2020-2021学年四川省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知直线l的方程为y=−x+1，则该直线l的倾斜角为（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.135∘

2. 已知命题p:∃x∈R，sinx>1，则（ ）
A.￢p:∃x∈R，sinx≤1B.￢p:∃x∈R，sinx≤1
C.￢p:∀x∈R，sinx≤1D.￢p:∀x∈R，sinx>1

3. 若直线x+ay＝1与直线ax+y＝1平行，则a的值为（ ）
A.a＝1B.a＝−1C.a＝±1D.a＝0

4. 圆(x+1)2+(y−1)2＝4上到直线的距离为1的点共有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个

5. 设圆C与圆x2+(y−3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆

6. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为(（ )
A.−23B.53C.23D.255

7. 设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A.a⊥α，b // β，α⊥βB.a⊥α，b⊥β，α // β
C.a⊂α，b⊥β，α // βD.a⊂α，b // β，α⊥β

8. 一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（ ）

A.B.C.D.

9. 已知曲线C:mx2+ny2＝1，给出以下命题：
①若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上；
②若m＝n>0，则C是圆，其半径为；
③若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为；
④若m＝0，n>0，则C是两条直线．
其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4

10. 我国的航天事业取得了辉煌的成就，归功于中国共产党的坚强领导，这归功于几代航天人的不懈奋斗．中国工程院院士、中国探月工程总设计师、巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一，同学们应当好好学习航天人和航天精神．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面m千米，远地点（离地面最远的点）B距离地面n千米，并且F2、A、B在同一条直线上，地球的半径为R千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A.B.
C.mnD.2mn

11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M(1,12)，则椭圆的离心率为（ ）
A.22B.12C.14D.32

12. 表面积为60π的球面上有四点S，A，B，C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S−ABC体积的最大值为（ ）
A.B.18C.27D.
二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填写在答题卡上)

若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2−y2=1的一个焦点，则p=________．

如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是________．

阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262−190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知△OAM的两个顶点O、A是定点，它们的坐标分别为O(0, 0)、A(3, 0)；另一个顶点M是动点，且满足sin∠AOM＝2sin∠OAM，则当△OAM的面积最大时，OA边上的高为________．

双曲线的离心率为，点A，B是双曲线上关于原点对称的两点，点M是双曲线上异于点A，B的动点，若直线MA，MB的斜率都存在且分别为k1，k2，则|k1|+4|k2|的最小值为________．
三、解答题(共6题，满分10分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤)（10分，请考生在下面“17题【简易逻辑】”或“18题【参数方程与极坐标】”两个题目中任意选择一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目记分）

已知m∈R，命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程表示双曲线．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
[参数方程与极坐标]

已知过点P(m, 0)的直线l的参数方程是x=m+32ty=12t （t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2csθ．
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|⋅|PB|=2，求实数m的值．

如图，在底面是矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．

（1）求证：PB // 平面EAC；

（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．

已知圆经过A(1, 1)和B(2, −2)两点，且圆心C在直线x−y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；

（2）若过点M(−6, 4)的直线l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝8，求直线l的方程．

已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(3, y0)在抛物线C上，且|AF|＝4．
（1）求抛物线C的方程及A点的坐标．

（2）已知直线l与抛物线C相交于不同两点M、N，O为坐标原点，若OM⊥ON，求证：直线l恒过某定点，并求出该定点的坐标．

如图（1），在四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=23，BC=4，AD=6，E是AD上的点，AE=13AD．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，且A1C=4，如图（2）．

