2020-2021学年四川省成都市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省成都市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 圆x−22+y+32=4的圆心和半径分别是( )
A.2,−3，2B.−2,3，4C.2,−3，4D.−2,3，2

2. 椭圆x25+y24=1的长轴长是( )
A.2B.4C.10D.25

3. 双曲线3x2−y2=1的渐近线方程为( )
A.y=3xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±33x

4. 已知椭圆C:x24+y22=1的焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，则△ABF2的周长为( )
A.2B.8C.6D.4

5. 在空间直角坐标系中，点A在z轴上，它到点P0,2,3的距离等于到点Q0,1,−1的距离，那么A点的坐标是( )
A.0,0,1B.0,0,2C.0,0,98D.0,0,89

6. 圆O1:x2+y2−2x=0和圆O2:x2+y−22=4的位置关系是( )
A.相离B.相交C.外切D.内切

7. 直线x−2y+6=0被圆x2+y2+4x−4y=0所截的弦长等于( )
A.42B.43C.32D.33

8. 圆x2+y2−4x−4y−10=0上的点到直线x+y−14=0的最大距离与最小距离的差是( )
A.36B.18C.62D.52

9. 已知椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A.34B.23C.35D.45

10. 已知F1,F2分别是双曲线x29−y216=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|⋅|PF2|=32，△PF1F2的面积为( )
A.16B.32C.8D.64

11. 已知圆C:x2+y2−4x+3=0，则圆C关于直线y=−x−4的对称圆的方程是( )

A.(x+7)2+(y+5)2=1B.(x+6)2+(y+4)2=1
C.(x+5)2+(y+7)2=1D.(x+4)2+(y+6)2=1

12. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过其右焦点F且平行于一条渐近线的直线l与另一条渐近线交于点A，l与双曲线交于点B，若|BF|=2|AB|，则双曲线的离心率为( )
A.233B.3C.2D.2
二、填空题

设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为6，离心率为53，则该椭圆的方程是________.

方程x25+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________.

过圆C:x2+y2−2x−3=0内一点P(2,1)作直线l，则直线l被圆C所截得的最短弦长为________．

已知双曲线2x2−y2=2，则以点A(2, 3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________．
三、解答题

求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)过点3,−2，−23,1的椭圆的标准方程；

(2)过点2,−2且与x22−y2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程.

已知圆C过点M0,−2，N3,1且圆心C在直线x−y+1=0上．
(1)求圆C的方程；

(2)求过3,5与圆相切的直线方程．

已知动点P到定点F1−5,0，F25,0的距离之差的绝对值为2，
(1)求动点P的轨迹方程C；

(2)轨迹C上一点Q到定点F1,F2的距离之和为14，求△QF1F2的面积．

设点A，B的坐标分别为−2,0，2,0直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是−12.
(1)求点P的轨迹方程C；

(2)设直线y=kx+1与曲线C交于M，N两点，当|MN|=423时，求直线的方程．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，且a2c=33．
(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．


已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，点M(1, 0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(1, 0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3, 2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
圆的标准方程
【解析】
直接利用圆的标准方程求解即可.
【解答】
解：在圆x−22+y+32=4中，
圆心坐标为(2,−3)，
半径是r=2.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】

【解答】
解：椭圆的焦点坐标在x轴上，故a2=5，
∴ a=5，
∴ 长轴长为2a=25．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
将双曲线的方程化为标准方程，由双曲线x2a2−y2b2=1(a, b>0)的渐近线方程为y=±bax，即可得到所求渐近线方程．
【解答】
解：双曲线3x2−y2=1，即x213−y2=1，
由双曲线x2a2−y2b2=1(a, b>0)的渐近线方程为：
y=±bax，
可得所求双曲线的渐近线方程为y=±3x．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
【解析】
椭圆方程为x24+y22=1焦点在x轴上，a=2，根据椭圆的定义进行求解即可.
【解答】
解：如图，
椭圆方程为x24+y22=1焦点在x轴上，且a=2，
根据椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=4，
|BF1|+|BF2|=2a=4，
则△ABF2的周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|
=4a=8.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】

