2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知命题p:∃x∈R，x2−x+14≤0，则￢p为（ ）
A.∀x∈R，x2−x+14≤0B.∀x∈R，x2−x+14>0
C.∃x∈R，x2−x+14>0D.∃x∈R，x2−x+14<0

2. 椭圆x216+y24＝1的长轴长为（ ）
A.2B.4C.8D.16

3. 已知关于x的不等式ax2+bx−1>0的解集为(3, 4)，则实数a，b的值是（ ）
A.a=12，b=−84B.a=−12，b=84
C.a=112，b=−712D.a=−112，b=712

4. 已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ）
A.4B.−4C.±4D.不确定

5. 已知正数a、b满足a+b=2，则a+b有（ ）
A.最小值1B.最小值2C.最大值1D.最大值2

6. “a>1，b>1”是“lgab+lgba≥2”的（ ）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要

7. 在等差数列{an}中，已知前21项和S21=63，则a2+a5+a8+...+a20的值为（ ）
A.7B.9C.21D.42

8. ∃x∈[13，+∞)，使得ax2−2x+1>0成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.[−3, +∞)B.(−3, +∞)C.[1, +∞)D.(1, +∞)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ）
A.中国所有的江河都流入太平洋
B.有的四边形既是矩形，又是菱形
C.存在x∈R，有x2+x+1=0
D.有的数比它的倒数小

已知1m<1n<0，则（ ）
A.m|n|C.m+n
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A.a8=34B.S8=54
C.S2020=a2022−1D.a1+a3+a5+...+a2021=a2022

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一焦点．一水平放置的椭圆形台球盘，F1，F2是其焦点，长轴长2a，焦距为2c．一静放在F1点处的小球（半径忽略不计），受击打后沿直线运动（不与直线F1F2重合），经椭圆壁反弹后再回到点F1时，小球经过的路程是（ ）
A.4cB.4aC.2(a+c)D.4(a+c)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

不等式2x+3x−1<1的解集是________．

若方程x2m+9+y25−m=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．

已知a，b是正实数，且a+b=2，则11+a2+11+b2的最小值是________．

一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉（如图(1)）；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图(2)；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉________个正方形，第n个图中所有挖掉的正方形的面积和为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已知椭圆C:x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；

（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．

已知命题p：关于x的方程x2−(3m−2)x+2m2−m−3=0有两个大于1的实数根．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）命题q:3−a
已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且a1+3，3a2，a3+5成等差数列，
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}的首项b1=1，其前n项和为Sn，且____，若数列{cn}满足cn=anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①3Sn+bn=4；②bn=bn−1+2(n≥2)；③5bn=−bn−1(n≥2)．

已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1−t，求证：数列{an}是等比数列的充要条件为t=3．

为了丰富市民的文化生活，市政府决定在A、B两个新村之间建一个市民广场C．若A、B两个新村间的直线距离是3百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离x成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村A，B的反比例系数分别为k和1−k(0（1）求函数f(x)的解析式，并写出定义域；

（2）若两个新村的噪音能量之和最小时，市民广场的选址最合理，求最合理方案中A与C之间的距离．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为2+1．过点P(0, 2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且不与原点重合．
（1）求椭圆C的方程；

