2020-2021学年吉林省四平市高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年吉林省四平市高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 班主任老师为了了解学生的学习状态，抽查了学号尾数为5的学生作业，这种抽样方法是( )
A.抽签法B.分层抽样C.系统抽样D.随机数法

2. 抛物线y=8x2的准线方程为( )
A.y=−2B.y=−132C.x=−2D.x=−132

3. 下列语句表达中，是算法的个数为( )
①不等式3x2>2x+5；
②更相减损术求两个正整数的最大公约数；
③李老师从烟台去北京参加名师培训，可以先乘汽车到济南，然后从济南坐飞机抵达北京．
A.0B.1C.2D.3

4. 若圆x2+y2+2x−4y+1=0关于直线2ax−by+1=0对称，则a+b等于( )
A.1B.−1C.12D.−12

5. 已知空间向量m→=−1,x,2，n→=x2,−1,1，则“x=1”是“m→⊥n→”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6. 在2020年秋季某次数学选拔性测试中，甲、乙两班各选取6人，其得分画成茎叶图如图所示，则6人成绩的平均分甲班比乙班（ ）

A.高2分B.低2分C.不高不低D.低1分

7. 已知直线x−2y+1=0与直线2x−my−2m=0平行，则它们之间的距离为( )
A.5B.355C.955D.4

8. 执行如图所示的程序框图，则输出的S为( )

A.170+lg514B.683C.lg514+683D.169

9. 已知F1，F2是双曲线C：x25−y22=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=3|PF2|，则cs∠F1PF2=( )
A.−415B.415C.1115D.58

10. 已知命题p：若a→⋅b→>0，则向量a→与b→的夹角为锐角；命题q：函数fx=|2cs2x−1|的最小正周期为π，则下列说法错误的是( )
A.p∨q为假命题B.p∧q为假命题
C.¬p∧q为真命题D.p∨¬q为真命题

11. 某商场为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示．已知从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，第4小组与第5小组的频率分布如图所示，第2小组的频数为20，则第4小组顾客的人数是( )

A.30B.40C.50D.60

12. 椭圆x225+y216=1的左，右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则|y1−y2|的值为( )
A.53B.103C.203D.53
二、填空题

点1,−2与圆x+12+y2=4的位置关系为________．(填“在圆上”、“在圆外”、“在圆内”)

已知△ABC的三个顶点坐标为A−3,0，B2,1，C−2,3，则BC边上的中线AE所在直线的一般方程为________.

已知m>0，双曲线C:x24−y2m=1的一条渐近线与圆Ω:(x−4)2+y2=m相切，则m=__________.

在底面为平行四边形的四棱锥S−ABCD中，点E满足EC→=2SE→，点F为直线AE与平面BSD的交点，若AF→=λAE→，则实数λ=________.
三、解答题

已知直线l1:m−4x−y+1=0和l2:m+4x+m+1y−1=0.
(1)若l1//l2，求实数m的值；

(2)若l1⊥l2，求实数m的值．

已知抛物线C:y2=2pxp>0与直线4x−4y+1=0相切．
(1)求抛物线C的方程；

(2)已知过点14,0且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若|AB|=4，求弦AB的中点到直线x+2=0的距离．

已知圆C的圆心在坐标原点O，直线l的方程为x−y−22=0．
(1)若圆C与直线l相切，求圆C的标准方程；

(2)若圆C上恰有两个点到直线l的距离是1，求圆C的半径的取值范围．

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收人xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得i=110xi=80，i=110yi=20 ，i=110xiyi=184，i=110xi2=720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；

(2)若该居民区某家庭月收入为8千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中， b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯ ，其中x¯，y¯为样本平均值．

如图，四棱锥P−BCDE中， BC//DE，BC=2CD=2DE=2PE=2,CE=2，O是BE中点， PO⊥平面BCDE.

(1)求证：平面 PBE⊥ 平面PCE;

