2020-2021学年湖南省岳阳市高二（上）五校期中联考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省岳阳市高二（上）五校期中联考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若集合A=x|2x2−5x−3<0，B=x|x∈N∗,x≤5，则 A∩B等于( )
A.1,2,3B.1,2C.4,5D.0,1,2

2. 命题“∀x∈[0, +∞)，x3+x≥0”的否定是( )
A.∀x∈(−∞, 0)，x3+x<0B.∀x∈(−∞, 0)，x3+x≥0
C.∃x0∈[0,+∞)，x03+x0<0D.∃x0∈[0,+∞)，x03+x0≥0

3. 设a=2x2+2x+1，b=x+12，则a，b的大小关系是( )
A.a>bB.a
4. “x−2x≤0”的一个充分不必要条件是( )
A.0
5. 双曲线x24−y25=1的渐近线方程为( )
A.y=±52xB.y=±255xC.y=±54xD.y=±32x

6. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=12c，sinB=2sinA，则csB的值为( )
A.74B.33C.1D.34

7. 在下列函数中，最小值是2的是( )
A.y=x5+5x(x∈R，x≠0)B.y=lgx+1lgx(x>0且x≠1)
C.y=3x+3−x(x∈R)D.y=sinx+1sinx(0
8. 抛物线y2=4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点横坐标是( )
A.3B.4C.5D.6

9. 等差数列an的前n项和为Sn，公差d<0，若|a4|=|a10|，则当Sn取最大值时，n的值为（ ）
A.5或6B.6或7C.6D.7

10. 已知直线与抛物线y2=2pxp>0交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为1,2，则p的值为（ ）
A.54B.45C.52D.25
二、多选题

设椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆C上的动点（异于A1，A2），则下列结论正确的是( )
A.|PF1|+|PF2|=4
B.△PF1F2的面积的最大值为3
C.离心率e=32
D.P与A1，A2连线的斜率之积为定值−34

已知数列an的通项公式为an=nxn−1x≠0，则它的前n项和可能为( )
A.nn+12B.0
C.1−xn1−x2−nxn1−xD.1−xn+11−x2−nxn+11−x
三、填空题

实数7+35与7−35的等比中项为________．

若x，y满足约束条件x−y+1≥0，x+y−3≥0，x−3≤0，则z=x−2y 的最小值为_________.

已知P是椭圆x29+y22=1上任意一点， F1,F2是它的两个焦点，则|PF1|⋅|PF2|的最大值为________.

要测量河对岸A，B两点间的距离，在河岸两个相距为3的观测点C处和D处测得∠ADB=30∘， ∠BDC=30∘ ，∠DCA=60∘， ∠ACB=45∘，如图所示，则A，B两点间的距离为________.

四、解答题

公差不为0的等差数列an中， a1=3，a2，a4，a7成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=2an−2+n，求b1+b2+b3+⋯+b10的值．

如图，已知△ABC中， AB=32,∠ABC=45∘， ∠ACB=60∘.