（2）若y轴上的一点Q满足QA=QB，求证：线段QM的中点在定直线上；

（3）求PAPB的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定，即可得到结论．
【解答】
命题为特称命题，则命题的否定为x∈R，x2−x+14>0．
2.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
直接利用椭圆方程，求解a，推出结果．
【解答】
椭圆x216+y24＝1，可得a=4，
所以椭圆的长轴长为8．
3.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
由题意可知，3和4是方程ax2+bx−1=0的两根，再结合韦达定理即可得解．
【解答】
由题意可知，3和4是方程ax2+bx−1=0的两根，且a<0，
∴ 3+4=−ba，3×4=−1a，
解得a=−112，b=712．
4.
【答案】
A
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
根据等比数列的性质可得．
【解答】
∵ 1，a，x，b，16成等比数列，
∴ x2=1×16，a2=x，
∴ x=4，
5.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
利用基本不等式和题设条件求得结果即可．
【解答】
∵ 正数a、b满足a+b=2，
∴ (a+b)2=a+b+2ab≤2(a+b)=4，当且仅当a=b=1时取“=“，
∴ (a+b)max=2，
6.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充分必要条件的定义以及对数的运算性质判断即可．
【解答】
当a>1，b>1时lgab>0，lgba>0，
故lgab+lgba=lgab+1lgab≥2lgab⋅1lgab=2，
当且仅当lgab=±1，即a=b或a=1b时“=”成立，是充分条件，
取a=12，b=116，显然满足lgab+lgba≥2，
故由lgab+lgba≥2，推不出a>1，b>1，
故不是必要条件，
故“a>1，b>1”是“lgab+lgba≥2”的充分不必要条件，
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
前21项和S21=63=21(a1+a21)2，可得a1+a21，再利用等差数列的性质及其求和公式即可得出．
【解答】
∵ 前21项和S21=63=21(a1+a21)2，
∴ a1+a21=6，
由等差数列的性质可得：a2+a20=a1+a21=6，
则a2+a5+a8+...+a20=7(a2+a20)2=7×62=21．
8.
【答案】
B
【考点】
全称命题与特称命题
全称量词与存在量词
【解析】
不等式化为a>−1x2+2x，设f(x)=−1x2+2x，求出f(x)在x∈[13, +∞)时的最小值，即可得出实数a的取值范围．
【解答】
x∈[13，+∞)时，不等式ax2−2x+1>0，
可化为ax2>2x−1，即a>−1x2+2x；
设f(x)=−1x2+2x，则f(x)=−(1x−1)2+1；
当x∈[13, +∞), 1x∈(0, 3]，
f(x)的最小值为f(13)=−(3−1)2+1=−3，
所以实数a的取值范围是(−3, +∞)．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
【答案】
B,D
【考点】
命题的否定
命题的真假判断与应用
【解析】
根据含有量词的命题，判断命题的否定是否是全称命题，然后判断真假即可．
【解答】
中国所有的江河都流入太平洋，它的否定是特称命题，所以A不正确；
有的四边形既是矩形，又是菱形，它的否定是：所有四边形，不是矩形或不是菱形，显然是假命题；所以B正确；
存在x∈R，有x2+x+1=0，它的否定是：任意x∈R，有x2+x+1≠0，是真命题，所以C不正确；
有的数比它的倒数小，所以的数都大于等于它的倒数，是全称命题，所以是假命题．所以D 正确；
【答案】
C,D
【考点】
不等式的基本性质
不等式的概念
【解析】
根据不等式的性质分别判断即可．
【解答】
∵ 1m<1n<0，
∴ n∴ |m|<|n|，故B错误，
m+n<0，mn>0，故C正确，
mn【答案】
B,C,D
【考点】
数列的求和
【解析】
直接利用数列的通项公式，数列的求和，相消法的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和
对于A：根据数据的规律，a8=21，故A错误，
对于B:S8=1+1+2+3+5+8+13+21=54，故B正确；
对于C:Sn=a1+a2+a3+...+an=a1+(a3−a1)+(a4−a2)+...+(an+1−an−1)，
即Sn=−a2+an+an+1=an+2−1，
所以S2020=a2022−1，故C正确；
