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2020-2021学年湖南省邵阳市高二（上）10月联考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年湖南省邵阳市高二（上）10月联考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是（ ）
A.∃x∈R,x2+2x+m>0B.∃x∉R,x2+2x+m≤0
C.∀x∈R,x2+2x+m>0D.∀x∈R,x2+2x+m≤0
2. 已知A={x|−13}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围是( )
A.(−∞,2]B.−∞,2C.12,2D.12,2
3. 某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n−m的值为( )
A.5B.6C.7D.8
4. 已知cs2α=23，则csπ4−αcsπ4+α的值为( )
A.13B.23C.23D.229
5. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列数据最接近33611000052的是(参考数据：lg3≈0.477)( )
A.10−37B.10−36C.10−35D.10−34
6. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.43πa2B.73πa2C.83πa2D.163πa2
7. 函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0,|2−lnx|,x>0,直线y=m与函数f(x)的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是( )
A.[0,4e)B.(4e,+∞)C.(−3e4,e4)D.[0,e4)
8. 已知直线l1:mx−y−3m+1=0与直线l2:x+my−3m−1=0相交于点P，线段AB是圆C:x+12+y+12=4的一条动弦，且|AB|=23，点D是线段AB的中点．则|PD|的最大值为( )
A.32B.82C.52D.42+1
二、多选题
下列说法中正确的是( )
A.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等
B.若A，B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥
C.某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中
D.若回归直线 y=bx+a 的斜率 b>0 ，则变量x与y正相关
设椭圆C:x22+y2=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.|PF1|+|PF2|=22
B.离心率e=62
C.△PF1F2面积的最大值为2
D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y−2=0相切
记函数fx=sin2x−π3的图象为曲线F，则下列结论正确的是( )
A.函数fx的最小正周期为π
B.函数fx在区间−π12,5π12上单调递增
C.曲线F关于直线x=−π12对称
D.将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到曲线F
已知a>1，0A.ab>acB.cb>c+ab+aC.lgbacc+a
三、填空题
在平面上，e1→,e2→是方向相反的单位向量，(b→−e1→)⊥(b→−e2→)，则|b→|的值为________.
已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，则三棱锥A−NMD1的体积为________.
生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为_________.
已知函数fx=|lnx|，实数m，n满足0四、解答题
在①c=1,△ABC的面积为34，②b=3c，③A=π4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinC的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB+asinC=asinA+csinC，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源，某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年(2019年为第一年)，该设备产生的效益(纯利润)总额为y万元．
(1)写出y与x之间的函数关系式；求出从第几年开始，该设备开始盈利(盈利总额为正值)；
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在线段BC上，BE=2EC.把△BAE沿AE翻折至△B1AE的位置，B1∉平面AECD，连结B1D，点F在线段DB1上，DF=2FB1，如图2.
(1)当平面B1AE⊥平面AECD时，求三棱锥B1−ADE的体积；
(2)证明：CF//平面B1AE.
某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数r=0.81；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2, …，30)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得i=130xi=60 ，i=130yi=1200，i=130xi−x¯2=90，i=130yi−y¯2=8000，i=130xi−x¯yi−y¯=800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
(2)求方案二抽取的样本(xi,yi) (1,2,⋯,30)的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计．
附：相关系数r= i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2,2≈1.414 ；相关系数|r|∈0.75,1，则相关性很强，|r|的值越大，相关性越强．
已知数列an的前n项和为Sn，a1=0，Sn=an+1−n，n∈N∗.
(1)求证：数列an+1是等比数列；
(2)设数列bn的前n项和为Tn，已知bn=nan+1，若不等式Tn≥m−92+2an对于n∈N∗恒成立，求实数m的最大值．
已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=32x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且MF1→⋅MF2→=94.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆F1:x+12+y2=1，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆F1外切，直线l是圆P和圆F1的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求三角形F2AB的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省邵阳市高二（上）10月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由含有量词命题的否定可知,
命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定
是“∀x∈R，x2+2x+m>0”.
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
【解答】
解：由题意可得，
2a−1≤3，解得a≤2．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
茎叶图
【解析】
利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意得：
17(78+88+84+86+92+90+m+95)=88,80+n=89,
解得m=3，n=9，
∴ n−m=9−3=6．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
运用诱导公式化简求值
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：csπ4−αcsπ4+α
=csπ4−αsinπ4−α
=12sinπ2−2α
=12cs2α
=13.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
对数的运算性质
【解析】
根据题意，对33611000052取对数可得lg33611000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8，即可得33611000052≈10−35.8，分析选项即可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于33611000052，
有lg33611000052=lg3361−lg1000052
=361×lg3−52×4≈−35.8，
则33611000052≈10−35.8，
分析选项：B中10−36与其最接近，
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】
解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，
上下底面中心连线的中点就是球心，
则其外接球的半径为R=(a2)2+(a2sin60∘)2=712a2，
球的表面积为S=4π⋅7a212=73πa2.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
画出y=f(x)与y=k的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围．
【解答】
解：函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0,|2−lnx|,x>0的图象如图，
四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，
则a，b是x2+2x+m−3=0的两根，
由于x<0时，−x2−2x+3=4−(x+1)2≤4，
判别式为4−4(m−3)=4(4−m)>0，
即有m<4，
∴ a+b=−2，ab=m−3<1，
∴ ab∈[0, 1)，
且lnc=2−m，lnd=2+m，
∴ ln(cd)=4，∴ cd=e4，
∴ abcd∈[0, e4).