(1)求AC的长；

(2)若AD=21，求CD的长．

已知命题p:∀x∈R，ax2+ax+1>0，命题q：∃x∈−1,1，2x+a<0．
(1)若p为真命题，求实数a的范围；

(2)若p∧q为假， p∨q为真，求实数a的取值范围．

过平面内一点M1,1作一条直线，与抛物线C:y2=4x交于A、B两点，且M恰为线段AB的中点．
(1)求直线AB的方程；

(2)求弦AB的长．

已知数列an的前n项和为Sn，a1=0，Sn=an+1−n，n∈N∗.
(1)求证：数列an+1是等比数列；

(2)设数列bn满足bn=lg2an+1+1，求数列1bnbn+1的前n项和Tn．

已知点M与定点F2,0的距离和它到直线x=8的距离的比为1:2.
(1)求点M的轨迹方程；

(2)记点M的轨迹为曲线C，在曲线C上是否存在点P，使点P到直线l:x−y+47=0的距离最小，若存在，求出最小距离，若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省岳阳市高二（上）五校期中联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
先化简集合B,再取两个集合的公共部分即可.
【解答】
解：∵ A=x2x2−5x−3<0=x−12B=xx∈N∗,x≤5，
∴ A∩B=1,2.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可
【解答】
解：全称量词命题的否定是特称量词命题，
∵ 命题“∀x∈[0, +∞)，x3+x≥0”，
∴ 命题的否定是“∃x0∈[0,+∞)，x03+x0<0”.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
利用作差法比较即可.
【解答】
解：a−b=2x2+2x+1−x+12=x2≥0，
当x=0时取等号，
∴ a≥b.
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由x−2x≤0，可得：0∵ (0,1)是(0,2]的真子集，
∴ 0故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．
【解答】
解：双曲线x24−y25=1的渐近线方程为：
x24−y25=0，
整理，得4y2=5x2，
解得y=±52x．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ sinB=2sinA ，∴ b=2a，
∵ a=12c，∴ c=2a，
由余弦定理得，csB=a2+4a2−2a22a⋅2a=34.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用均值定理求函数最值需要满足三个条件即一“正”，二“定”，三“等号”，选项A不满足条件一“正”；选项B、D不满足条件三“等号”，即等号成立的条件不具备，而选项C三个条件都具备
【解答】
解：当x<0时，y=x5+5x<0，故A错误；
∵ 当0∴ y=lgx+1lgx<0，故B错误；
对于函数y=3x+3−x，令3x=t，则t>0，y=t+1t≥2t⋅1t=2，（当且仅当t=1，即x=0时取等号）
∴ y=3x+3−x的最小值为2，故C正确；
∵ sinx=1sinx在0∴ y=sinx+1sinx(0故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，设AB的中点为E，过点A，B，E分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，F.
由题意知准线方程为x=−1，AB=8，
∴ 2EF=AC+BD=8，即EF=4，
∴ EG=3，即线段AB的中点横坐标是3.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ d<0， |a4|=|a10|，∴ a4+a10=0.
又∵ a4+a10=2a7， ∴ a7=0，∴ 当n=6或n=7时，Sn有最大值．
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
直线与抛物线的位置关系
抛物线的标准方程
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】

【解答】
解：设点Ax1,y1，Bx2,y2，由OA⊥OB的x1x2+y1y2=0，
由OD⊥AB得直线AB斜率为−12，
所以AB方程为x+2y−5=0，
由x+2y−5=0,y2=2px,得y2+4py−10p=0，
∴y1y2=−10p，y1+y2=−4p，
∴x1x2=25，
∴x1x2+y1y2=25−10p=0，
∴p=52．
故选C.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知a=2，|PF1|+|PF2|=2a=4，所以A正确；
当P在短轴端点时， PF1F2面积最大，此时面积为12×2×3=3，所以B正确；
a=2，c=4−3=1，所以离心率e=ca=12，C错误；
设P(x0,y0)，由题意知A1(−2,0)，A2(2,0)，
∵x24+y23=1，∴y02=34(4−x02)，
∴y0x0−2⋅y0x0+2=34(4−x02)x02−4=−34，D正确．
故选ABD.
【答案】
A,C
【考点】
数列的求和
【解析】