对于D:a1+a3+a5+...+a2021=a2+(a4−a2)+(a6−a4)+...+(a2022−a2020)=a2022，故D正确；
【答案】
B
【考点】
椭圆的应用
【解析】
根据椭圆的光学性质，利用受击打后沿直线运动（不与直线F1F2重合），可知经椭圆壁第一次反弹后过点F2，第二次反弹后过点F1，由椭圆的定义即可求得小球经过的路程．
【解答】
解：由题意，根据椭圆的光学性质，可知一静放在F1点处的小球（半径忽略不计），受击打后沿直线运动，因为运动路线不与直线F1F2重合，经椭圆壁第一次反弹后过点F2，第二次反弹后过点F1，
由椭圆的定义可知，小球经过的路程是2×2a=4a
故选B．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
【答案】
(−4, 1)
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
解不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】
∵ 2x+3x−1<1，
∴ 2x+3−x+1x−1<0即x+4x−1<0，
解得：−4故不等式的解集是(−4, 1)，
【答案】
(−2, 5)
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆方程，结合焦点在x轴，列出不等式求解即可．
【解答】
方程x2m+9+y25−m=1表示焦点在x轴上的椭圆，
可得m+9>5−m>0，
解得m∈(−2, 5)．
【答案】
1
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由题设和基本不等式⇒a2b2≤1，即可求得结果．
【解答】
∵ a，b是正实数，且a+b=2，
∴ a+b=2≥2ab⇒ab≤1，∴ a2b2≤1，当且仅当a=b=1时取“=“，
∴ 11+a2+11+b2=1+a2+b2+1(1+a2)(1+b2)=1+a2+b2+1a2+b2+a2b2+1≥1，当且仅当a=b=1时取“=“，
【答案】
73,1−(89)n
【考点】
归纳推理
【解析】
记第n个图形中共挖掉an个正方形，由题意可知an＝an−1+8n−1(n≥2)，进而求出第3个图中共挖掉的正方形个数，记第n个图形中共挖掉的正方形的面积为bn，
由题意可知满足递推式bn−bn−1＝8n−1×(13)n×(13)n=8n−1×(13)2n，由递推式即可求出bn．
【解答】
记第n个图形中共挖掉an个正方形，则an＝an−1+8n−1(n≥2)，
所以a1=1，a2=a1+8=9，a3＝a2+82=73，
即第3个图中共挖掉73个正方形，
记第n个图形中共挖掉的正方形的面积为bn，
则b1＝13×13＝(13)2，
b2−b1＝8×(13)2×(13)2＝8×(13)4，
b3−b2＝82×(13)3×(13)3=82×(13)6，
……，
bn−bn−1＝8n−1×(13)n×(13)n=8n−1×(13)2n，
将以上n个等式相加得：
bn＝(13)2+8×(13)4+82×(13)6+…+8n−1×(13)2n=19[1−(8×19)n]1−8×19=1−(89)n．
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
根据题意，椭圆C:x2a2+y2b2＝1，如图，短轴的一个端点为P，
则|PF1|=|PF2|=a，
又由∠F1PF2为直角，则△F1PF2为等腰直角三角形，
若焦距长为2，即|OF1|=1，则b=|OP|=1，a2=b2+c2=2，
则椭圆的标准方程为x22+y2=1，
若∠F1PF2为钝角，即∠OPF1>45∘，
则有sin∠OPF1=|OF1||PF1|=ca>22，
则有e>22，
故椭圆C的离心率的取值范围为(22, 1)．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
（1）根据题意，由椭圆的对称性可得|PF1|=|PF2|=a，进而可得△F1PF2为等腰直角三角形，据此分析求出b、a的值，代入椭圆的标准方程即可得答案，
（2）根据题意，分析可得∠OPF1>45∘，据此可得sin∠OPF1=|OF1||PF1|=ca>22，即可得答案．
【解答】
根据题意，椭圆C:x2a2+y2b2＝1，如图，短轴的一个端点为P，
则|PF1|=|PF2|=a，
又由∠F1PF2为直角，则△F1PF2为等腰直角三角形，
若焦距长为2，即|OF1|=1，则b=|OP|=1，a2=b2+c2=2，
则椭圆的标准方程为x22+y2=1，
若∠F1PF2为钝角，即∠OPF1>45∘，
则有sin∠OPF1=|OF1||PF1|=ca>22，
则有e>22，
故椭圆C的离心率的取值范围为(22, 1)．
【答案】
∵ x2−(3m−2)x+2m2−m−3=0，
∴ [x−(2m−3)][x−(m+1)]=0，解得x=2m−3或x=m+1．依题意可得，