(2)求二面角 B−PC−D 的正弦值.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，顺次连接椭圆C的四个顶点所构成的四边形的面积为42 ，周长为46.
(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点(−1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，以AB为直径作圆M，试判断点P(−94,0)与圆M的位置关系.
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省四平市高二（上）12月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．
【解答】
解：系统抽样：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．
题目中班主任老师为了了解学生的学习状态，抽查了学号尾数为5的学生作业，这里运用的抽样方法是系统抽样.
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．
【解答】
解：∵ 抛物线y=8x2，可化为x2=18y，
∴ 2p=18，
∴ 抛物线的准线方程为y=−132．
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
算法的概念
【解析】
根据算法的概念即可判断.
【解答】
解：①只是一个纯数学问题，无解决问题的步骤，所以不是算法；
②更相减损术求两个正整数的最大公约数不是一个明确的逻辑步骤，
不符合确定性，所以不是算法；
③李老师从烟台去北京参加名师培训，可以先乘汽车到济南，
然后从济南坐飞机抵达北京是分步骤完成一件事情，所以是算法.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
关于点、直线对称的圆的方程
【解析】
根据圆关于直线对称可得圆心在直线方程上，然后将圆心坐标代入即可求出a+b=12.
【解答】
解：由题可知直线2ax−by+1=0过圆心−1,2，
将圆心坐标代入直线方程可得−2a−2b+1=0，
∴ a+b=12．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据空间向量的数量积运算公式，计算m→⊥n→的值，然后再进行判断.
【解答】
解：∵ 当x=1时，m→⋅n→=−1−1+2=0，
∴ m→⊥n→；
反之，当m→⊥n→时，即−x2−x+2=0，
解得x=1或x=−2.
∴ “x=1”是“m→⊥n→”的充分不必要条件.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
根据茎叶图的含义计算出甲乙班的平均数.
【解答】
解：由茎叶图可得，甲班6人的平均分为
x¯1=92+80+87+72+76+686=7916，
乙班6人的平均分为
x2_=91+80+83+86+72+756=8116，
故甲班比乙班平均分低2分．
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
两条直线平行的判定
两条平行直线间的距离
【解析】
根据两直线平行，求出m=4，然后再利用两平行直线间的距离公式求解出d.
【解答】
解：∵ 直线x−2y+1=0与直线2x−my−2m=0平行，
∴ 21=−m−2≠−−2m1，
解得m=4，
∴ 直线2x−my−2m=0为x−2y−4=0，
∴ 两平行直线之间的距离为d=|1+4|1+4=5.
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
程序框图
【解答】
解：由程序框图可知
S=21+23+25+27+lg524+lg546+lg568+lg5810
=2+8+32+128+lg515=169.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
双曲线的特性
余弦定理
【解析】
根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cs∠F1PF2的值．
【解答】
解：双曲线方程x25−y22=1，
则a=5，b=2，c=7，
根据双曲线的定义，|PF1|−|PF2|=2a=25，
又|PF1|=3|PF2|，
∴ |PF1|=35，|PF2|=5，
∵ |F1F2|=2c=27，
∴ cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22×|PF1|×|PF2|=1115．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
二倍角的余弦公式
余弦函数的周期性
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
当a→⋅b→>0时，a→与b→的夹角为锐角或零度角，q:fx=|2cs2x−1|=|cs2x|，最小正周期为π2，然后来逐项判断各复合命题的正确性.
【解答】
解：p：当a→⋅b→>0时，a→与b→的夹角为锐角或零度角，故命题p是假命题；
q：fx=|2cs2x−1|=|cs2x|，最小正周期为π2，故命题q是假命题，
所以p∨q，p∧q，¬p∧q为假，p∨¬q为真．
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
频率分布直方图
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
根据频率分布直方图解得第4组与第5组的频率，设前三组的频率分别为x，2x，3x，所有组频率之和为1，解得x，利用频率求总体，最后解得第4小组顾客的人数.
【解答】
解：由图，得第4组的频率为0.15×2=0.30，
第5组的频率为0.05×2=0.10.
∵ 前三组的频率之比为1:2:3，
设前三组的频率分别为x，2x，3x，
则x+2x+3x=1−0.3−0.1，
解得x=0.1，
∴ 前3个小组的频率分别为0.1，0.2，0.3.
∵ 抽取顾客的总数为200.2=100，
∴ 第4小组顾客的人数为100×0.3=30(人).
故选A.
12.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】
先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆周长求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2−y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2−y1|的值．
【解答】
解：∵ x225+y216=1，
∴ a=5，b=4，
