2020-2021学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

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这是一份2020-2021学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={x|−1A.{−1, 0, 1}B.{1, 2}C.{0, 1, 2}D.{0, 1}

2. 已知等比数列{an}的各项都是正数，且a3a7＝9，则a5＝（）
A.9B.−3C.3D.±3

3. 若α∈R，sinα⋅csα<0，tanα⋅sinα<0，则α是（）
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

4. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）

A.B.
C.D.

5. 如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）

A.-++B.C.--+D.

6. 已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是（）
A.x2−1>0B.C.sinx−x>0D.csx+x>0

7. 已知直线l⊂平面α，则“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8. 已知过点M(2, −4)的直线l与圆C：(x−1)2+(y+2)2=5相切，且与直线m:ax−2y+3=0垂直，则实数a的值为（）
A.4B.2C.−2D.−4

9. 已知函数f(x)＝ax2−x(a≠0)，若对任意x1，x2∈[2, +∞)，且x10，则实数a的取值范围是（）
A.B.C.D.

10. 边长为4的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与平面ABCD所成角为，则球O的表面积为（）
A.64πB.32πC.16πD.128π

11. 已知Sn=n2+n+a+1是一个等差数列的前n项和，对于函数f(x)＝x2−ax，若数列{1f(n)}的前n项和为Tn，则T2020的值为（）
A.20212022B.20182019C.20192020D.20202021

12. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A.(1, 2]B.(1, 2)C.[2, +∞)D.(2, +∞)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

已知向量、不共线，，，若，则实数m＝________．

某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为________．

为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则池水中药品的浓度最大可达到 4 mg/L．

已知函数，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，现有如下命题：
p1：函数g(x)的最小正周期是2π；
p2：函数g(x)在区间上单调递增；
p3：函数g(x)在区间上的值域为[−1, 2]．
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①（￢p2）∧p3；②p1∨（￢p3）；③p2∨p3；④p1∧p2．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(Ⅰ)解不等式；
(Ⅱ)已知函数f(x)＝mx2−mx−1(m≠0)，若f(x)<0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．

设等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=14，a2+a12=10．
（1）求an；

（2）设bn＝2an，证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C−sin2B＝sinAsinC，c＝2．
（1）求sinB的值；

（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．

为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1．

（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？

（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2．
(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(ⅱ)若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率．

已知椭圆的离心率为，抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点．
（1）求的值；

（2）设M为C1与C2的公共点，若，求C1与C2的标准方程．

如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60∘，且FA＝FC．
(Ⅰ)求证：平面ACF⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求二面角A−FC−B的余弦值．