故答案为：[0, e4)．
8.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由题意得圆C的圆心为−1,−1，半径r=2，
易知直线l1:mx−y−3m+1=0恒过点3,1，
直线l2:x+my−3m−1=0恒过点1,3，且l1⊥l2，
∴点P的轨迹为x−22+y−22=2，
圆心为2,2，半径为2，若点D为弦AB的中点，位置关系如图：
连接CD，由|AB|=23，易知|CD|=4−32=1．
∴|PD|max=|PC|max+|CD|=32+32+2+1=42+1.
故选D．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
互斥事件与对立事件
频率分布直方图
回归分析的初步应用
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用频率分布直方图和回归直线的应用，互斥事件和对立事件的应用，随机事件的应用求出结果.
【解答】
解：对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A正确；
对于B，若A，B为互斥事件，根据互斥事件与对立事件的概念，可得A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，故B错误；
对于C，某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，故C错误；
对于D，若回归直线y=bx+a的斜率b>0，根据回归系数的含义，可得变量x与y正相关，故D正确．
故选AD.
【答案】
A,D
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
根据椭圆方程求得a，b和c，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案．
【解答】
解：由椭圆C:x22+y2=1，可知：a=2，b=1，c=1，
所以左、右焦点为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，
根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=22，故A正确；
离心率e=ca=22，故B错误；
所以△PF1F2面积的最大值为12×2c×b=bc=1，故C错误；
由原点(0, 0)到直线x+y−2=0的距离d=212+12=1=c，
所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y−2=0相切，故D正确.
故选AD.
【答案】
A,B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：函数fx的最小正周期为2π2=π，故A选项正确；
由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπk∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπk∈Z，
所以函数fx在区间−π12,5π12上单调递增，故B选项正确；
由于f−π12=sin2−π12−π3=sin−π2=−1，
所以直线x=−π12是曲线F的一条对称轴，故C选项正确；
y=sin2x向右平移π3个单位长度得到
y=sin2x−π3=sin2x−2π3，故D选项错误．
故选ABC．
【答案】
A,C,D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
由指数函数的单调性可判断A；由作差法和不等式的性质可判断B；可取a＝2，b=14，c=18，计算可判断C；运用作差法和不等式的性质，可判断D．
【解答】
解：由a>1，0ac，故A正确；
由a>1，0cb−c+ab+a=cb+ca−bc−bab(b+a)=a(c−b)b(b+a)<0，
可得cb由a>1，0lgba=1lgab，lgca=1lgac，
可得lgac所以1lgab<1lgac<0，
则lgba由a>1，0bb+a−cc+a=bc+ba−cb−ca(b+a)(c+a)=a(b−c)(b+a)(c+a)>0，
可得bb+a>cc+a，故D正确．
故选ACD.
三、填空题
【答案】
1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意(b→−e1→)⋅(b→−e2→)=0，
即b→2−e1→+e2→⋅b→+e1→⋅e2→=0，
又e1→,e2→是方向相反的单位向量，
所以e1→+e2→=0，e1→⋅e2→=−1，
所以b→2−1=0，
即b→2=1，
所以|b→|=1.
故答案为：1.
【答案】
13
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
【解答】
解：因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，
所以VA−NMD1=VD1−AMN=13×12×1×1×2=13．
故答案为：13．
【答案】
35
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设未测量过某项指标的2只兔子为a1，a2，
测量过某项指标的3只兔子为b1，b2，b3，
从这5只兔子中随机取出3只的所有可能有：
a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1b1b2，a1b1b3，
a1b2b3，a2b1b2，a2b1b3，a2b2b3，b1b2b3,共10种，
其中恰有2只测量过该指标的可能有：
a1b1b2，a1b1b3，a1b2b3，a2b1b2，
a2b1b3，a2b2b3共6种，
所以恰有2只测量过该指标的概率为P=610=35.
故答案为：35.
【答案】
e2
【考点】
对数函数的值域与最值
对数函数的图象与性质
【解析】
无
【解答】
解：由题意以及函数fx=|lnx|的性质可得−lnm=lnn，
∴ 1m=n，且0∵ 函数fx=|lnx|在0,1上是减函数，在1,+∞上是增函数，
∴ |lnm2|=2或lnn=2.