x=2m−3>1且x=m+1>1，解得m>2，故实数m的取值范围为(2．+∞)
假设存在实数a使得p是q的必要不充分条件，所以{m|3−a即a≤0或a>03−a≥2，解得a≤1，故实数a的取值范围为(−∞, 1]
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
命题的真假判断与应用
【解析】
（1）由x2−(3m−2)x+2m2−m−3=0解出两根，列出不等式组即可解出；
（2）根据充分条件，必要条件与集合包含关系等价法即可求出．
【解答】
∵ x2−(3m−2)x+2m2−m−3=0，
∴ [x−(2m−3)][x−(m+1)]=0，解得x=2m−3或x=m+1．依题意可得，
x=2m−3>1且x=m+1>1，解得m>2，故实数m的取值范围为(2．+∞)
假设存在实数a使得p是q的必要不充分条件，所以{m|3−a即a≤0或a>03−a≥2，解得a≤1，故实数a的取值范围为(−∞, 1]
【答案】
由题意得a1+a2+a3＝136a2＝a1+a3+8，
可得a2=3，a1+a3=10，
设递增的等比数列数列{an}的公比为q，
得3q+3q=10，
解得q=3或 q=13（舍），
则an=a2qn−2=3⋅3n−2=3n−1；
（
选①3Sn+bn=4，
当n≥2时，3Sn−1+bn−1=4，又3Sn+bn=4，
两式相减可得3bn=3Sn−3Sn−1=bn−1−bn，
则bn=14bn−1，
可得{bn}为首项为1，公比为14的等比数列，
则bn=(14)n−1；
cn=anbn=(34)n−1，
可得Tn=1−(34)n1−34=4−4⋅(34)n，
由{Tn}为递增数列，可得n=1时，Tn取得最小值1；
选②bn=bn−1+2(n≥(1)，可得{bn}为首项为1，公差为2的等差数列，
则bn=1+2(n−(2)=2n−1，
cn=anbn=(2n−(3)⋅3n−1，
则Tn=1⋅30+3⋅31+5⋅32+...+(2n−(4)⋅3n−1，
3Tn=1⋅3+3⋅32+5⋅33+...+(2n−(5)⋅3n，
两式相减可得−2Tn=1+2(31+32+...+3n−1)−(2n−(6)⋅3n
=1+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n−(7)⋅3n，
化简可得Tn=1+(n−(8)⋅3n，
由{Tn}为递增数列，可得n=1时，Tn取得最小值1；
选③5bn=−bn−1(n≥(9)，可得{bn}为首项为1，公比为−15的等比数列，
则bn=(−15)n−1；
cn=anbn=(−35)n−1，
可得Tn=1−(−35)n1−(−35)=58−58⋅(−35)n，T1=1，T2=25，
当n为奇数时，58可得n=2时，Tn取得最小值25．
【考点】
数列与函数的综合
数列的求和
【解析】
（1）由题意列式求解a2及公比，则等比数列的通项公式可求；
（2）选①，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得bn，再由等比数列的求和公式，可得所求最小值；
选②bn=bn−1+2(n≥2)，运用等差数列的通项公式可得bn=2n−1，cn=anbn=(2n−1)⋅3n−1，再由数列的错位相减法求和，可得Tn，再由数列的单调性可得所求最小值；
选③，运用等比数列的定义和通项公式、求和公式，结合n为奇数和偶数，可得所求最小值．
【解答】
由题意得a1+a2+a3＝136a2＝a1+a3+8，
可得a2=3，a1+a3=10，
设递增的等比数列数列{an}的公比为q，
得3q+3q=10，
解得q=3或 q=13（舍），
则an=a2qn−2=3⋅3n−2=3n−1；
（
选①3Sn+bn=4，
当n≥2时，3Sn−1+bn−1=4，又3Sn+bn=4，
两式相减可得3bn=3Sn−3Sn−1=bn−1−bn，
则bn=14bn−1，
可得{bn}为首项为1，公比为14的等比数列，
则bn=(14)n−1；
cn=anbn=(34)n−1，
可得Tn=1−(34)n1−34=4−4⋅(34)n，
由{Tn}为递增数列，可得n=1时，Tn取得最小值1；
选②bn=bn−1+2(n≥(1)，可得{bn}为首项为1，公差为2的等差数列，
则bn=1+2(n−(2)=2n−1，
cn=anbn=(2n−(3)⋅3n−1，
则Tn=1⋅30+3⋅31+5⋅32+...+(2n−(4)⋅3n−1，
3Tn=1⋅3+3⋅32+5⋅33+...+(2n−(5)⋅3n，
两式相减可得−2Tn=1+2(31+32+...+3n−1)−(2n−(6)⋅3n
=1+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n−(7)⋅3n，
化简可得Tn=1+(n−(8)⋅3n，
由{Tn}为递增数列，可得n=1时，Tn取得最小值1；
选③5bn=−bn−1(n≥(9)，可得{bn}为首项为1，公比为−15的等比数列，
