y=−x+m，x22+y2=1，
可得3x2−4mx+2m2−2=0，
由Δ=16m2−4×3×2m2−2=0，
解得m=±3．
∵P为C上位于第一象限的动点，
∴取m=3，此时直线方程为y=−x+3．
则两平行线x+y=1与x+y−3=0的距离为d=3−12，
∴三角形BFP的面积最大值为S=12×2×3−12=32−12．
∴四边形OBPF（其中O为坐标原点）的面积的最大值是32−12+12=32．
故选A．
二、填空题
【答案】
45
【考点】
椭圆的离心率
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线l的斜率为−34，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，
所以bc=34.
又b2+c2=a2,
即(34c)2+c2=a2，
解得2516c2=a2，
所以e=ca=45.
故答案为：45.
【答案】
π3
【考点】
双曲线的离心率
两直线的夹角
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=233，
∴ ba=33，
∴ 双曲线的两条渐近线所夹的锐角为π3.
故答案为：π3.
【答案】
(3，15)
【考点】
椭圆的应用
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为M在椭圆上，设M横坐标为t，则M(t,180−5t29)；
又因为△MF1F2为等腰三角形且M在第一象限，
则MF1=F1F2，
由题意得F1F2=8.
(t+4)2+(180−5t29)2=64，
解得t=3或t=−21(舍去).
当t=3时，M的坐标为(3，15).
故答案为：(3，15).
【答案】
y=±6x
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的定义
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
根据双曲线的定义，可得|AF1|−|AF2|=2a，
∵ △ABF2是等边三角形，
∴ |AF2|=|AB|，
∴ |AF1|−|AB|=|BF1|=2a.
又∵ |BF2|−|BF1|=2a，
∴ |BF2|=|BF1|+2a=4a.
∵ △BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120∘，
∴ |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cs120∘.
即4c2=4a2+16a2−2×2a×4a×(−12)=28a2，
解得c2=7a2，则b=c2−a2=6a2=6a，
由此可得双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±6x.
故答案为：y=±6x.
三、解答题
【答案】
解：(1)由椭圆方程为x29+y24=1，知长半轴a1=3，短半轴b1=2，
焦距的一半c1=a12−b12=5，
∴焦点是F1−5,0，F25,0.
因此双曲线的焦点也是F1−5,0，F25,0.
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
由题设条件及双曲线的性质，得c=5，c2=a2+b2，ca=52，
解得a=2，b=1.
故所求双曲线的方程为x24−y2=1．
(2)∵AB+AC+BC=18，
∴AC+BC=10>AB，
定点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，
即2a=10，c=4，
∴b2=9，
∴x225+y29=1y≠0．
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由椭圆方程为x29+y24=1，知长半轴a1=3，短半轴b1=2，
焦距的一半c1=a12−b12=5，
∴焦点是F1−5,0，F25,0.
因此双曲线的焦点也是F1−5,0，F25,0.
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
由题设条件及双曲线的性质，得c=5，c2=a2+b2，ca=52，
解得a=2，b=1.
故所求双曲线的方程为x24−y2=1．
(2)∵AB+AC+BC=18，
∴AC+BC=10>AB，
定点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，
即2a=10，c=4，
∴b2=9，
∴x225+y29=1y≠0．
【答案】
解：(1)由已知可得：2c=42，b=2，a2=b2+c2，
联立解得：c=22，b=2，a2=12．
∴ 椭圆C的标准方程为x212+y24=1．
(2)直线l的方程为：y−1=x+2，即y=x+3．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立y=x+3，x212+y24=1，
化为：4x2+18x+15=0，
∴ x1+x2=−92，x1⋅x2=154，
∴ |AB|=2[(x1+x2)2−4x1x2]=2×[(−92)2−4×154]=422．
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
椭圆的标准方程
一元二次方程的根的分布与系数的关系
直线的点斜式方程
【解析】
（1）由已知可得：2c＝42，b＝2，a2＝b2+c2，联立解得即可得出．
（2）直线l的方程为：y−1＝x+2，即y＝x+3．设A(x1, y1)，B(x2, y2)．与题意方程联立化为：4x2+18x+15＝0，利用弦长公式|AB|=2[(x1+x2)2−4x1x2]即可得出．
【解答】
解：(1)由已知可得：2c=42，b=2，a2=b2+c2，
联立解得：c=22，b=2，a2=12．
∴ 椭圆C的标准方程为x212+y24=1．
(2)直线l的方程为：y−1=x+2，即y=x+3．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立y=x+3，x212+y24=1，
化为：4x2+18x+15=0，
∴ x1+x2=−92，x1⋅x2=154，
∴ |AB|=2[(x1+x2)2−4x1x2]=2×[(−92)2−4×154]=422．
【答案】
解：(1)由实轴长为43，得a=23，
渐近线方程为y=b23x，即bx−23y=0.
