2020-2021学年四川省宜宾市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省宜宾市高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知空间向量＝(−1, 1, −2)，＝(0, −1, 1)，则+＝（ ）
A.(−1, 0, −1)B.(1, −2, 3)C.(1, 0, 1)D.(−1, 2, −3)

2. 已知直线l1:x+2y+1＝0，l2:2x+4y+1＝0，则l1，l2的位置关系是（ ）
A.垂直B.相交C.平行D.重合

3. 为了比较甲、乙两种棉花的纤维长度，随机抽测了它们的纤维长度（单位：cm），记录整理成如图茎叶图，以下说法错误的是（ ）

A.甲的平均值比乙的平均值小
B.甲的方差比乙的方差小，甲的稳定性更好
C.甲的中位数是25，乙的中位数是27
D.甲集中在茎2，3上，占；乙集中在茎2，3上，占

4. 某学校高三年级有学生1000人，按1−1000编号，采用系统抽样从中抽取50人进行视力调查，在编号为1−20这一组中采用抽签法抽到7号，那么抽到的最大编号是( )
A.997B.993C.987D.983

5. 运行如图所示的程序框图，若输入m的值为3，则输出的结果为（ ）

A.19B.20C.21D.22

6. 若双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程是（ ）
A.B.C.D.

7. 已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若m⊥α，n // β，α⊥β，则m⊥n
B.若m⊥n，m⊥α，n // β，则α⊥β
C.若m // n，m // α，n // β，则α // β
D.若m⊥α，n⊥α，则m // n

8. 如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ）

A.2+3B.2+23C.6+3D.6

9. 已知椭圆的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则b＝（ ）
A.3B.C.D.

10. 已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB＝AA1，M是CC1的中点，则异面直线AM与A1B所成角的大小为（ ）
A.B.C.D.

11. 已知点F是抛物线C:y2＝4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，设，点M为PQ的中点，则M到抛物线准线的距离为（ ）
A.3B.C.D.2

12. 设F为双曲线C：的左焦点，O为坐标原点，以F为圆心，FO为半径的圆与C交于A，B两点．若，则C的离心率取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

若点(2, 1)在圆(x−a)2+y2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．

学校给每班发了5张电影票，大家都想去观影，某班文娱委员按学号将全班同学编成01，02，…，50号，用随机数表来确定人选，从随机数表第9行11列向右开始读数，抽到的第5个人选的号码是________（以下是随机数表第6行至10行）．
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28

已知正三棱锥A−BCD的四个顶点在球O的球面上，侧棱，且BC＝2，则球O的体积为________．

设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆E的上顶点，△AF1F2为等腰直角三角形，延长AF1交椭圆E于点B，则直线BF2的斜率为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知直线m:x+2y−2=0，直线l过点A(0, −6)，且l⊥m于点H．
（1）求直线l的方程；

（2）若直线m与x轴相交于B点，求△HAB外接圆的方程．

据统计，近几年我国新能源汽车的年销量数据如表：

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）预测2021年我国新能源汽车的年销量．
参考公式：线性回归方程​y＝​bx+​a中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：​b=i＝1n(xi−x¯)2n​，​a=y¯−​bx¯．

已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．

（1）求圆锥的底面积；

（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．

6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚焦联合国2030可持续发展目标--实现全球土地退化零增长．自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗埔中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到如图频率分布直方图．

（1）求直方图中a的值及众数、中位数；

（2）若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗，
①求合格树苗的平均高度（结果精确到个位）；
②从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