参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据交集的定义，计算即可．
【解答】
集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={x|−1则A∩B={0, 1, 2}．
2.
【答案】
C
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
不等式的概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
直线垂直于平面，则必垂直平面内的任意直线，但要使直线垂直平面，则需要垂直于平面内两条相交直线，由此即可作出判断．
【解答】
若直线m垂直于平面α，则直线m必垂直平面内的直线l，
但直线m要垂直于平面α，则m要垂直于平面α内的两条相交直线，故m⊥l无法推知直线m⊥平面α，
故“直线m⊥平面α”是“m⊥l”的充分不必要条件，
8.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
直线与圆的位置关系
【解析】
根据题意，分析可得点M在圆C上，结合直线与圆相切的性质可得直线CM与直线m平行，求出直线CM的斜率，分析可得a2=−2，解可得a的值，即可得答案．
【解答】
根据题意，圆C：(x−1)2+(y+2)2=5，圆心C(1, −2)，
而点M(2, −4)，则有(2−1)2+(−4+2)2=5，则点M在圆C上，
若过点M的切线与直线m:ax−2y+3=0垂直，则直线CM与直线m平行，
而直线MC的斜率k=(−4)−(−2)2−1=−2，
则有a2=−2，则a=−4，
9.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
利用已知条件画出图形，求出外接球的半径，然后求解表面积．
【解答】
如图，设正方形ABCD外接圆的圆心为O1，由题意，，则，表面积S＝4π⋅42＝64π．
11.
【答案】
D
【考点】
数列的求和
【解析】
利用等差数列的前n项和，求出a，化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和即可．
【解答】
Sn=n2+n+a+1是一个等差数列的前n项和，
可得a+1＝0，解得a＝−1，
所以函数f(x)＝x2+x，
数列{1f(n)}即{1n2+n}，1n2+n=1n−1n+1，
所以数列{1n2+n}的前n项和为Tn=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1，
则T2020＝1−12021=20202021．
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
直线的倾斜角
【解析】
若过点F且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【解答】
解：已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，
∴ ba≥3，离心率e2=c2a2=a2+b2a2≥4，
∴ e≥2.
故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
−3
【考点】
平行向量（共线）
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
0.39
【考点】
相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
4
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
①③
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
（1）根据题意，不等式，但x≠3，
解得x>3或，
故原不等式的解集为；
（2）根据题意，由于m≠22−mx−1<6对于一切实数x都成立，
则有，解之得−4故m的取值范围是(−4, 0)．
【考点】
其他不等式的解法
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据题意，{an}是等差数列，
若S7=14，a2+a12=10，则有S7=7a1+21d=14，a2+a12=2a1+12d=10，
联立解得a1=−1，d=1，
所以an=n−2；
证明：由bn＝2an=2n−2，则bn+1bn＝2an+12an＝2n−12n−2＝2，
故列{bn}是首项为12，公比为2的等比数列．
数列{bn}的前n项和Tn＝12(1−2n)1−2＝2n−1−12．
【考点】
等比数列的性质
数列的求和
等差数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
（1）根据题意，由等差数列的通项公式和前n项和公式可得S7=7a1+21d=14，a2+a12=2a1+12d=10，解可得a1、d的值，由等差数列的通项公式即可得答案，
（2）根据题意，求出数列{bn}的通项公式，由等比数列的定义可得结论，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，{an}是等差数列，
若S7=14，a2+a12=10，则有S7=7a1+21d=14，a2+a12=2a1+12d=10，
联立解得a1=−1，d=1，
所以an=n−2；
证明：由bn＝2an=2n−2，则bn+1bn＝2an+12an＝2n−12n−2＝2，
故列{bn}是首项为12，公比为2的等比数列．
数列{bn}的前n项和Tn＝12(1−2n)1−2＝2n−1−12．
【答案】
△ABC中，sin2A+sin2C−sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得，a5+c2−b2＝ac，
所以csB＝＝＝；
又B∈(0, π)，
所以sinB＝＝＝；
如图所示，
设BD＝AD＝4DC＝x，由c＝AB＝2，
利用余弦定理得，AD2＝AB7+BD2−2AB⋅BD⋅csB，
即x7＝22+x3−2×2×x×，
解得x＝3，CD＝，
所以△ABC的面积为
S△ABC＝AB⋅BC⋅sinB＝）×．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题意知，小吃类所占比例为：
1−25%−15%−10%−5%−4%＝40%，
按照分层抽样的方式随机抽取，
应抽取小吃类商贩：100×40%＝40（家），
果蔬类商贩100×15%＝15（家）．
(i)该果蔬经营点的日平均收入为：
(75×0.002+125×0.009+175×6.006+225×0.002+275×0.001)×50＝152.2（元）．
(ⅱ)该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6，其中超过250元的有2天，
记日收入超过250元的7天为a1，a2，其余3天为b1，b2，b7，b4，
随机抽取两天的所有可能情况为：
(a1, a7)，(a1, b1)，(a2, b2)，(a1, b6)，(a1, b4)，(a5, b1)，(a2, b8)，(a2, b3)，
(a8, b4)，(b1, b4)，(b1, b3)，(b6, b4)，(b2, b6)，(b2, b4)，(b4, b1)，共15种，
其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：
(a1, a6)，(a1, b1)，(a3, b2)，(a1, b6)，(a1, b4)，(a2, b1)，(a2, b4)，(a2, b3)，(a4, b4)，共9种．
所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为P＝＝．
【考点】
频率分布直方图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为椭圆C1的离心率为，所以设其方程为，0)，
令x＝c解得y＝，所以AB＝3c，
又抛物线C2的焦点与椭圆C1的右焦点F(c, 0)重合8＝4cx，
令x＝c解得y＝±2c，所以CD＝5c，
故；
由，消去y得：4x2+16cx−12c2＝3，解得x＝，
所以M（），
因为OM＝，所以，
所以c＝5，
即椭圆方程为，抛物线方程为y5＝4x．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：AC与BD交于点O，连接FO，
∵ FA＝FC，O是AC中点，∴ FO⊥AC，
∵ 四边形BDEF为菱形，∠DBF＝60∘，
∴ FD＝FB，∴ FO⊥BD，
又AC∩BD＝0，∴ FO⊥平面ABCD，
∵ FO⊥平面ACF，∴ 平面ACF⊥平面ABCD．
（2）易知OA，OB，
以O为原点，OA、OF分别为x、y，
设AB＝2，∵ 四边形ABCD为菱形，
则BD＝8，∴ OB＝1，，
故O(6, 0, 0)，8，0)，，，
∴ ，，，
设平面BFC的一个法向量为，
则，取x＝1，得，
显然，为平面ACF的一个法向量，
∴ ，
由图知，二面角A−FC−B的平面角为锐角，
∴ 二面角A−FC−B得余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答

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