2022版新高考数学一轮总复习课后集训：6+二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题+Word版含解析

课后限时集训(六)　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

建议用时：25分钟

一、选择题

1．不等式x2－y2≤0表示的平面区域(用阴影部分表示)应是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　 　D

D　[x2－y2≤0⇔(x＋y)(x－y)≤0⇔或结合图形可知选D.]

2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则(　　)

A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24

C．a＝－7或a＝24  D．以上都不正确

B　[点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－7<a<24.]

3．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最小值为(　　)

A．－ B．－ 

C．－ D．－

B　[作出不等式组对应的平面区域如图：

目标函数z＝的几何意义为动点M(x，y)与定点D(－1,2)的斜率，当M位于A时，此时DA的斜率最小，此时zmin＝＝－.故选B.]

4．若x，y满足条件则目标函数z＝x2＋y2的最小值是

(　　)

A． B．2 

C．4 D．

B　[作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O(0,0)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线段的长度d＝＝，易知zmin＝d2＝2，故选B.]

5．若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为(　　)

A． B． 

C．1 D．2

D　[由选项得m＞0，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

因为z＝3x－y，所以y＝3x－z，当直线y＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2.

由得A(2，4)，代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.]

6．x，y满足约束条件若z＝ax－y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)

A．－1 B．2 

C． D．2或－1

C　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z＝ax－y得y＝ax－z，即直线y＝ax－z在y轴上的截距最小时z最大．①若a＝0，则y＝－z，此时，目标函数只在B处取得最大值，不满足条件．②若a＞0，则目标函数y＝ax－z的斜率k＝a＞0，要使z＝ax－y取得最大值的最优解不唯一，则直线y＝ax－z与直线x－2y－4＝0平行，此时a＝.③若a＜0，显然不满足题意．故选C.]

7．(2020·湖南湘潭一中模拟)太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台，三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为

A＝，设点(x，y)∈A，则z＝2x＋y的最大值与最小值之和是(　　)

A．1－2 B．1－ 

C．1＋ D．1＋2

B　[如图，作直线2x＋y＝0，当直线上移与圆x2＋(y－1)2＝1相切时，z＝2x＋y取最大值，

此时，圆心(0,1)到直线z＝2x＋y的距离等于1，

即＝1，

解得zmax＝＋1.

当下移与圆x2＋y2＝4相切时，z＝2x＋y取最小值，

同理，＝2，即zmin＝－2，

所以z＝2x＋y的最大值与最小值之和是1－.

故选B.]

二、填空题

8．不等式组表示的平面区域的面积为________．

3　[依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示．

平面区域为△ABC及其内部，其中A(2,0)，B(0,2)，C(2,3)．所以所求面积为S＝×2×|AC|＝3.]

9．(2019·北京高考)若x，y满足则y－x的最小值为________，最大值为________．

－3　1　[作出可行域，如图中阴影部分所示．

设y－x＝z，则y＝x＋z，当直线y＝x＋z的纵截距最大时，z有最大值，当直线y＝x＋z的纵截距最小时，z有最小值．由图可知，当直线y＝x＋z过点A时，z有最大值，

联立

可得即A(2,3)，

所以zmax＝3－2＝1；当直线y＝x＋z过点B(2，－1)时，z有最小值，所以zmin＝－1－2＝－3.]

10.(2020·深圳模拟)给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z＝ax－y，若当且仅当x＝1，y＝1时，目标函数z取得最小值，则实数a的取值范围是________．

　[由可行域可知， 直线AC的斜率kAC＝＝－1，直线AB的斜率kAB＝＝－.因为当直线z＝ax－y的斜率介于直线AC与直线AB的斜率之间时，A(1,1)是目标函数z＝ax－y取得最小值的唯一最优解，所以－1＜a＜－.]

11．某蛋糕店计划每天生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份，生产一份蛋糕需5分钟，生产一份面包需7分钟，生产一份酥点需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一份蛋糕可获利润5元，生产一份面包可获利润6元，生产一份酥点可获利润3元．若用每天生产的蛋糕份数x与面包份数y表示每天的利润ω(元)，则ω的最大值为________元．

550　[依题意可知每天生产的酥点份数为100－x－y，

所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.约束条件为

整理得

目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图中阴影部分所示．作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由得

所以最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．]

1．(2020·南阳模拟)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)

A．(0,2] B．(2,4) 

C．[0,2] D．[2,4]

C　[作出不等式组

表示的平面区域如图中阴影部分所示，

因为点A(－1,1)，点M(x，y)，所以·＝y－x，令y－x＝m，平移直线y－x＝m，由图可知，当直线经过点D(1,1)时，m取得最小值，且最小值为0，当直线经过点C(0,2)时，m取得最大值，且最大值为2，所以y－x的取值范围是[0,2]，故·的取值范围是[0,2]，故选C.]

2．(2020·江西五市联考)已知实数x，y满足不等式组若点P(2a＋b,3a－b)在该不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是(　　)

A．[－12，－7] B．

C． D．[－12，－2]

C　[因为点P(2a＋b,3a－b)在不等式组所表示的平面区域内，

所以

即其表示的平面区域是以A，B，C为顶点的三角形区域，如图中阴影部分所示(包括边界).可看作是可行域内的点与点M(1，－2)连线的斜率，所以kMB≤≤kMC，即－12≤≤－，故选C.]