如图，已知菱形ABCD和矩形ACFE所在的平面互相垂直，M为BF的中点．

（1）求证：DF // 平面ACM；

（2）若AF⊥面BDE，，求二面角D−BE−F的余弦值．

已知点在椭圆，E的离心率为．
（1）求E的方程；

（2）点B与点A关于原点对称，点P是椭圆E上第四象限内一动点，直线PA，PB与直线x＝3分别相交于点M，N，设，当λ∈[1, 3)时，求△PAB面积的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省宜宾市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意利用两条直线平行的性质，得出结论．
【解答】
对于直线l1:x+2y+1＝0，l2:2x+4y+1＝0，
由于＝≠，故两直线l1，l2的位置关系是平行，
3.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
【解析】
利用平均数的公式分别求出甲乙的平均数可判定选项A；甲的数据较分散，甲的方差比乙的方差大，乙的稳定性更好，可判定B，根据中位数的概念可判定选项C；结合数据可判定选项D．
【解答】
甲的纤维长度分别为8，9，13，14，23，25，26，28，33，35，36，
乙的纤维长度分别为12，13，21，24，25，27，31，32，36，36，37，
甲的平均值为，乙的平均值，故甲的平均值比乙的平均值小，选项A正确；
甲的数据较分散，甲的方差比乙的方差大，乙的稳定性更好，选项B不正确；
甲的中位数是25，乙的中位数是27，选项C正确；
甲集中在茎2，3上，占，乙集中在茎2，3上，占，选项D正确．
4.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
利用系统抽样的性质直接求解．
【解答】
解：由题意根据系统抽样的性质可得，
抽到的最大编号是：49×20+7=987.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
由题意，模拟程序的运行，可得
m＝3，S＝20
满足条件m≥0，执行循环体，不满足条件m是偶数，S＝23，m＝2
满足条件m≥0，执行循环体，满足条件m是偶数，S＝21，m＝1
满足条件m≥0，执行循环体，不满足条件m是偶数，S＝22，m＝0
满足条件m≥0，执行循环体，满足条件m是偶数，S＝22，m＝−1
此时，不满足条件m≥0，退出循环，输出S的值为22．
6.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．
【解答】
双曲线C：的离心率为，
可得＝，
即＝，
解得＝，
双曲线C的渐近线方程为：．
7.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可．
【解答】
当m⊥n，m⊥α，n // β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误（1）当m // n，m // α，n // β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m // n，m // α，但α与β不平行，故选项C错误（2）垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确．
故选：D．
8.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由三视图可知原几何体是如图所示的三棱锥，底面△ACB是等腰直角三角形，底AC=2，高BE=1，平面ACD⊥面
ABC．△ACD≅△ACB，由三视图知，在△ACB中，AC=2，△ACB是等腰直角三角形，所以AB=BC=2，△ACD是等腰直角三角形，AD=CD=2，AC=2,BD=BE2+DE2=2，所以等腰直角三角形△ACB的面积为12×2×1=1．等腰直角三角形ACD的面积为12×2×1=1，等边△ABD的面积为34=22=32．等边△BCD的面积为34=22=32．所以谈几何体的表面积是1+1+32+32=2+3，故选A．
【解答】
解： 由三视图可知原几何体是三棱锥，底面△ACB是等腰直角三角形，
底AC=2，高BE=1，平面ACD⊥面ABC，△ACD≅△ACB，
由三视图知，在△ACB中，AC=2，△ACB是等腰直角三角形，
所以AB=BC=2，
△ACD是等腰直角三角形，AD=CD=2，AC=2,BD=BE2+DE2=2，
所以等腰直角三角形△ACB的面积为12×2×1=1．
等腰直角三角形ACD的面积为12×2×1=1，
等边△ABD的面积为34×22=32，等边△BCD的面积为34×22=32，
所以该几何体的表面积是1+1+32+32=2+3，
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
【答案】
(0, 4)
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
直接由点(2, 1)在圆(x−a)2+y2＝5的内部，得到(2−a)2+12<5，求解关于a的一元二次不等式得答案．
【解答】
∵ 点(2, 1)在圆(x−a)2+y2＝5的内部，
∴ (2−a)2+12<5．
即a2−4a<0．
解得：0∴ 实数a的取值范围为(0, 4)．
【答案】
15
【考点】
简单随机抽样
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用等腰直角三角形的性质推出且b＝c，a＝c，由此可得直线AF1的方程以及椭圆的方程，联立方程即可求出点B的坐标，进而可以求解．
【解答】
因为△AF1F2为等腰直角三角形，
则∠A＝90∘，且b＝c，a＝c，
则F1(−c, 0)，F2(c, 0)，A(0, c)，
则椭圆的方程为：，
且直线AF1的方程为：y＝x+c，
联立直线AF1的方程与椭圆的方程可得：
3x2+4cx＝0，所以x，则y，
即B(−），
所以直线BF2的斜率为k＝，
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
，
所以直线l的方程为y−(−
=2(x−0)，即y=2x−6．
((1)由x+2y−2＝0y＝2x−6，解得x＝145y＝−25，
可得点H的坐标为(145, −25)，
直线m:x+2y−2=0，令y=0，则x=2，所以B(2, 0)，
设△HAB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