∴ c=3，
∴ 椭圆的左，右焦点分别为F1(−3, 0)，F2(3, 0).
∵ △ABF2的内切圆周长为π，
∴ 内切圆的半径为r=12，
∴ S△ABF2 =S△AF1F2 +S△BF1F2
=12×|y1|×|F1F2|+12×|y2|×|F1F2|
=12×(|y1|+|y2|)×|F1F2|
=3|y2−y1|(A，B在x轴的上下两侧).
又∵ S△ABF2 =12×r×(|AB|+|BF2|+|F2A|)
=12×12(2a+2a)=a=5，
∴ 3|y2−y1|=5，
即|y2−y1|=53．
故选A．
二、填空题
【答案】
在圆外
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
直接利用两点间的距离公式和半径比较得出结果．
【解答】
解：∵ 1+12+(−2)2=8>4，
∴ 点1,−2与圆x+12+y2=4的位置关系为在圆外.
故答案为：在圆外.
【答案】
2x−3y+6=0
【考点】
直线的两点式方程
中点坐标公式
直线的一般式方程
【解析】
根据点的坐标、直线的两点式求直线的一般方程.
【解答】
解：由题意可得，BC边中点为E0,2，
所以AE所在直线方程为x−3+y2=1，
即2x−3y+6=0.
故答案为：2x−3y+6=0.
【答案】
12
【考点】
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
圆的切线方程
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求m的值.
【解答】
解：∵ a=2，b=m，
∴ 双曲线C的渐近线方程为y=±m2x.
由题意，得m=4mm+4，
解得m=12.
故答案为：12.
【答案】
34
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
跟据向量加减法，即可求得答案.
【解答】
解：如图：连接BD，BE.
∵SC→=SD→+DC→=SD→+AB→=SD→+SB→−SA→,
且EC→=2SE→，
∴ SE→=13SC→=13SD→+SB→−SA→.
∴ AE→=SE→−SA→=13SD→+SB→−4SA→.
∵ 点F为直线AE与平面BSD的交点，
∴ AF→=λAE→=λ3(SD→+SB→−4SA→)，
∴ BF→=AF→−AB→=AF→−SB→+SA→
=(1−4λ3)SA→+(λ3−1)SB→+λ3SD→).
又∵ F，B，S，D四点共面，
∴ 1−4λ3=0，
∴ λ=34.
故答案为：34.
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，则要使l1//l2，只要−m+4m+1=m−4，
整理得m2−2m=0，解之得，m=0或m=2，
当m=0时，l1：4x+y−1=0，l2：4x+y−1=0，此时l1与l2重合；
当m=2时，l1：2x+y−1=0，l2：6x+3y−1=0，此时l1//l2.
故m=2.
(2)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，
若m=4，即直线l1的斜率为k=0时，直线l2的斜率为−85，l1与l2不垂直，不符题意；
则要使l1⊥l2，只要−m+4m+1⋅(m−4)=−1，
整理得m2−m−17=0，解之得，m=1+692或m=1−692，
即当l1⊥l2时，m=1+692或m=1−692.
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意，直线l1的斜率为k=m−4，则要使l1//l2，只要−m+4m+1=m−4，
整理得m2−2m=0，解之得，m=0或m=2，
当m=0时，l1：4x+y−1=0，l2：4x+y−1=0，此时l1与l2重合；
当m=2时，l1：2x+y−1=0，l2：6x+3y−1=0，此时l1//l2；
所以m=2；
（2）由题意，直线l1的斜率为k=m−4，
若m=4，即直线l1的斜率为k=0时，直线l2的斜率为−85，l1与l2不垂直，不符题意；
则要使l1⊥l2，只要−m+4m+1⋅(m−4)=−1，
整理得m2−m−17=0，解之得，m=1+692或m=1−692，
所以当l1⊥l2时，m=1+692或m=1−692.
【解答】
解：(1)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，则要使l1//l2，只要−m+4m+1=m−4，
整理得m2−2m=0，解之得，m=0或m=2，
当m=0时，l1：4x+y−1=0，l2：4x+y−1=0，此时l1与l2重合；
当m=2时，l1：2x+y−1=0，l2：6x+3y−1=0，此时l1//l2.
故m=2.
(2)由题意，直线l1的斜率为k=m−4，
若m=4，即直线l1的斜率为k=0时，直线l2的斜率为−85，l1与l2不垂直，不符题意；
则要使l1⊥l2，只要−m+4m+1⋅(m−4)=−1，
整理得m2−m−17=0，解之得，m=1+692或m=1−692，
即当l1⊥l2时，m=1+692或m=1−692.
【答案】
解：(1)联立y2=2px,4x−4y+1=0,
化简，得y2−2py+p2=0，
令Δ=0，即4p2−2p=0.
∵ p>0，
∴ p=12，
故抛物线C的方程为y2=x.
(2)由(1)可得y2=x，
则点14,0即为抛物线C的焦点.
设A的坐标为x1,y1，B的坐标为x2,y2，
则|AB|=x1+x2+12=4，
即x1+x2=72，
则弦AB的中点的横坐标是74，
故弦AB的中点到直线x+2=0的距离是74+2=154．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
抛物线的标准方程
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
联立抛物线与直线的方程，消元后利用方程的判别式为零即可求解.
利用弦长公式可得|AB|=x1+x2+12=4，从而可以求出弦AB的中点的横坐标是74，从而可以求出距离.
【解答】
解：(1)联立y2=2px,4x−4y+1=0,
化简，得y2−2py+p2=0，
令Δ=0，即4p2−2p=0.
∵ p>0，
∴ p=12，
故抛物线C的方程为y2=x.
(2)由(1)可得y2=x，
则点14,0即为抛物线C的焦点.
设A的坐标为x1,y1，B的坐标为x2,y2，
则|AB|=x1+x2+12=4，
即x1+x2=72，
则弦AB的中点的横坐标是74，
故弦AB的中点到直线x+2=0的距离是74+2=154．
【答案】
解：(1)∵ 圆C的圆心在坐标原点O，且圆C与直线l相切，
∴ 圆的半径为r=|−22|12+12=2，
∴ 圆C的标准方程为x2+y2=4.
(2)如图，
由(1)得，圆心O到直线x−y−22=0的距离为2.
∵ 圆C上恰有两个点到直线l的距离是1，
∴ |d−r|=1，即|2−r|=1，
∴ 1