【解答】
解：设A0,0,z，
∵ |AP|=|AQ|，
∴ 0−02+0−22+z−32
=0−02+0−12+z+12，
解得z=98，
∴ A0,0,98.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
圆的一般方程
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】

【解答】
解：化为标准方程：O1:(x−1)2+y2=1，
则O11,0，r=1，O20,2，R=2，
|O1O2|=1−02+0−22=5．
∵ R−rb>0，
由题知：2a=6，e=ca=53，
所以a=3，c=5⇒b2=4，
所以椭圆的标准方程为x29+y24=1．
故答案为：x29+y24=1．
【答案】
m>5
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
根据焦点在y轴上的椭圆的方程的特点是方程中y2的分母比x2分母大且是正数，列出不等式，求出m的范围．
【解答】
解：方程x25+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴ m>5.
故答案为：m>5.
【答案】
22
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
与圆有关的最值问题
【解析】
无
【解答】
解：圆的标准方程为：x−12+y2=4，
当圆心C1,0与定点P(2,1)的连线垂直于过点P的直线时，
所得弦长最短，此时|CP|=2−12+12=2，
所以弦长=24−2=22．
故答案为：22.
【答案】
4x−3y+1=0
【考点】
直线的点斜式方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
设以A(2, 3)为中点的双曲线的弦BC的坐标，利用点差法，求出直线方程，再进行验证可得结论．
【解答】
解：设以A(2, 3)为中点的双曲线的弦BC，
B(x1, y1)，C(x2, y2)，
则2x12−y12=2，①，2x22−y22=2，②
①−②可得2(x12−x22)−(y12−y22)=0，
即2(x1+x2)(x1−x2)=(y1+y2)(y1−y2)，
∵ A(2, 3)为BC的中点，
∴ x1+x2=4，y1+y2=6,
∴ k=y1−y2x1−x2=2(x1+x2)y1+y2=43，
∴ 以A(2, 3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：
y−3=43(x−2)，
即4x−3y+1=0.
故答案为：4x−3y+1=0.
三、解答题
【答案】
解：(1)设椭圆的方程为：
mx2+ry2=1，
由题知：3m+4n=1,12m+n=1,解得m=115,n=15,
∴ 椭圆的标准方程为：x215+y25=1．
(2)设双曲线的方程为：x22−y2=λ，
∵ 所求所曲线过点2,−2，
∴ λ=42−4=−2，
∴ 双曲线的标准方程为：y22−x24=1．
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设椭圆的方程为：
mx2+ry2=1，
由题知：3m+4n=1,12m+n=1,解得m=115,n=15,
∴ 椭圆的标准方程为：x215+y25=1．
(2)设双曲线的方程为：x22−y2=λ，
∵ 所求所曲线过点2,−2，
∴ λ=42−4=−2，
∴ 双曲线的标准方程为：y22−x24=1．
【答案】
解：(1)由题设条件设圆心坐标为Ca,a+1，
∵ 圆C过点M0,−2，N3,1，
∴ |MC|=|NC|，
即a2+a+1+22=a−32+a+1−12，
解得a=0，
∴ 圆心C0,1，半径r=3，
∴ 圆C的标准方程为：x2+y−12=9.
(2)当切线的斜率不存在时，其方程为：x=3，
∴ 圆心C到直线的距离d=3=r．
∴ x=3满足题意．
当切线的斜率存在时，设斜率为k，
则切线的方程为：y−5=kx−3即kx−y+5−3k=0．
∴ 圆心C到直线的距离d=|4−3k|k2+1=3，
化简得：24k=7即k=724，
∴ 切线方程为：7x−24y+99=0，
综上知：所求直线方程为：x=3或7x−24y+99=0.
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
两点间的距离公式
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题设条件设圆心坐标为Ca,a+1，