则bn=(−15)n−1；
cn=anbn=(−35)n−1，
可得Tn=1−(−35)n1−(−35)=58−58⋅(−35)n，T1=1，T2=25，
当n为奇数时，58可得n=2时，Tn取得最小值25．
【答案】
证明：（1）先证充分性：当t=3时，有Sn=3n+1−3，
∵ 当n≥2时，有an=Sn−Sn−1=3n+1−3n=2×3n；又当n=1时，a1=S1=32−3=6也适合上式，
∴ an=2×3n，an+1an=3为常数，
∴ 数列{an}是等比数列；
（2）再证必要性：当数列{an}是等比数列时，有a22=a1a3，
∵ a1=S1=9−t，a2=S2−S1=33−32=18，a3=S3−S2=34−33=54，
∴ 54(9−t)=182，解得：t=3，
综合（1）（2），原命题得证．
【考点】
等比数列的性质
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
分充分性与必要性分别证明，即可得到结论．
【解答】
证明：（1）先证充分性：当t=3时，有Sn=3n+1−3，
∵ 当n≥2时，有an=Sn−Sn−1=3n+1−3n=2×3n；又当n=1时，a1=S1=32−3=6也适合上式，
∴ an=2×3n，an+1an=3为常数，
∴ 数列{an}是等比数列；
（2）再证必要性：当数列{an}是等比数列时，有a22=a1a3，
∵ a1=S1=9−t，a2=S2−S1=33−32=18，a3=S3−S2=34−33=54，
∴ 54(9−t)=182，解得：t=3，
综合（1）（2），原命题得证．
【答案】
设新村A的噪音能量为g(x)=kx，新村，B的噪音能量为h(x)=1−k3−x，
则f(x)=g(x)+h(x)=kx+1−k3−x(0由题意，f(2)=23，即k2+1−k＝23，解得k=23．
∴ f(x)=23x+13(3−x)，(0f(x)=23x+13(3−x)=13(2x+13−x)=13⋅6−x3x−x2(0令t(x)=6−x3x−x2(0则t′(x)=−(3x−x2)−(6−x)(3−2x)(3x−x2)2=−(x−6−32)(x−6+32)(3x−x2)2，
当x∈(0, 6−32)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，
当x∈(6−32, 3)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，
∴ 当x=6−32百米时，f(x)有最小值．
故最合理方案中A与C之间的距离为6−32百米．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）由题意可得f(x)=kx+1−k3−x(0（2）对（1）中求得的函数解析式利用导数求最值，即可得到最合理方案中A与C之间的距离．
【解答】
设新村A的噪音能量为g(x)=kx，新村，B的噪音能量为h(x)=1−k3−x，
则f(x)=g(x)+h(x)=kx+1−k3−x(0由题意，f(2)=23，即k2+1−k＝23，解得k=23．
∴ f(x)=23x+13(3−x)，(0f(x)=23x+13(3−x)=13(2x+13−x)=13⋅6−x3x−x2(0令t(x)=6−x3x−x2(0则t′(x)=−(3x−x2)−(6−x)(3−2x)(3x−x2)2=−(x−6−32)(x−6+32)(3x−x2)2，
当x∈(0, 6−32)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，
当x∈(6−32, 3)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，
∴ 当x=6−32百米时，f(x)有最小值．
故最合理方案中A与C之间的距离为6−32百米．
【答案】
根据题意可得2b＝2a+c＝2+1b2＝a2−c2，
解得a=2，b=1，c=1，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1．
证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x0, y0)，
则x122+y12＝1x222+y22＝1，
两式作差，得(x1+x2)(x1−x2)2+(y1+y2)(y1−y2)=0，
所以y1−y2x1−x2=−x1+x22(y1+y2)，
即kAB=−x1+x22(y1+y2)，
因为M为AB中点，
所以x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
所以kAB=−2x02×2y0=−x02y0，
因为QA=QB，M为AB中点，
所以QM⊥AB，
所以kQM=−1kAB=2y0x0，
所以QM直线方程为：y−y0=2y0x0(x−x0)，
当x=0时，y=−y0，