①当|lnm2|=2时，m=1e，又∵ 1m=n，∴ n=e，
此时fx在区间m2,n上的最大值为2，满足题意；
②当lnn=2时，n=e2，m=1e2，
此时fx在区间m2,n上的最大值为ln1e4=4，不满足题意，
综上，n=e，m=1e，nm=e2．
故答案为：e2．
四、解答题
【答案】
解：由bsin B+asin C=asin A+csin C及正弦定理
可得b2+ac=a2+c2，
由余弦定理可得cs B=a2+c2−b22ac=b2+ac−b22ac=12，
又因为B∈0,π，
所以B=π3．
选择条件①：
因为S△ABC=12acsin B=12a×32=34，
所以a=1．
又因为a=c=1，B=π3，
所以△ABC是等边三角形，
所以C=π3，
所以sinC=32．
选择条件②：
由正弦定理bsin B=csin C，及b=3c
得sin C=csin Bb=csin π33c=12．
选择条件③：
由A=π4得C=π−A−B=5π12，
所以sin C=sin 5π12=sinπ6+π4
=sin π6cs π4+cs π6sin π4
=2+64．
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由bsin B+asin C=asin A+csin C及正弦定理
可得b2+ac=a2+c2，
由余弦定理可得cs B=a2+c2−b22ac=b2+ac−b22ac=12，
又因为B∈0,π，
所以B=π3．
选择条件①：
因为S△ABC=12acsin B=12a×32=34，
所以a=1．
又因为a=c=1，B=π3，
所以△ABC是等边三角形，
所以C=π3，
所以sinC=32．
选择条件②：
由正弦定理bsin B=csin C，及b=3c
得sin C=csin Bb=csin π33c=12．
选择条件③：
由A=π4得C=π−A−B=5π12，
所以sin C=sin 5π12=sinπ6+π4
=sin π6cs π4+cs π6sin π4
=2+64．
【答案】
解：(1)y=50x−[12x+x(x−1)2×4]−98
=−2x2+40x−98，x∈N∗．
由−2x2+40x−98>0得，
10−51所以3≤x≤17，
故从第三年开始盈利．
(2)因为yx=40−(2x+98x)≤40−22×98=12，
当且仅当x=7时，等号成立，
所以按第①方案处理总利润为−2×72+40×7−98+30=114（万元）；
由y=−2x2+40x−98=−2(x−10)2+102≤102，
所以当x=10时，利润取得最大值，
所以按第②方案处理总利润为102+12=114（万元）．
所以两种方案企业获利总额相同，第①方案使用时间短，则选第①方案较合理．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，
算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．
【解答】
解：(1)y=50x−[12x+x(x−1)2×4]−98
=−2x2+40x−98，x∈N∗．
由−2x2+40x−98>0得，
10−51所以3≤x≤17，
故从第三年开始盈利．
(2)因为yx=40−(2x+98x)≤40−22×98=12，
当且仅当x=7时，等号成立，
所以按第①方案处理总利润为−2×72+40×7−98+30=114（万元）；
由y=−2x2+40x−98=−2(x−10)2+102≤102，
所以当x=10时，利润取得最大值，
所以按第②方案处理总利润为102+12=114（万元）．
所以两种方案企业获利总额相同，第①方案使用时间短，则选第①方案较合理．
【答案】
(1)解：取AE的中点O，连结B1O，如图所示，
依题意得B1O⊥AE，
因为平面B1AE∩平面AECD=AE，B1O⊥AE，B1O⊂平面B1AE，
又平面B1AE⊥平面AECD，
所以B1O⊥平面AECD，
在Rt△AB1E中，AB1=B1E=2，得B1O=2．
所以VB1−AED=13S△AED⋅B1O=13×12×3×2×2=2．
(2)证明：依题意得，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，BE=2EC，
所以AD=3，EC=1．
在线段B1A上取一点M，满足AM=2MB1，如图所示，
又因为DF=2FB1，
所以B1MMA=B1FFD，故FM//AD.
又因为EC//AD，
所以EC//FM，
因为FM=13AD=1，
所以EC=FM，
所以四边形FMEC为平行四边形，
所以CF//EM，
又因为CF⊄平面B1AE， EM⊂平面B1AE，
所以CF//平面B1AE．
【考点】
平面与平面垂直的性质
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：取AE的中点O，连结B1O，如图所示，
依题意得B1O⊥AE，
因为平面B1AE∩平面AECD=AE，B1O⊥AE，B1O⊂平面B1AE，
又平面B1AE⊥平面AECD，
所以B1O⊥平面AECD，
在Rt△AB1E中，AB1=B1E=2，得B1O=2．
所以VB1−AED=13S△AED⋅B1O=13×12×3×2×2=2．
(2)证明：依题意得，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，BE=2EC，
所以AD=3，EC=1．
在线段B1A上取一点M，满足AM=2MB1，如图所示，
又因为DF=2FB1，
所以B1MMA=B1FFD，故FM//AD.