∵ 圆C过点M0,−2，N3,1，
∴ |MC|=|NC|，
即a2+a+1+22=a−32+a+1−12，
解得a=0，
∴ 圆心C0,1，半径r=3，
∴ 圆C的标准方程为：x2+y−12=9.
(2)当切线的斜率不存在时，其方程为：x=3，
∴ 圆心C到直线的距离d=3=r．
∴ x=3满足题意．
当切线的斜率存在时，设斜率为k，
则切线的方程为：y−5=kx−3即kx−y+5−3k=0．
∴ 圆心C到直线的距离d=|4−3k|k2+1=3，
化简得：24k=7即k=724，
∴ 切线方程为：7x−24y+99=0，
综上知：所求直线方程为：x=3或7x−24y+99=0.
【答案】
解：(1)由题知：||PF2|−|PF2||=20，b>0），
则2a=2，c=5⇒a=1，b=52−1=26．
∴ 动点P的轨迹方程C：x2−y224=1．
(2)不妨设点Q在双曲线的右支上，
由题知：|QF1|+|QF2|=14，
又由双曲线的定义知：|QF1|−|QF2|=2，
∴ |QF1|=8，|QF2|=6．
又∵ |F1F2|=10，∴ |QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2．
∴ S△QF1F2=12×6×8=24．
【考点】
双曲线的定义
轨迹方程
双曲线的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题知：||PF2|−|PF2||=20，b>0），
则2a=2，c=5⇒a=1，b=52−1=26．
∴ 动点P的轨迹方程C：x2−y224=1．
(2)不妨设点Q在双曲线的右支上，
由题知：|QF1|+|QF2|=14，
又由双曲线的定义知：|QF1|−|QF2|=2，
∴ |QF1|=8，|QF2|=6．
又∵ |F1F2|=10，∴ |QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2．
∴ S△QF1F2=12×6×8=24．
【答案】
解：(1)设点P的坐标为(x,y)，
由题知：kAP⋅kBP=−12，
∵ A−2,0，B2,0，
∴ kAP⋅kBP=yx+2⋅yx−2=−12（x≠±2），
化简整理得：x22+y2=1（x≠2），
所以点P的轨迹方程C为：x22+y2=1（x≠±2）.
(2)联立x22+y2=1,y=kx+1,消去y得：
1+2k2x2+4kx=0，
设直线与曲线C交于Mx1,y1，Nx2,y2两点，
∴ x1+x2=−4k1+2k2，x1x2=0．
∴ |MN|=1+k2−4k1+2k22−4×0=423．
化简得：k4+k2−2=0．
∴ k2=1或k2=−2（舍去）．
∴ k=±1经检验符合题意．
∴ 直线的方程是：y=±x+1即x−y+1=0或x+y−1=0．
【考点】
直线的斜率
轨迹方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设点P的坐标为(x,y)，
由题知：kAP⋅kBP=−12，
∵ A−2,0，B2,0，
∴ kAP⋅kBP=yx+2⋅yx−2=−12（x≠±2），
化简整理得：x22+y2=1（x≠2），
所以点P的轨迹方程C为：x22+y2=1（x≠±2）.
(2)联立x22+y2=1,y=kx+1,消去y得：
1+2k2x2+4kx=0，
设直线与曲线C交于Mx1,y1，Nx2,y2两点，
∴ x1+x2=−4k1+2k2，x1x2=0．
∴ |MN|=1+k2−4k1+2k22−4×0=423．
化简得：k4+k2−2=0．
∴ k2=1或k2=−2（舍去）．
∴ k=±1经检验符合题意．
∴ 直线的方程是：y=±x+1即x−y+1=0或x+y−1=0．
【答案】
解：(1)∵ 双曲线的离心率为3，且a2c=33，
∴ ca=3,a2=33c,c2=a2+b2,解得a=1,c=3,b2=2,
∴ 双曲线C的方程为x2−y22=1.
(2)设点A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点M(s, t)，
则s=x1+x22,t=y1+y22,kAB=y1−y2x1−x2=1．
∵ x12−y122=1，x22−y222=1，
两式相减得(x1+x2)(x1−x2)−(y1+y2)(y1−y2)2=0，
∴ s−t2=0.
∵ 线段AB的中点在圆x2+y2=5上，
∴ s2+t2=5，联立解得s=1,t=2,或s=−1,t=−2,