∵ 焦点到渐近线的距离为3，
∴ |bc|b2+12=3，又c2=b2+a2，
∴ b2=3，
∴ 双曲线方程为：x212−y23=1.
(2)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，D(x0, y0)，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，
由y=33x−2，x212−y23=1，⇒x2−163x+84=0⇒x1+x2=163，
∴ y1+y2=33(x1+x2)−4=12，
∴ x0y0=433，x0212−y023=1，
解得x0=43，y0=3，
∴ t=4，
∴ D(43，3)，t=4．
【考点】
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
圆锥曲线的综合问题
双曲线的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)，D(x0, y0)，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得x0y0，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；
【解答】
解：(1)由实轴长为43，得a=23，
渐近线方程为y=b23x，即bx−23y=0.
∵ 焦点到渐近线的距离为3，
∴ |bc|b2+12=3，又c2=b2+a2，
∴ b2=3，
∴ 双曲线方程为：x212−y23=1.
(2)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，D(x0, y0)，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，
由y=33x−2，x212−y23=1，⇒x2−163x+84=0⇒x1+x2=163，
∴ y1+y2=33(x1+x2)−4=12，
∴ x0y0=433，x0212−y023=1，
解得x0=43，y0=3，
∴ t=4，
∴ D(43，3)，t=4．
【答案】
解：(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
若在(2, 0)，(−2, 3)，(3, 32)，(3, −32)四个点中有3个在M上．
只有(2, 0)，(3, 32)，(3, −32)三个点在椭圆上，
所以a=2，34+34b2=1，
可得b=3，
所以椭圆方程为：x24+y23=1．
(2)点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，设A(m, n)，
则B(−m, −n)，C(−4, 0)，
m24+n23=1．m∈[−2, 2].
∴ CA→⋅CB→=(m+4, n)⋅(−m+4, −n)=16−m2−n2=13−m24∈[12, 13]．
∴ CA→⋅CB→的取值范围：[12, 13]．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
平面向量数量积
【解析】
（1）判断椭圆上的3个点，利用已知条件求出椭圆方程．
（2）设出A的坐标，然后转化求解向量的数量积即可．
【解答】
解：(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
若在(2, 0)，(−2, 3)，(3, 32)，(3, −32)四个点中有3个在M上．
只有(2, 0)，(3, 32)，(3, −32)三个点在椭圆上，
所以a=2，34+34b2=1，
可得b=3，
所以椭圆方程为：x24+y23=1．
(2)点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，设A(m, n)，
则B(−m, −n)，C(−4, 0)，
m24+n23=1．m∈[−2, 2].
∴ CA→⋅CB→=(m+4, n)⋅(−m+4, −n)=16−m2−n2=13−m24∈[12, 13]．
∴ CA→⋅CB→的取值范围：[12, 13]．
【答案】
解：(1)双曲线M:x2a2−y2b2=1过点P(4,62)，且它的渐近线方程是x±2y=0，
∴ 16a2−64b2=1， ba=12，
解得a2=10，b2=52，
∴ 双曲线M的方程为x210−2y25=1．
(2)椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线的实轴．则设椭圆的方程为：y2a2+x2b2=1，
∴ b2=10．
设椭圆N中斜率为−3的弦所在直线方程为y=−3x+m，两端点分别为Ax1,y1， Bx2,y2．
AB的中点为Qx0,y0，
联立方程组y2a2+x210=1，y=−3x+m，
消y可得(90+a2)x2−60mx+10m2−10a2=0，
∴ x1+x2=60m90+a2，则x0=30m90+a2．
∴ y0=−3x0+m=a2m90+a2，
∴ Q(30m90+a2,a2m90+a2).