又因为EC//AD，
所以EC//FM，
因为FM=13AD=1，
所以EC=FM，
所以四边形FMEC为平行四边形，
所以CF//EM，
又因为CF⊄平面B1AE， EM⊂平面B1AE，
所以CF//平面B1AE．
【答案】
解：(1)样区野生动物平均数为
130i=130yi=130×1200=40，
地块数为300，该地区这种野生动物的
估计值为300×40=12000．
(2)样本xi,yii=1,2,⋯,30的相关系数为
r=i=130(xi−x¯)(yi−y¯)i=130(xi−x¯)2i=130(yi−y¯)2
=80090×8000=223≈0.94．
因为方案一的相关系数为r=0.81明显小于方案二的相关系数为r=0.94，
所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计．
【考点】
众数、中位数、平均数
相关系数
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)样区野生动物平均数为
130i=130yi=130×1200=40，
地块数为300，该地区这种野生动物的
估计值为300×40=12000．
(2)样本xi,yii=1,2,⋯,30的相关系数为
r=i=130(xi−x¯)(yi−y¯)i=130(xi−x¯)2i=130(yi−y¯)2
=80090×8000=223≈0.94．
因为方案一的相关系数为r=0.81明显小于方案二的相关系数为r=0.94，
所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计．
【答案】
(1)证明：由a1+a2+a3+⋯+an+n=an+1，
得a1+a2+a3+⋯+an−1+n−1=ann≥2，
两式相减得an+1=2an+1，
所以an+1+1=2an+1n≥2.
因为a1=0，所以a1+1=1，
a2=a1+1=1，a2+1=2a1+1,
所以{an+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由bn=nan+1，又由(1)可知an=2n−1−1，得bn=n2n−1，
从而Tn≥m−92+2an，
即1+22+322+⋯+n2n−1≥m−92n.
因为Tn=1+22+322+⋯+n2n−1，
则12Tn=12+222+323+⋯+n2n，
两式相减得1−12Tn=1+12+122+123+⋯+12n−1−n2n
=2−n+22n，
所以Tn=4−n+22n−1.
由Tn≥m−92n恒成立，即4−2n−52n≥m恒成立，
又4−2n−32n+1−4−2n−52n=2n−72n+1，
故当n≤3时，4−2n−52n单调递减；
当n=3时，4−2×3−523=318；
当n≥4时，4−2n−52n单调递增；
当n=4时，4−2×4−524=6116；
则4−2n−52n的最小值为6116，
所以实数m的最大值是6116．
【考点】
函数恒成立问题
数列的求和
数列递推式
等比数列
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
(1)证明：由a1+a2+a3+⋯+an+n=an+1，
得a1+a2+a3+⋯+an−1+n−1=ann≥2，
两式相减得an+1=2an+1，
所以an+1+1=2an+1n≥2.
因为a1=0，所以a1+1=1，
a2=a1+1=1，a2+1=2a1+1,
所以{an+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由bn=nan+1，又由(1)可知an=2n−1−1，得bn=n2n−1，
从而Tn≥m−92+2an，
即1+22+322+⋯+n2n−1≥m−92n.
因为Tn=1+22+322+⋯+n2n−1，
则12Tn=12+222+323+⋯+n2n，
两式相减得1−12Tn=1+12+122+123+⋯+12n−1−n2n
=2−n+22n，
所以Tn=4−n+22n−1.
由Tn≥m−92n恒成立，即4−2n−52n≥m恒成立，
又4−2n−32n+1−4−2n−52n=2n−72n+1，
故当n≤3时，4−2n−52n单调递减；
当n=3时，4−2×3−523=318；
当n≥4时，4−2n−52n单调递增；
当n=4时，4−2×4−524=6116；
则4−2n−52n的最小值为6116，
所以实数m的最大值是6116．
【答案】
解：(1)设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
点M在直线y=32x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0)，
则点Mc,3c2，
因为MF1→⋅MF2→=−2c,−3c2⋅0,−3c2=94，
即9c24=94，
所以c=1，
所以M1,32，
又1a2+94b2=1,a2=b2+1,
解得a2=4,b2=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设动圆P的半径为R，点P的坐标为(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由已知|PF1|=1+R,|PF1|+|PF2|=4,
得R=3−|PF2|≤3−(2−1)=2，
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2，
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x−2)2+y2=4，
因为直线l是圆P和圆F1的外公切线，
所以直线l的倾斜角不为90∘且不平行于x轴，
设l与x轴的交点为Q，
则|QP||QF1|=Rr=21，
可求得Q(−4,0)，
设l：y=k(x+4)，由l与圆F1相切得|3k|1+k2=1，
解得k=±24，
当k=24时，将y=24x+2代入x24+y23=1并整理得，
7x2+8x−8=0，
解得x1,2=−4±627，
所以|AB|=1+242|x1−x2|=187，
当k=−24时，由图形的对称性可知|AB|=187，
又点F2到直线l的距离d=53，
所以三角形F2AB的面积为S=12|AB|d=12×187×53=157．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
点M在直线y=32x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0)，
则点Mc,3c2，
因为MF1→⋅MF2→=−2c,−3c2⋅0,−3c2=94，
即9c24=94，
所以c=1，
所以M1,32，
又1a2+94b2=1,a2=b2+1,
解得a2=4,b2=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设动圆P的半径为R，点P的坐标为(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由已知|PF1|=1+R,|PF1|+|PF2|=4,
得R=3−|PF2|≤3−(2−1)=2，
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2，
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x−2)2+y2=4，
因为直线l是圆P和圆F1的外公切线，
所以直线l的倾斜角不为90∘且不平行于x轴，
设l与x轴的交点为Q，
则|QP||QF1|=Rr=21，
可求得Q(−4,0)，
设l：y=k(x+4)，由l与圆F1相切得|3k|1+k2=1，
解得k=±24，
当k=24时，将y=24x+2代入x24+y23=1并整理得，
7x2+8x−8=0，
解得x1,2=−4±627，
所以|AB|=1+242|x1−x2|=187，
当k=−24时，由图形的对称性可知|AB|=187，
又点F2到直线l的距离d=53，
所以三角形F2AB的面积为S=12|AB|d=12×187×53=157．
1. 命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是（ ）
A.∃x∈R,x2+2x+m>0B.∃x∉R,x2+2x+m≤0
C.∀x∈R,x2+2x+m>0D.∀x∈R,x2+2x+m≤0
2. 已知A={x|−1
A.(−∞,2]B.−∞,2C.12,2D.12,2
3. 某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n−m的值为( )
A.5B.6C.7D.8
4. 已知cs2α=23，则csπ4−αcsπ4+α的值为( )
A.13B.23C.23D.229
5. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列数据最接近33611000052的是(参考数据：lg3≈0.477)( )
A.10−37B.10−36C.10−35D.10−34
6. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.43πa2B.73πa2C.83πa2D.163πa2
