2020-2021学年浙江省高二（上）期中数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年浙江省高二（上）期中数学试卷 (1)人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 椭圆3x2+4y2＝12的焦点坐标为（ ）
A.(±1, 0)B.(0, ±1)C.(±7, 0)D.(0, ±7)

2. 在空间直角坐标系中，已知M(−1, 0, 2)，N(3, 2, −4)，则MN的中点Q关于平面xOy的对称点坐标是（ ）
A.(1, 1, −1)B.(−1, 1, −1)C.(1, −1, −1)D.(1, 1, 1)

3. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−BD−A1的余弦值为（ ）
A.12B.33C.22D.32

4. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sℎ，其中S是柱体的底面积，ℎ是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（ ）

A.158B.162C.182D.324

5. 方程|x|+|y|=2所表示的曲线大致形状为（ ）
A.B.
C.D.

6. 已知曲线C:mx2+ny2=1．则下列命题不正确的是（ ）
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为m
C.若mn0，则C是两条直线

7. 已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24a+y2a2−1=1，随着a的增大该椭圆的形状（ ）
A.越接近于圆B.越扁
C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆

8. 已知以F1(−2, 0)，F2(2, 0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A.32B.26C.27D.42

9. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（ ）
A.(π6, π3)B.(π6, π2]C.(π3, π2]D.(π3, 2π3)

10. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（ ）
A.13B.12C.32D.63
二、填空题

双曲线x24−y23＝1的实轴长为________，渐近线方程是________．

已知点P(x, y)在椭圆x24+y23＝1上运动，则x+2y的最大值是________；点P到直线l:x−2y−10=0的最小距离是________．

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．


已知三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=BC=1，则三棱锥P−ABC外接球的体积为________．


若F是双曲线C：x2−y28＝1的右焦点，P是双曲线C左支上一点，A(0, 4)，则△APF的周长的最小值为________．

若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点(2, 1)作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
三、解答题

如图，在△ABC中，∠ABC=60∘，∠BAC=90∘，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=90∘．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（2）设E为BC的中点，求异面直线AE与DB的夹角的余弦值．

已知椭圆C:x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点(2, 1)．
（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为60∘的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB的面积．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60∘．

（1）证明：AD⊥PB；

（2）若PB=6，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值．

已知焦点在x轴上椭圆的长轴的端点分别为A，B，O为椭圆的中心，F为右焦点，且AF→⋅BF→=−1，离心率e=22．
（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰好为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年浙江省高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
化简椭圆方程为标准方程，然后求解焦点坐标即可．
【解答】
椭圆3x2+4y2＝12的标准方程为：x24+y23=1，
所以a＝2，b=3，c＝1，
所以椭圆的焦点坐标(±1, 0)．
2.
【答案】
D
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
求出MN的中点Q，由此能求出Q关于平面xOy的对称点坐标．
【解答】
∵ M(−1, 0, 2)，N(3, 2, −4)，
∴ MN的中点Q(1, 1, −1)，
∴ Q关于平面xOy的对称点坐标是(1, 1, 1)．
3.
【答案】
B
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
画出直观图，作出二面角的平面角，然后求解三角形推出结果即可．
【解答】
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，BD交点为O，连接A1O，
∵ 几何体是正方体，∴ BD⊥AC，BD⊥AA1，∴ BD⊥平面AOA1，可知BD⊥A1O，
∴ ∠AOA1是二面角的平面角，
设正方体的棱长为2，则AO=2，A1O=2+4=6，
二面角A−BD−A1的余弦值为：26=33．
4.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．
【解答】
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，
即SABCDE=12(4+6)×3+12(2+6)×3=27，
高为6，则该柱体的体积是V＝27×6＝1(62)
5.
【答案】
D
【考点】
曲线与方程
【解析】
判断曲线在第一象限的形状，即可得到正确的选项．
【解答】
当x>0，y>0时，方程|x|+|y|＝2化为x+y=2，
即y=(2−x)2=(x−2)2，它是x2=y的图象向右平移2个单位得到，第一象限的部分，
图象为选项D在第一选项的部分．
6.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
曲线与方程
【解析】
通过m，n的取值，判断二次曲线表示的方程判断选项的正误即可．
【解答】
曲线C:mx2+ny2=1．m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，A正确；
若m=n>0，则C是圆，其半径为1m，所以B不正确；
若mn0，则C是ny2=1，是两条直线，所以D正确；
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
首先根据椭圆成立的条件求出a的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的短轴的变化规律，最后确定结果．
【解答】
椭圆方程x24a+y2a2−1=1为焦点在x轴上的椭圆方程，
所以：4a>0a2−1>04a>a2−1
解得：1