（1）求证：平面A1BE⊥平面BCDE；

（2）若P为线段BE上任一点，求直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值．

已知椭圆M：+＝1(a>0)的一个焦点为F(−1, 0)，左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1−S2|的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由直线的方程求出斜率，再由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的值．
【解答】
解：∵ 直线l的方程为y=−x+1，∴ 斜率为−1，
又倾斜角α∈[0, π)，∴ α=135∘．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
圆锥曲线的轨迹问题
抛物线的定义
圆与圆的位置关系及其判定
圆的切线方程
圆的一般方程
【解析】
由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．
【解答】
解：设C的坐标为(x, y)，圆C的半径为r，圆x2+(y−3)2=1的圆心为A，
∵ 圆C与圆x2+(y−3)2=1外切，与直线y=0相切，
∴ |CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r.
∴ |CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=−1的距离.
由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
连结BE，则CD // AB，从而∠BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值．
【解答】
连结BE，
∵ 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，
∴ CD // AB，
∴ ∠BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），
设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为2，
则AB＝2，BE=4+1=5，AB⊥BE，
AE=AB2+BE2=4+5=3，
∴ 异面直线AE与CD所成角的余弦值为：
cs∠BAE=ABAE=23．
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为23．
7.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．
【解答】
解：A，B，D的反例如图：
故选C.
8.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
B
【考点】
曲线与方程
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)．由AB的中点为M(1,12)，可得x1+x2＝2，y1+y2＝1．由PF // l，可得kPF＝kl=−bc=y1−y2x1−x2．由x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1．作差代入即可得出．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
∵ AB的中点为M(1,12)，∴ x1+x2＝2，y1+y2＝1．
∵ PF // l，∴ kPF＝kl=−bc=y1−y2x1−x2．
由x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1．
∴ (x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
∴ 2a2+−bcb2=0，可得：2bc＝a2，
∴ 4c2(a2−c2)＝a4，化为：4e4−4e2+1＝0，
解得e2=12，0∴ e=22．
12.
【答案】
C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填写在答题卡上)
【答案】
22
【考点】
抛物线的求解
【解析】
先求出x2−y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．
【解答】
解：双曲线x2−y2=1的左焦点为(−2, 0)，故抛物线y2=2px的准线为x=−2，
∴ p2=2，∴ p=22，
故答案为：22．
【答案】
4
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
2
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
2
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题(共6题，满分10分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤)（10分，请考生在下面“17题【简易逻辑】”或“18题【参数方程与极坐标】”两个题目中任意选择一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目记分）
【答案】
方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则，得，得1方程表示双曲线，得(m−4)(m+5)<0，
即q:−2若p∨q为真命题，p∧q为假命题，q一个为真命题，
若p真q假，则，得无解，
若p假q真，则，得−2综上−6即实数m的取值范围是−2【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[参数方程与极坐标]
【答案】
(Ⅰ)过点P(m, 0)的直线l的参数方程是x=m+32ty=12t （t为参数）．
转化为直角坐标方程为：3x−3y−3m=0，
曲线C的极坐标方程式为ρ=2csθ．
转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x．
(Ⅱ)直线l与曲线C交于两点A，B，
则：把x=m+32ty=12t （t为参数），代入曲线方程x2+y2=2x，
整理得：t2+3(m−1)t+m2−2m=0．
由于|PA|⋅|PB|=2，
故：t1∗t2=m2−m=2．
解得：m=2或−1
【考点】
参数方程与普通方程的互化
【解析】
(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
(Ⅱ)利用方程组求出一元二次方程，利用根和系数的关系式求出结果．
【解答】
(Ⅰ)过点P(m, 0)的直线l的参数方程是x=m+32ty=12t （t为参数）．
转化为直角坐标方程为：3x−3y−3m=0，
曲线C的极坐标方程式为ρ=2csθ．
转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x．