7. 函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0,|2−lnx|,x>0,直线y=m与函数f(x)的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是( )
A.[0,4e)B.(4e,+∞)C.(−3e4,e4)D.[0,e4)
8. 已知直线l1:mx−y−3m+1=0与直线l2:x+my−3m−1=0相交于点P，线段AB是圆C:x+12+y+12=4的一条动弦，且|AB|=23，点D是线段AB的中点．则|PD|的最大值为( )
A.32B.82C.52D.42+1
二、多选题
下列说法中正确的是( )
A.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等
B.若A，B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥
C.某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中
D.若回归直线 y=bx+a 的斜率 b>0 ，则变量x与y正相关
设椭圆C:x22+y2=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.|PF1|+|PF2|=22
B.离心率e=62
C.△PF1F2面积的最大值为2
D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y−2=0相切
记函数fx=sin2x−π3的图象为曲线F，则下列结论正确的是( )
A.函数fx的最小正周期为π
B.函数fx在区间−π12,5π12上单调递增
C.曲线F关于直线x=−π12对称
D.将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到曲线F
已知a>1，0
三、填空题
在平面上，e1→,e2→是方向相反的单位向量，(b→−e1→)⊥(b→−e2→)，则|b→|的值为________.
已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，则三棱锥A−NMD1的体积为________.
生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为_________.
已知函数fx=|lnx|，实数m，n满足0
在①c=1,△ABC的面积为34，②b=3c，③A=π4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinC的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB+asinC=asinA+csinC，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源，某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年(2019年为第一年)，该设备产生的效益(纯利润)总额为y万元．
(1)写出y与x之间的函数关系式；求出从第几年开始，该设备开始盈利(盈利总额为正值)；
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在线段BC上，BE=2EC.把△BAE沿AE翻折至△B1AE的位置，B1∉平面AECD，连结B1D，点F在线段DB1上，DF=2FB1，如图2.
(1)当平面B1AE⊥平面AECD时，求三棱锥B1−ADE的体积；
(2)证明：CF//平面B1AE.
某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数r=0.81；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2, …，30)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得i=130xi=60 ，i=130yi=1200，i=130xi−x¯2=90，i=130yi−y¯2=8000，i=130xi−x¯yi−y¯=800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
(2)求方案二抽取的样本(xi,yi) (1,2,⋯,30)的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计．
附：相关系数r= i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2,2≈1.414 ；相关系数|r|∈0.75,1，则相关性很强，|r|的值越大，相关性越强．
已知数列an的前n项和为Sn，a1=0，Sn=an+1−n，n∈N∗.
(1)求证：数列an+1是等比数列；
(2)设数列bn的前n项和为Tn，已知bn=nan+1，若不等式Tn≥m−92+2an对于n∈N∗恒成立，求实数m的最大值．
已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=32x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且MF1→⋅MF2→=94.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆F1:x+12+y2=1，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆F1外切，直线l是圆P和圆F1的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求三角形F2AB的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省邵阳市高二（上）10月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由含有量词命题的否定可知,
命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定
是“∀x∈R，x2+2x+m>0”.
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
【解答】
解：由题意可得，
2a−1≤3，解得a≤2．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
茎叶图
【解析】
利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意得：
17(78+88+84+86+92+90+m+95)=88,80+n=89,
解得m=3，n=9，
∴ n−m=9−3=6．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
运用诱导公式化简求值
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：csπ4−αcsπ4+α
=csπ4−αsinπ4−α
=12sinπ2−2α
=12cs2α
=13.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
对数的运算性质
【解析】
根据题意，对33611000052取对数可得lg33611000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8，即可得33611000052≈10−35.8，分析选项即可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于33611000052，
有lg33611000052=lg3361−lg1000052
=361×lg3−52×4≈−35.8，
则33611000052≈10−35.8，
分析选项：B中10−36与其最接近，
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】
解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，
上下底面中心连线的中点就是球心，
则其外接球的半径为R=(a2)2+(a2sin60∘)2=712a2，
球的表面积为S=4π⋅7a212=73πa2.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
画出y=f(x)与y=k的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围．
【解答】
解：函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0,|2−lnx|,x>0的图象如图，
四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，
则a，b是x2+2x+m−3=0的两根，
由于x<0时，−x2−2x+3=4−(x+1)2≤4，
判别式为4−4(m−3)=4(4−m)>0，
即有m<4，
∴ a+b=−2，ab=m−3<1，
∴ ab∈[0, 1)，
且lnc=2−m，lnd=2+m，
∴ ln(cd)=4，∴ cd=e4，
∴ abcd∈[0, e4).