【解答】
解：设Sn=1+2x+3x2+⋯+nxn−1，①
则xSn=x+2x2+3x3+⋯+nxn，②
①−②得：1−xSn=1+x+x2+⋯+xn−1−nxn.
当x=1时，Sn=1+2+3+⋯+n=nn+12；
当x≠1时，Sn=1−xn1−x2−nxn1−x．
故选AC．
三、填空题
【答案】
±2
【考点】
等比中项
【解析】
根据题意和等比中项的性质列出方程，再求值即可．
【解答】
解：设7+35与7−35的等比中项为x，
则x2=(7+35)(7−35)=49−45=4，
所以x=±2．
故答案为：±2．
【答案】
−5
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，阴影部分表示可行域：
当y=12x−12z的图象经过点A(3,4)时，z取得最小值，为−5.
故答案为：−5.
【答案】
9
【考点】
椭圆的定义
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆方程可知|PF1|+|PF2|=6，
因为|PF1|⋅|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=9，当且仅当|PF1|=|PF2|时，等号成立，
所以|PF1|⋅|PF2|的最大值为9.
故答案为：9.
【答案】
62
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得，
∠DAC=180∘−∠ADB−∠BDC−∠ACD=60∘.
∵ CD=3，
∴ AC=CD=3.
在△CDB中，
∠DBC=180∘−30∘−105∘=45∘.
由正弦定理得：CDsin∠DBC=BCsin∠BDC，
∴ BC=CDsin∠DBC⋅sin∠BDC=62.
在△ABC中，由余弦定理得：
AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅cs∠ACB
=(62)2+32−2×62×3×22=32，
∴ AB=62.
故答案为：62.
四、解答题
【答案】
解：(1)设等差数列an的公差为d．
由已知得3+3d2=3+d3+6d，
解得d=1或d=0 （舍去），
所以an=a1+n−1d=n+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n，
所以b1+b2+b3+⋯+b10
=2+1+22+2+23+3+⋯+210+10
=2+22+23+⋯+210+1+2+3+⋯+10
=21−2101−2+1+10×102
=211−2+55
=211+53=2101.
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等差数列an的公差为d．
由已知得3+3d2=3+d3+6d，
解得d=1或d=0 （舍去），
所以an=a1+n−1d=n+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n，
所以b1+b2+b3+⋯+b10
=2+1+22+2+23+3+⋯+210+10
=2+22+23+⋯+210+1+2+3+⋯+10
=21−2101−2+1+10×102
=211−2+55
=211+53=2101.
【答案】
解：(1)在△ABC中，
由正弦定理得，ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，
则AC=AB⋅sin∠ABCsin∠ACB=32×sin45∘sin60∘=23.
(2)因为∠ACB=60∘，所以∠ACD=120∘.
在△ACD中，由余弦定理得，
AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cs120∘
=CD2+12+2×CD×23×12=21，
解得：CD=3或CD=−33（舍去），
所以CD=3.
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在△ABC中，
由正弦定理得，ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，
则AC=AB⋅sin∠ABCsin∠ACB=32×sin45∘sin60∘=23.
(2)因为∠ACB=60∘，所以∠ACD=120∘.
在△ACD中，由余弦定理得，
AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cs120∘
=CD2+12+2×CD×23×12=21，
解得：CD=3或CD=−33（舍去），
所以CD=3.
【答案】
解：(1)因为命题p为真命题，
所以a>0，a2−4a<0或a=0，
解得0≤a<4，
所以实数a的范围是[0,4).
(2)若命题q：∃x∈−1,1，2x+a<0为真命题，
则−2+a<0，
解得a<2.
由(1)知，命题p为真命题时，0≤a<4，
所以若p，q中有且仅有一个为真命题，则a<0或2≤a<4，
所以实数a的取值范围是(−∞,0)∪[2,4)．
【考点】
复合命题及其真假判断
一元二次不等式的解法
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为命题p为真命题，
所以a>0，a2−4a<0或a=0，
解得0≤a<4，
所以实数a的范围是[0,4).
(2)若命题q：∃x∈−1,1，2x+a<0为真命题，
则−2+a<0，
解得a<2.
由(1)知，命题p为真命题时，0≤a<4，
所以若p，q中有且仅有一个为真命题，则a<0或2≤a<4，
所以实数a的取值范围是(−∞,0)∪[2,4)．
【答案】
解：(1)设Ax1,y1,Bx2,y2，则y12=4x1,y22=4x2,
相减得y1+y2y1−y2=4x1−x2，
∴ y1−y2x1−x2=4y1+y2=42=2，
即kAB=2，
∴ 直线AB的方程为y−1=2x−1，即2x−y−1=0.
(2)由2x−y−1=0,y2=4x,得4x2−8x+1=0，
x1+x2=2,x1⋅x2=14，
|AB|=1+22×22−4×14=15 .
【考点】
直线的斜率
直线的点斜式方程
直线恒过定点
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设Ax1,y1,Bx2,y2，则y12=4x1,y22=4x2,
相减得y1+y2y1−y2=4x1−x2，
∴ y1−y2x1−x2=4y1+y2=42=2，
即kAB=2，
∴ 直线AB的方程为y−1=2x−1，即2x−y−1=0.
(2)由2x−y−1=0,y2=4x,得4x2−8x+1=0，
x1+x2=2,x1⋅x2=14，
|AB|=1+22×22−4×14=15 .
【答案】
(1)证明：∵ Sn=an+1−n，n∈N∗ ，
∴ Sn−1=an−n−1，n>1，
两式相减得：an=an+1−an−1，
∴ an+1=2an+1n>1，
∴ an+1+1an+1=2an+1+1an+1=2(an+1)an+1=2(n>1).
又a1=0，S1=a2−1，
∴ a2=1，
∴ a2+1a1+1=21=2，
∴数列an+1是公比为2的等比数列．
(2)∵ a1+1=1，
∴ an+1=1×2n−1=2n−1，
∴ an+1+1=2n，
∴ bn=lg22n=n，
∴ 1bnbn+1=1nn+1=1n−1n+1，
∴ Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1．
【考点】
数列递推式
等比关系的确定
数列的求和
【解析】