∵ 点Q在双曲线M渐近线x−2y=0上，
∴ 30m90+a2=2×a2m90+a2，
解得a2=15，
∴ 椭圆N的方程为y215+x210=1．
【考点】
双曲线的渐近线
圆锥曲线的轨迹问题
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)双曲线M:x2a2−y2b2=1过点P(4,62)，且它的渐近线方程是x±2y=0，
∴ 16a2−64b2=1， ba=12，
解得a2=10，b2=52，
∴ 双曲线M的方程为x210−2y25=1．
(2)椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线的实轴．则设椭圆的方程为：y2a2+x2b2=1，
∴ b2=10．
设椭圆N中斜率为−3的弦所在直线方程为y=−3x+m，两端点分别为Ax1,y1， Bx2,y2．
AB的中点为Qx0,y0，
联立方程组y2a2+x210=1，y=−3x+m，
消y可得(90+a2)x2−60mx+10m2−10a2=0，
∴ x1+x2=60m90+a2，则x0=30m90+a2．
∴ y0=−3x0+m=a2m90+a2，
∴ Q(30m90+a2,a2m90+a2).
∵ 点Q在双曲线M渐近线x−2y=0上，
∴ 30m90+a2=2×a2m90+a2，
解得a2=15，
∴ 椭圆N的方程为y215+x210=1．
【答案】
解：(1)由题意，A−a,0 ，Ba,0， G0,1，
所以AG→=a,1，GB→=a,−1，
AG→⋅GB→=a2−1=8
⇒a2=9，
解得a=3.
所以椭圆E的方程为x29+y2=1.
(2)由(1)知A−3,0， B3,0．
设P6,m，则直线PA的方程为y=m9x+3，
联立 x29+y2=1，y=m9x+3，
⇒9+m2x2+6m2x+9m2−81=0，
由韦达定理−3xC=9m2−819+m2
⇒xC=−3m2+279+m2，
代入直线PA的方程y=m9x+3，
得yC=6m9+m2，
即C−3m2+279+m2,6m9+m2.
直线PB的方程为y=m3x−3，
联立 x29+y2=1，y=m3x−3，
⇒1+m2x2−6m2x+9m2−9=0.
由韦达定理3xD=9m2−91+m2⇒xD=3m2−31+m2，
代入直线PB的方程y=m3x−3，
得yD=−2m1+m2，
即D3m2−31+m2,−2m1+m2.
所以直线CD的斜率
kCD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2
=4m3(3−m2)，
所以直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m33−m2x−3m2−31+m2，
整理得y=4m33−m2x−32，
所以直线CD过定点32,0.
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
平面向量数量积
斜率的计算公式
【解析】
(1)根据椭圆的几何性质，可写出A，B和G的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a的方程，解之即可；
(2)设P点坐标，写出直线AP的方程，联立直线AP的方程与椭圆方程，消去y，解出x的值代入直线AP的方程中解得C点坐标.写出直线BP的方程，联立直线BP的方程与椭圆方程，消去y，解出x的值代入直线BP的方程中解得D点坐标.从而得直线CD的方程，最后确定直线CD过定点.
【解答】
解：(1)由题意，A−a,0 ，Ba,0， G0,1，
所以AG→=a,1，GB→=a,−1，
AG→⋅GB→=a2−1=8
⇒a2=9，
解得a=3.
所以椭圆E的方程为x29+y2=1.
(2)由(1)知A−3,0， B3,0．
设P6,m，则直线PA的方程为y=m9x+3，
联立 x29+y2=1，y=m9x+3，
⇒9+m2x2+6m2x+9m2−81=0，
由韦达定理−3xC=9m2−819+m2
⇒xC=−3m2+279+m2，
代入直线PA的方程y=m9x+3，
得yC=6m9+m2，
即C−3m2+279+m2,6m9+m2.
直线PB的方程为y=m3x−3，
联立 x29+y2=1，y=m3x−3，
⇒1+m2x2−6m2x+9m2−9=0.
由韦达定理3xD=9m2−91+m2⇒xD=3m2−31+m2，
代入直线PB的方程y=m3x−3，
得yD=−2m1+m2，
即D3m2−31+m2,−2m1+m2.
所以直线CD的斜率
kCD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2
=4m3(3−m2)，
所以直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m33−m2x−3m2−31+m2，
整理得y=4m33−m2x−32，
所以直线CD过定点32,0.