故答案为：[0, e4)．
8.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由题意得圆C的圆心为−1,−1，半径r=2，
易知直线l1:mx−y−3m+1=0恒过点3,1，
直线l2:x+my−3m−1=0恒过点1,3，且l1⊥l2，
∴点P的轨迹为x−22+y−22=2，
圆心为2,2，半径为2，若点D为弦AB的中点，位置关系如图：
连接CD，由|AB|=23，易知|CD|=4−32=1．
∴|PD|max=|PC|max+|CD|=32+32+2+1=42+1.
故选D．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
互斥事件与对立事件
频率分布直方图
回归分析的初步应用
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用频率分布直方图和回归直线的应用，互斥事件和对立事件的应用，随机事件的应用求出结果.
【解答】
解：对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A正确；
对于B，若A，B为互斥事件，根据互斥事件与对立事件的概念，可得A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，故B错误；
对于C，某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，故C错误；
对于D，若回归直线y=bx+a的斜率b>0，根据回归系数的含义，可得变量x与y正相关，故D正确．
故选AD.
【答案】
A,D
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
根据椭圆方程求得a，b和c，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案．
【解答】
解：由椭圆C:x22+y2=1，可知：a=2，b=1，c=1，
所以左、右焦点为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，
根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=22，故A正确；
离心率e=ca=22，故B错误；
所以△PF1F2面积的最大值为12×2c×b=bc=1，故C错误；
由原点(0, 0)到直线x+y−2=0的距离d=212+12=1=c，
所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y−2=0相切，故D正确.
故选AD.
【答案】
A,B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：函数fx的最小正周期为2π2=π，故A选项正确；
由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπk∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπk∈Z，
所以函数fx在区间−π12,5π12上单调递增，故B选项正确；
由于f−π12=sin2−π12−π3=sin−π2=−1，
所以直线x=−π12是曲线F的一条对称轴，故C选项正确；
y=sin2x向右平移π3个单位长度得到
y=sin2x−π3=sin2x−2π3，故D选项错误．
故选ABC．
【答案】
A,C,D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
由指数函数的单调性可判断A；由作差法和不等式的性质可判断B；可取a＝2，b=14，c=18，计算可判断C；运用作差法和不等式的性质，可判断D．
【解答】
解：由a>1，0
由a>1，0
可得cb
可得lgac
则lgba
可得bb+a>cc+a，故D正确．
故选ACD.
三、填空题
【答案】
1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意(b→−e1→)⋅(b→−e2→)=0，
即b→2−e1→+e2→⋅b→+e1→⋅e2→=0，
又e1→,e2→是方向相反的单位向量，
所以e1→+e2→=0，e1→⋅e2→=−1，
所以b→2−1=0，
即b→2=1，
所以|b→|=1.
故答案为：1.
【答案】
13
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
【解答】
解：因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，
所以VA−NMD1=VD1−AMN=13×12×1×1×2=13．
故答案为：13．
【答案】
35
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设未测量过某项指标的2只兔子为a1，a2，
测量过某项指标的3只兔子为b1，b2，b3，
从这5只兔子中随机取出3只的所有可能有：
a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1b1b2，a1b1b3，
a1b2b3，a2b1b2，a2b1b3，a2b2b3，b1b2b3,共10种，
其中恰有2只测量过该指标的可能有：
a1b1b2，a1b1b3，a1b2b3，a2b1b2，
a2b1b3，a2b2b3共6种，
所以恰有2只测量过该指标的概率为P=610=35.
故答案为：35.
【答案】
e2
【考点】
对数函数的值域与最值
对数函数的图象与性质
【解析】
无
【解答】
解：由题意以及函数fx=|lnx|的性质可得−lnm=lnn，
∴ 1m=n，且0
∴ |lnm2|=2或lnn=2.