【解答】
(1)证明：∵ Sn=an+1−n，n∈N∗ ，
∴ Sn−1=an−n−1，n>1，
两式相减得：an=an+1−an−1，
∴ an+1=2an+1n>1，
∴ an+1+1an+1=2an+1+1an+1=2(an+1)an+1=2(n>1).
又a1=0，S1=a2−1，
∴ a2=1，
∴ a2+1a1+1=21=2，
∴数列an+1是公比为2的等比数列．
(2)∵ a1+1=1，
∴ an+1=1×2n−1=2n−1，
∴ an+1+1=2n，
∴ bn=lg22n=n，
∴ 1bnbn+1=1nn+1=1n−1n+1，
∴ Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1．
【答案】
解：(1)设点M坐标为x,y，d是点M到直线x=8的距离，
由题知：|MF|d=12，
∴ x−22+y2|8−x|=12，
化简得：x216+y212=1
∴ 点M的轨迹方程为x216+y212=1．
(2)设直线m平行于直线l，
则直线m的方程可设为x−y+m=0.
由方程组 x−y+m=0，x216+y212=1，
消去y得： 7x2+8mx+4m2−48=0，
令Δ=−48m2+28×48=0 ，
得：m2=28，
∴ m=±27 .
当m=27时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，
此时直线m的方程为x−y+27=0．
直线m与直线l的距离d=|27−47|2=14．
∴ 最小距离为14 ．
【考点】
点到直线的距离公式
轨迹方程
两点间的距离公式
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】


【解答】
解：(1)设点M坐标为x,y，d是点M到直线x=8的距离，
由题知：|MF|d=12，
∴ x−22+y2|8−x|=12，
化简得：x216+y212=1
∴ 点M的轨迹方程为x216+y212=1．
(2)设直线m平行于直线l，
则直线m的方程可设为x−y+m=0.
由方程组 x−y+m=0，x216+y212=1，
消去y得： 7x2+8mx+4m2−48=0，
令Δ=−48m2+28×48=0 ，
得：m2=28，
∴ m=±27 .
当m=27时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，
此时直线m的方程为x−y+27=0．
直线m与直线l的距离d=|27−47|2=14．
∴ 最小距离为14 ．