所以Q(0, −y0)，
所以QM中点为(x02, 0)恒在定直线y=0上得证．
根据题意可得直线AB斜率存在，
设直线AB方程为：y=kx+2，
联立y＝kx+2x22+y2＝1，得(1+2k2)x2+8kx+6=0，
△=(8k)2−4×(1+2k2)×6=16k2−24>0，解得k2>32，
所以x1+x2=−8k1+2k2①，x1x2=61+2k2②，
所以x1，x2同号，
过点A，B分别作AD⊥y轴，BE⊥y轴于点D，E，则
PAPB=|AD||BE|=|x1||x2|=x1x2，设x1x2＝m，
则x1=mx2分别代入①②，得
(m+1)x2=8k1+2k2③，mx22=61+2k2④，
由③④可得，(m+1)2x22mx22=323×k21+2k2=323×11k2+2，(k2>32)
即(m+1)2m=323×11k2+2，(k2>32)
所以1k2∈(0, 23)，
1k2+2∈(2, 83)，
11k2+2∈(38, 12)，
323×11k2+2∈(4, 163)，
所以(m+1)2m∈(4, 163)
令f(m)=(m+1)2m=m2+2m+1m=m+1m+2，
所以m+1m∈(2, 103)，
当m+1m=2时，解得m=1，
当m+1m=103时，解得m=13，3
作出h(m)=m+1m 与y=2，y=103图象，
所以m的取值范围为(13, 1)∪(1, 3)，
所以PAPB的取值范围为(13, 1)∪(1, 3)，
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）根据题意可得2b＝2a+c＝2+1b2＝a2−c2，解得a，b，c，进而得椭圆C的方程．
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x0, y0)，由点差法得kAB=−x1+x22(y1+y2)，由M为AB中点，得kAB=−x02y0，由QA=QB，M为AB中点，得kQM=2y0x0，QM直线方程，进而得Q(0, −y0)，推出QM中点为(x02, 0)恒在定直线y=0上得证．
（3）根据题意可得直线AB斜率存在，设直线AB方程为：y=kx+2，联立联立直线AB与椭圆的方程得关于x的一元二次方程，由△>0，解得k2>32，及韦达定理得x1+x2，x1x2，推出PAPB=x1x2，设x1x2＝m，(m+1)2m=323×11k2+2，(k2>32)进而求出m的取值范围．
【解答】
根据题意可得2b＝2a+c＝2+1b2＝a2−c2，
解得a=2，b=1，c=1，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1．
证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x0, y0)，
则x122+y12＝1x222+y22＝1，
两式作差，得(x1+x2)(x1−x2)2+(y1+y2)(y1−y2)=0，
所以y1−y2x1−x2=−x1+x22(y1+y2)，
即kAB=−x1+x22(y1+y2)，
因为M为AB中点，
所以x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
所以kAB=−2x02×2y0=−x02y0，
因为QA=QB，M为AB中点，
所以QM⊥AB，
所以kQM=−1kAB=2y0x0，
所以QM直线方程为：y−y0=2y0x0(x−x0)，
当x=0时，y=−y0，
所以Q(0, −y0)，
所以QM中点为(x02, 0)恒在定直线y=0上得证．
根据题意可得直线AB斜率存在，
设直线AB方程为：y=kx+2，
联立y＝kx+2x22+y2＝1，得(1+2k2)x2+8kx+6=0，
△=(8k)2−4×(1+2k2)×6=16k2−24>0，解得k2>32，
所以x1+x2=−8k1+2k2①，x1x2=61+2k2②，
所以x1，x2同号，
过点A，B分别作AD⊥y轴，BE⊥y轴于点D，E，则
PAPB=|AD||BE|=|x1||x2|=x1x2，设x1x2＝m，
则x1=mx2分别代入①②，得
(m+1)x2=8k1+2k2③，mx22=61+2k2④，
由③④可得，(m+1)2x22mx22=323×k21+2k2=323×11k2+2，(k2>32)
即(m+1)2m=323×11k2+2，(k2>32)
所以1k2∈(0, 23)，
1k2+2∈(2, 83)，
11k2+2∈(38, 12)，
323×11k2+2∈(4, 163)，
所以(m+1)2m∈(4, 163)
令f(m)=(m+1)2m=m2+2m+1m=m+1m+2，
所以m+1m∈(2, 103)，
当m+1m=2时，解得m=1，
当m+1m=103时，解得m=13，3
作出h(m)=m+1m 与y=2，y=103图象，
所以m的取值范围为(13, 1)∪(1, 3)，
所以PAPB的取值范围为(13, 1)∪(1, 3)，