①当|lnm2|=2时，m=1e，又∵ 1m=n，∴ n=e，
此时fx在区间m2,n上的最大值为2，满足题意；
②当lnn=2时，n=e2，m=1e2，
此时fx在区间m2,n上的最大值为ln1e4=4，不满足题意，
综上，n=e，m=1e，nm=e2．
故答案为：e2．
四、解答题
【答案】
解：由bsin B+asin C=asin A+csin C及正弦定理
可得b2+ac=a2+c2，
由余弦定理可得cs B=a2+c2−b22ac=b2+ac−b22ac=12，
又因为B∈0,π，
所以B=π3．
选择条件①：
因为S△ABC=12acsin B=12a×32=34，
所以a=1．
又因为a=c=1，B=π3，
所以△ABC是等边三角形，
所以C=π3，
所以sinC=32．
选择条件②：
由正弦定理bsin B=csin C，及b=3c
得sin C=csin Bb=csin π33c=12．
选择条件③：
由A=π4得C=π−A−B=5π12，
所以sin C=sin 5π12=sinπ6+π4
=sin π6cs π4+cs π6sin π4
=2+64．
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由bsin B+asin C=asin A+csin C及正弦定理
可得b2+ac=a2+c2，
由余弦定理可得cs B=a2+c2−b22ac=b2+ac−b22ac=12，
又因为B∈0,π，
所以B=π3．
选择条件①：
因为S△ABC=12acsin B=12a×32=34，
所以a=1．
又因为a=c=1，B=π3，
所以△ABC是等边三角形，
所以C=π3，
所以sinC=32．
选择条件②：
由正弦定理bsin B=csin C，及b=3c
得sin C=csin Bb=csin π33c=12．
选择条件③：
由A=π4得C=π−A−B=5π12，
所以sin C=sin 5π12=sinπ6+π4
=sin π6cs π4+cs π6sin π4
=2+64．
【答案】
解：(1)y=50x−[12x+x(x−1)2×4]−98
=−2x2+40x−98，x∈N∗．
由−2x2+40x−98>0得，
10−51
故从第三年开始盈利．
(2)因为yx=40−(2x+98x)≤40−22×98=12，
当且仅当x=7时，等号成立，
所以按第①方案处理总利润为−2×72+40×7−98+30=114（万元）；
由y=−2x2+40x−98=−2(x−10)2+102≤102，
所以当x=10时，利润取得最大值，
所以按第②方案处理总利润为102+12=114（万元）．
所以两种方案企业获利总额相同，第①方案使用时间短，则选第①方案较合理．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，
算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．
【解答】
解：(1)y=50x−[12x+x(x−1)2×4]−98
=−2x2+40x−98，x∈N∗．
由−2x2+40x−98>0得，
10−51
故从第三年开始盈利．
(2)因为yx=40−(2x+98x)≤40−22×98=12，
当且仅当x=7时，等号成立，
所以按第①方案处理总利润为−2×72+40×7−98+30=114（万元）；
由y=−2x2+40x−98=−2(x−10)2+102≤102，
所以当x=10时，利润取得最大值，
所以按第②方案处理总利润为102+12=114（万元）．
所以两种方案企业获利总额相同，第①方案使用时间短，则选第①方案较合理．
【答案】
(1)解：取AE的中点O，连结B1O，如图所示，
依题意得B1O⊥AE，
因为平面B1AE∩平面AECD=AE，B1O⊥AE，B1O⊂平面B1AE，
又平面B1AE⊥平面AECD，
所以B1O⊥平面AECD，
在Rt△AB1E中，AB1=B1E=2，得B1O=2．
所以VB1−AED=13S△AED⋅B1O=13×12×3×2×2=2．
(2)证明：依题意得，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，BE=2EC，
所以AD=3，EC=1．
在线段B1A上取一点M，满足AM=2MB1，如图所示，
又因为DF=2FB1，
所以B1MMA=B1FFD，故FM//AD.
又因为EC//AD，
所以EC//FM，
因为FM=13AD=1，
所以EC=FM，
所以四边形FMEC为平行四边形，
所以CF//EM，
又因为CF⊄平面B1AE， EM⊂平面B1AE，
所以CF//平面B1AE．
【考点】
平面与平面垂直的性质
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：取AE的中点O，连结B1O，如图所示，
依题意得B1O⊥AE，
因为平面B1AE∩平面AECD=AE，B1O⊥AE，B1O⊂平面B1AE，
又平面B1AE⊥平面AECD，
所以B1O⊥平面AECD，
在Rt△AB1E中，AB1=B1E=2，得B1O=2．
所以VB1−AED=13S△AED⋅B1O=13×12×3×2×2=2．
(2)证明：依题意得，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，BE=2EC，
所以AD=3，EC=1．
在线段B1A上取一点M，满足AM=2MB1，如图所示，
又因为DF=2FB1，
所以B1MMA=B1FFD，故FM//AD.
又因为EC//AD，
所以EC//FM，
因为FM=13AD=1，
所以EC=FM，
所以四边形FMEC为平行四边形，
所以CF//EM，
又因为CF⊄平面B1AE， EM⊂平面B1AE，
所以CF//平面B1AE．
【答案】
解：(1)样区野生动物平均数为
130i=130yi=130×1200=40，
地块数为300，该地区这种野生动物的
估计值为300×40=12000．
(2)样本xi,yii=1,2,⋯,30的相关系数为
r=i=130(xi−x¯)(yi−y¯)i=130(xi−x¯)2i=130(yi−y¯)2
=80090×8000=223≈0.94．
因为方案一的相关系数为r=0.81明显小于方案二的相关系数为r=0.94，
所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计．
【考点】
众数、中位数、平均数
相关系数
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)样区野生动物平均数为
130i=130yi=130×1200=40，
地块数为300，该地区这种野生动物的
估计值为300×40=12000．
(2)样本xi,yii=1,2,⋯,30的相关系数为
r=i=130(xi−x¯)(yi−y¯)i=130(xi−x¯)2i=130(yi−y¯)2
=80090×8000=223≈0.94．
因为方案一的相关系数为r=0.81明显小于方案二的相关系数为r=0.94，
所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计．
【答案】
(1)证明：由a1+a2+a3+⋯+an+n=an+1，
得a1+a2+a3+⋯+an−1+n−1=ann≥2，
两式相减得an+1=2an+1，
所以an+1+1=2an+1n≥2.