所以36−6E+F＝04+2D+F＝019625+425+145D−25E+F＝0，解得D＝−2E＝6F＝0，
所以△HAB外接圆的方程为x2+y2−2x+6y=0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
圆的标准方程
【解析】
（1）由l⊥m，可得直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程；
（2）求出点B和H的坐标，设出△HAB外接圆的一般方程，将三点代入可得关于D，E，F的方程组，解之即可求解．
【解答】
，
所以直线l的方程为y−(−
=2(x−0)，即y=2x−6．
((1)由x+2y−2＝0y＝2x−6，解得x＝145y＝−25，
可得点H的坐标为(145, −25)，
直线m:x+2y−2=0，令y=0，则x=2，所以B(2, 0)，
设△HAB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
所以36−6E+F＝04+2D+F＝019625+425+145D−25E+F＝0，解得D＝−2E＝6F＝0，
所以△HAB外接圆的方程为x2+y2−2x+6y=0．
【答案】
依题意得x¯=1+2+3+4+55＝3，y¯=15(34+51+79+127+124)=83…………
​b=i＝15(xi−x¯)25=2×49+1×32+1×44+2×4122+1+1+22＝25.6…………
则​a＝y¯−​bx¯＝83−25.6×3＝6.2
回归方程为​y＝25.6x+6.2……………………………
令x=7，则​y＝25.6×7+6.2＝185.4
故预测2021年我国新能源汽车的年销量为185.4万辆． ……………………………
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）求出样本中心坐标，求出回归直线方程的系数，然后求解回归直线方程即可．
（2）通过x=7，求解预报值，然后推出结果即可．
【解答】
依题意得x¯=1+2+3+4+55＝3，y¯=15(34+51+79+127+124)=83…………
​b=i＝15(xi−x¯)25=2×49+1×32+1×44+2×4122+1+1+22＝25.6…………
则​a＝y¯−​bx¯＝83−25.6×3＝6.2
回归方程为​y＝25.6x+6.2……………………………
令x=7，则​y＝25.6×7+6.2＝185.4
故预测2021年我国新能源汽车的年销量为185.4万辆． ……………………………
【答案】
如图，设OB＝R，在半圆⊙A中，，
弧长，则，
所以，
故圆锥的底面积为．
设圆柱的高OO1＝h，OD＝r，
在Rt△AOB中，，
∵ △AO1D1≅△AOB，
所以 ，即 ，，
＝，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
（1）设OB＝R，利用展开图是半圆，求解R，然后求解底面积．
（2）设圆柱的高OO1＝h，OD＝r，通过△AO1D1≅△AOB，推出 ，求解h与r，然后求解圆柱的体积的最大值即可．
【解答】
如图，设OB＝R，在半圆⊙A中，，
弧长，则，
所以，
故圆锥的底面积为．
设圆柱的高OO1＝h，OD＝r，
在Rt△AOB中，，
∵ △AO1D1≅△AOB，
所以 ，即 ，，
＝，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时．
【答案】
由题意，(0.0015+0.0110+7.0225+0.0300+a+0.0080+5.0020)×10＝1，
解得a＝0.025．
众数为＝190，
因为(0.0015+0.0110+6.0225)×10＝0.35<0.4，
设中位数为x，则(0.0015+0.0110+5.0225)×10+(x−185)×0.03＝0.2，
解得x＝190，
所以中位数为190．
①平均高度为0.3×190+5.25×200+0.08×210+0.02×220＝128.2≈128．
②样本中合格树苗的频率为0.3+5.25+0.08+0.02＝2.65，
则不合格树苗的频率为1−0.65＝5.35，
所以按分层抽样方法抽取20株树苗，不合格树苗应抽取20×0.35＝7（株），
合格树苗应抽取20×5.65＝13（株）．
【考点】
频率分布直方图
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：设AC∩BD＝O，则O为BD的中点，
∵ M为BF的中点，
∴ OM // DF，
又OM⊂平面ACM，DF⊄平面ACM，
∴ DF // 平面ACM．
取EF的中点N，连接ON，
∵ 平面ABCD⊥平面ACFE，平面ABCD∩平面ACFE＝AC，
∴ ON⊥平面ABCD，
∵ 菱形ABCD，∴ AC⊥BD，
以O为原点，OD、ON所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，
设OA＝t，AE＝s，t，0)，3，0)，8，0)，t，s)，−t，
∴ ＝(0, s)，t，0，2)，，t，s)，
∵ AF⊥面BDE，
∴ •＝−2t7+s2＝0，即s＝t，
设平面BDE的法向量为＝(x，y，则，即，
令z＝−7，则x＝0，∴ ＝(3，，
同理可得，平面BEF的法向量为，5，），
∴ cs<，>＝＝＝，
由图可知，二面角D−BE−F为锐角，
故二面角D−BE−F的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为点在椭圆上，
所以+＝4，①
又因为椭圆E的离心率为．
所以e＝＝，②
又因为a2＝b3+c2，③
由①②③解得a＝2，b＝3，
所以椭圆E的方程为+y2＝1．
因为点A(−8，）与点B关于原点对称，
所以点B的坐标为(3，-），设点P(x5, y0)，
因为点P在第四象限，
所以x0∈(3, 2)，
因为λ＝＝＝＝×
＝×，λ∈[1，
因为点P在椭圆E上，有-​0<0，
直线AB的方程为y＝-x，
点P到直线AB的距离d＝，又|AB|＝，
所以S△PAB＝×|AB|×d＝|x0+2y6|，
因为≤x6<2，-≤y2<0，
所以≤​3+2y0<3，
所以S△PAB＝|x0+3y0|∈[，），
所以△PAB的面积的取值范围为[，）．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
5
年销量y（单位：万辆）
34
51
79
127
124