∵ 中点M在直线x−y+m=0上，
∴ 1−2+m=0或−1−(−2)+m=0，
解得m=1或−1．
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
圆锥曲线的综合问题
中点坐标公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 双曲线的离心率为3，且a2c=33，
∴ ca=3,a2=33c,c2=a2+b2,解得a=1,c=3,b2=2,
∴ 双曲线C的方程为x2−y22=1.
(2)设点A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点M(s, t)，
则s=x1+x22,t=y1+y22,kAB=y1−y2x1−x2=1．
∵ x12−y122=1，x22−y222=1，
两式相减得(x1+x2)(x1−x2)−(y1+y2)(y1−y2)2=0，
∴ s−t2=0.
∵ 线段AB的中点在圆x2+y2=5上，
∴ s2+t2=5，联立解得s=1,t=2,或s=−1,t=−2,
∵ 中点M在直线x−y+m=0上，
∴ 1−2+m=0或−1−(−2)+m=0，
解得m=1或−1．
【答案】
(1)解：由题意知c=2，∴ a2−b2=2.
∵ 点M（1,0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
∴ b=|OM|=1，∴ a=3，
∴ 椭圆C的方程为x23+y2=1.
(2)证明：①当直线l的斜率不存在时，
由x=1，x23+y2=1，解得x=1,y=±63.
设A1,63,B1,−63，
则k1+k2=2−632+2+632=2为定值.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)，
将y=k(x−1)代入x23+y2=1化简整理得(3k2+1)x2−6k2x+3k2−3=0，
由题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=6k23k2+1,x1x2=3k2−33k2+1.
又y1=k(x1−1),y2=k(x2−1)，
∴ k1+k2=2−y13−x1+2−y23−x2
=(2−y1)(3−x2)+(2−y2)(3−x1)(3−x1)(3−x2)
=[2−k(x1−1)](3−x2)+[2−k(x2−1)](3−x1)9−3(x1+x2)+x1x2
=12−2(x1+x2)+k[2x1x2−4(x1+x2)+6]9−3(x1+x2)+x1x2
=12−2(6k23k2+1)+k(2×3k2−33k2+1−4×6k23k2+1+6)9−3×6k23k2+1+3k2−33k2+1
=12(2k2+1)6(2k2+1)=2.
综上，k1+k2=2，为定值.
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由题意知c=2，∴ a2−b2=2.
∵ 点M（1,0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
∴ b=|OM|=1，∴ a=3，
∴ 椭圆C的方程为x23+y2=1.
(2)证明：①当直线l的斜率不存在时，
由x=1，x23+y2=1，解得x=1,y=±63.
设A1,63,B1,−63，
则k1+k2=2−632+2+632=2为定值.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)，
将y=k(x−1)代入x23+y2=1化简整理得(3k2+1)x2−6k2x+3k2−3=0，
由题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=6k23k2+1,x1x2=3k2−33k2+1.
又y1=k(x1−1),y2=k(x2−1)，
∴ k1+k2=2−y13−x1+2−y23−x2
=(2−y1)(3−x2)+(2−y2)(3−x1)(3−x1)(3−x2)
=[2−k(x1−1)](3−x2)+[2−k(x2−1)](3−x1)9−3(x1+x2)+x1x2
=12−2(x1+x2)+k[2x1x2−4(x1+x2)+6]9−3(x1+x2)+x1x2
=12−2(6k23k2+1)+k(2×3k2−33k2+1−4×6k23k2+1+6)9−3×6k23k2+1+3k2−33k2+1
=12(2k2+1)6(2k2+1)=2.
综上，k1+k2=2，为定值.