(Ⅱ)直线l与曲线C交于两点A，B，
则：把x=m+32ty=12t （t为参数），代入曲线方程x2+y2=2x，
整理得：t2+3(m−1)t+m2−2m=0．
由于|PA|⋅|PB|=2，
故：t1∗t2=m2−m=2．
解得：m=2或−1
【答案】
连结BD交AC于O，连结OE，
因为E、O分别是PD，
所以PB // EO，EO⊂平面EAC，
所以PB // 平面EAC；
∵ PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥CD．
又∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD⊥CD．
又PA∩AD＝A，PA，
∴ CD⊥平面PAD．
又∵ CD⊂平面PDC，
∴ 平面PDC⊥平面PAD．
【考点】
直线与平面平行
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵ 圆心在直线x−y+1＝0上，∴ 设圆心坐标为C(a，
根据点A(8, 1)和B(2，
可得(a−4)2+(a+1−3)2＝(a−2)7+(a+1+2)5，解得a＝−3，
∴ 圆心坐标为C(−3, −4)2＝(−3−3)2+(−3+7−1)2＝25，r＝7，
∴ 此圆的标准方程是(x+3)2+(y+6)2＝25；
由|PQ|＝8，可得弦心距为d＝，
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y−4＝k(x+7)．
由，解得k＝-．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝−6，
满足圆心到直线l的距离为3，符合题意．
综上，直线l的方程为7x+4y+2＝6或x＝−6．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
点A(3, y0)在抛物线C上，且|AF|＝3，
根据抛物线的定义可得，
解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝2x；
因为点A(3, y0)在抛物线C上，
则有，解得，
故A点的坐标为；
证明：由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty+n(n≠6)，
由，消去x可得y5−4ty−4n＝4，
设M(x1, y1)，N(x6, y2)，
则有，
因为OM⊥ON，
所以，
即，解得y4y2＝−16＝−4n，
所以n＝2，满足△＝16t2+64>0，
所以直线l的方程为x＝ty+6，
故直线l恒过定点(4, 0)．
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：取BE的中点O，连结A1O，CO，CE．
在四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=23，BC=4，AD=6，AE=13AD，
所以A1E=AE=2，BE=DE=4．
所以四边形BCDE为菱形，且△BCE为等边三角形．
又因为BO=EO，所以CO⊥BE．
因为A1O=12BE=2，CO=23，A1C=4，
所以A1O2+CO2=A1C2，即CO⊥A1O．
又因为A1O∩BE=O，所以CO⊥平面A1BE．
又因为CO⊂平面BCDE，所以平面A1BE⊥平面BCDE．
（2）解：以O为原点，向量OB→，OC→的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz（如图），则C(0,23，0)，D(−4,23，0)，A1(−1,0,3)．
设P(t, 0, 0)(−2≤t≤2)，
所以PA1→=(−1−t,0,3)，CD→=(−4,0,0)，A1C→=(1,23,−3)．
设n→=(x, y, z)是平面A1CD的一个法向量，
则n→⋅CD→=0，n→⋅A1C→=0， 即−4x=0，x+23y−3z=0．
令y=1，得n→=(0, 1, 2)．
设直线PA1与平面A1CD所成角为θ，
则sinθ=|cs⟨PA1→，n→⟩|=23(t+1)2+3×5≤255，
当且仅当t=−1时，即点P的坐标为(−1, 0, 0)时等号成立，
所以直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值为255．
【考点】
平面与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：取BE的中点O，连结A1O，CO，CE．
在四边形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=23，BC=4，AD=6，AE=13AD，
所以A1E=AE=2，BE=DE=4．
所以四边形BCDE为菱形，且△BCE为等边三角形．
又因为BO=EO，所以CO⊥BE．
因为A1O=12BE=2，CO=23，A1C=4，
所以A1O2+CO2=A1C2，即CO⊥A1O．
又因为A1O∩BE=O，所以CO⊥平面A1BE．
又因为CO⊂平面BCDE，所以平面A1BE⊥平面BCDE．
（2）解：以O为原点，向量OB→，OC→的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz（如图），则C(0,23，0)，D(−4,23，0)，A1(−1,0,3)．
设P(t, 0, 0)(−2≤t≤2)，
所以PA1→=(−1−t,0,3)，CD→=(−4,0,0)，A1C→=(1,23,−3)．
设n→=(x, y, z)是平面A1CD的一个法向量，
则n→⋅CD→=0，n→⋅A1C→=0， 即−4x=0，x+23y−3z=0．
令y=1，得n→=(0, 1, 2)．
设直线PA1与平面A1CD所成角为θ，
则sinθ=|cs⟨PA1→，n→⟩|=23(t+1)2+3×5≤255，
当且仅当t=−1时，即点P的坐标为(−1, 0, 0)时等号成立，
所以直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值为255．
【答案】
（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，
又b＝，所以a＝2，
所以椭圆方程为＝2；
（2）直线l无斜率时，直线方程为x＝−1，
此时D(−1，），C(−1，-），△ABC面积相等​1−S5|＝0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y＝k(x+5)(k≠0)，
设C(x1, y8)，D(x2, y2)，
和椭圆方程联立，消掉y得(2+4k2)x2+8k2x+5k2−12＝0，
显然△>4，方程有根​1+x2＝-，x1x6＝，
此时|S6−S2|＝2||y2|−|y2||＝2|y4+y2|＝2|k(x6+1)+k(x1+7)|
＝2|k(x2+x2)+2k|＝＝≤＝，(k＝±
所以|S1−S7|的最大值为．
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答