因为a1=0，所以a1+1=1，
a2=a1+1=1，a2+1=2a1+1,
所以{an+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由bn=nan+1，又由(1)可知an=2n−1−1，得bn=n2n−1，
从而Tn≥m−92+2an，
即1+22+322+⋯+n2n−1≥m−92n.
因为Tn=1+22+322+⋯+n2n−1，
则12Tn=12+222+323+⋯+n2n，
两式相减得1−12Tn=1+12+122+123+⋯+12n−1−n2n
=2−n+22n，
所以Tn=4−n+22n−1.
由Tn≥m−92n恒成立，即4−2n−52n≥m恒成立，
又4−2n−32n+1−4−2n−52n=2n−72n+1，
故当n≤3时，4−2n−52n单调递减；
当n=3时，4−2×3−523=318；
当n≥4时，4−2n−52n单调递增；
当n=4时，4−2×4−524=6116；
则4−2n−52n的最小值为6116，
所以实数m的最大值是6116．
【考点】
函数恒成立问题
数列的求和
数列递推式
等比数列
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
(1)证明：由a1+a2+a3+⋯+an+n=an+1，
得a1+a2+a3+⋯+an−1+n−1=ann≥2，
两式相减得an+1=2an+1，
所以an+1+1=2an+1n≥2.
因为a1=0，所以a1+1=1，
a2=a1+1=1，a2+1=2a1+1,
所以{an+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由bn=nan+1，又由(1)可知an=2n−1−1，得bn=n2n−1，
从而Tn≥m−92+2an，
即1+22+322+⋯+n2n−1≥m−92n.
因为Tn=1+22+322+⋯+n2n−1，
则12Tn=12+222+323+⋯+n2n，
两式相减得1−12Tn=1+12+122+123+⋯+12n−1−n2n
=2−n+22n，
所以Tn=4−n+22n−1.
由Tn≥m−92n恒成立，即4−2n−52n≥m恒成立，
又4−2n−32n+1−4−2n−52n=2n−72n+1，
故当n≤3时，4−2n−52n单调递减；
当n=3时，4−2×3−523=318；
当n≥4时，4−2n−52n单调递增；
当n=4时，4−2×4−524=6116；
则4−2n−52n的最小值为6116，
所以实数m的最大值是6116．
【答案】
解：(1)设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
点M在直线y=32x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0)，
则点Mc,3c2，
因为MF1→⋅MF2→=−2c,−3c2⋅0,−3c2=94，
即9c24=94，
所以c=1，
所以M1,32，
又1a2+94b2=1,a2=b2+1,
解得a2=4,b2=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设动圆P的半径为R，点P的坐标为(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由已知|PF1|=1+R,|PF1|+|PF2|=4,
得R=3−|PF2|≤3−(2−1)=2，
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2，
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x−2)2+y2=4，
因为直线l是圆P和圆F1的外公切线，
所以直线l的倾斜角不为90∘且不平行于x轴，
设l与x轴的交点为Q，
则|QP||QF1|=Rr=21，
可求得Q(−4,0)，
设l：y=k(x+4)，由l与圆F1相切得|3k|1+k2=1，
解得k=±24，
当k=24时，将y=24x+2代入x24+y23=1并整理得，
7x2+8x−8=0，
解得x1,2=−4±627，
所以|AB|=1+242|x1−x2|=187，
当k=−24时，由图形的对称性可知|AB|=187，
又点F2到直线l的距离d=53，
所以三角形F2AB的面积为S=12|AB|d=12×187×53=157．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
点M在直线y=32x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0)，
则点Mc,3c2，
因为MF1→⋅MF2→=−2c,−3c2⋅0,−3c2=94，
即9c24=94，
所以c=1，
所以M1,32，
又1a2+94b2=1,a2=b2+1,
解得a2=4,b2=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设动圆P的半径为R，点P的坐标为(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由已知|PF1|=1+R,|PF1|+|PF2|=4,
得R=3−|PF2|≤3−(2−1)=2，
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2，
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x−2)2+y2=4，
因为直线l是圆P和圆F1的外公切线，
所以直线l的倾斜角不为90∘且不平行于x轴，
设l与x轴的交点为Q，
则|QP||QF1|=Rr=21，
可求得Q(−4,0)，
设l：y=k(x+4)，由l与圆F1相切得|3k|1+k2=1，
解得k=±24，
当k=24时，将y=24x+2代入x24+y23=1并整理得，
7x2+8x−8=0，
解得x1,2=−4±627，
所以|AB|=1+242|x1−x2|=187，
当k=−24时，由图形的对称性可知|AB|=187，
又点F2到直线l的距离d=53，
所以三角形F2AB的面积为S=12|AB|d=12×187×53=157．
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