2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练 考点4 函数模型及应用

考点4 函数模型及应用

一、选择题

1.当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时，透光度T的数学表达式为，其中系数k与吸光物质的性质及入射光线的波长有关，c为吸光物质的浓度（单位：mol/L），l为吸收介质的厚度（单位：cm）.已知吸光物质及入射光线保持恒定，当吸收介质的厚度为20cm时，透光度为，则当吸收介质的厚度增加20cm时，透光度为原来的(   )
A. B. C. D.

2.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.526分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是(   )

A.5℃ B.10℃ C.15℃ D.20℃

3.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：)(   )

A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年

4.在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量（t的单位：天），逻辑斯蒂增长模型具体为，其中K为环境最大容量.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为(   )

A.63 B.65 C.66 D.69

5.2020年7月31日上午，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通并提出“新时代北斗精神”.已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，角速度约为15度/时，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是(   )

A.指数函数模型 B.对数函数模型 C.幂函数模型 D.三角函数模型

6.建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为（单位：），其相应的透射系数分别为，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为.已知某墙的透射系数为，面积为20 ，在墙上有一门，其透射系数为，面积为2 ，则组合墙的平均隔声量为(   )

A.10 dB  B.20 dB  C.30 dB  D.40 dB

7.原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出等射线后，会转变成稳定的原子， 这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变对程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则(   )

A.12贝克 B.贝克 C.6贝克 D.贝克

8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与成正比,且当时,鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法:
①v与的正比例系数为;
②当时,鲑鱼的耗氧量的单位数为2700;
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时,游速.
则说法正确的个数为(   )
A.0 B.1 C.2 D.3

9.天文学中为了衡量天体的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯( Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,天体就越亮;星等的数值越大,天体就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R. Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍,则r的近似值为(当较小时,)(   )
A. B. C. D.

10.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已经成为数学史上的珍闻.若，根据指数与对数的关系，x的值约为(   )

A.0.4961 B.0.6941 C.0.9164 D.1.469

11.放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间叫半衰期，这种理论也应用在医学上，医学上半衰期的具体定义为药物在生物体内浓度下降一半所需要的时间现有A,B两种新研制的药物，为研究其药性特点，在两只身体状况一致的小白鼠体内分别注射药物，已知药物A的半衰期为8小时，设经过个半衰期，两种药物的浓度分别为，若，经过相同的时间后，则药物B的半衰期为(   )
A.6小时 B.7.5小时 C.10小时 D.12小时

12.2020年12月24日起，铁路部门在京沪高铁、成渝高铁的部分车次试点“静音车厢”服务，为旅客提供更加安静、舒适的旅行环境.假设强度为v的声音对应的分贝为，且与的关系可用一次函数进行模拟，强度为的声音对应的分贝为80dB，强度为的声音对应的分贝为10dB.若“静音车厢”内要求产生的声音不超过30dB，则其对应的声音强度应不超过(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每1万件产品的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________万元.

参考答案

1.答案：C

解析：因为时，，所以，所以.设吸收介质的厚度增加20cm时，透光度为，则，选C.

2.答案：B

解析：根据题意可得，
即，
根据可得，
解得，
则空气温度是.

3.答案：C

解析：某一时段t河水污染质量指数，由题意可知，.
从现在开始停止污染源，则，，，要使河水的污染水平下降到初始时的，则，即，解得，所以需要的时间大约是半年.
故选C.

4.答案：B

解析：本题考查指数函数模型的实际应用.由题知，，即，所以，解得.故选B.

5.答案：D

解析：本题考查函数模型的实际应用.如图，不妨设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为逆时针，初始位置在点处，与x轴正半轴的夹角为经过t小时后，卫星在点P处，则OP与x轴正半轴的夹角为则点P的纵坐标所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型.故选D.
 

6.答案：C

解析：本题考查对数与指数运算的实际应用.由题意知组合墙的透射系数的平均值，所以组合墙的平均隔声量，故选C.

7.答案：A

解析：本题考查导数.则，由题意知即所以，则故选A.

8.答案：A

解析：本题考查对数函数模型的应用，依题意，设，则有，解得，故①错误；当时，有，解得，故②错误；当时，游速，故③错误.故选A.

9.答案：B

解析：本题考查对数式与指数式的互化以及对数运算.设“心宿二”和天津四”的亮度分别为.由题意得，，所以，所以，所以与r最接近的是，故选B.

10.答案：C

解析：本题考查指数与对数的互化、对数的换底公式及运算法则.因为，所以.故选C.

11.答案：B

解析：设，则.当药物A的浓度为时，药物A经历了15个半衰期，故药物已被注射进小白鼠体内小时，设药物B的半衰期为t小时，则由题意可得，解得，所以药物B的半衰期为7.5小时.

12.答案：A

解析：由已知，设，则，

解得，所以，则由可得.故选A.

13.答案：37.5

解析：由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足，

即，

设月利润为y万元，

则

，

当且仅当，即时取等号，

故该公司的最大月利润为37.5万元.