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高考人教版数学知识点总结及例题解析
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高考所有知识点
高中数学专题一 集合
一、集合有关概念
集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性 互异性 无序性
(1) 集合的表示方法：列举法与描述法。
u 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
u 高考试题
u 3．不等式的解集是 （ ）
u A． B．且
u C． D．且
u 5．设集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是 （ ）
A．(A)∪B=I B．(A)∪(B)=I
C．A∩(B)= D．(A)(B)= B
（2）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是 ( )
（A） （B）
（C） （D）
⑴、设集合，，则 ( )
A． B．
C． D．
5．设，集合，则 ( ) www.xkb123.com
A．1 B． C．2 D．
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
（1）已知集合，，则中所含元素的个数为 ( )
（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10
2.已知全信U＝（1，2，3， 4，5），集合A＝,则集合CuA等于 ( )
（A） （B） (C) (D)
2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为 ( )
（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] 、
1.集合A= {x∣}，B=，则= （D）
（A） (B) (C) {x∣ } (D) {x∣}
1. 集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
1、设全集为R，函数的定义域为M，则为 ( )
A、 B、 C、 D、
答案 DBCBC –D
答案BBADC-
高中数学专题二 复 数
一．基本知识
【1】复数的基本概念
（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + bi为实数
虚数：当时的复数a + bi为虚数；
纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
（3）共轭复数：的共轭记作；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；
【2】复数的基本运算
设，
（1） 加法：；
（2） 减法：；
（3） 乘法： 特别。
（4）幂运算：
【3】复数的化简
（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：
对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解
二． 例题分析
【变式2】（2010年全国卷新课标）已知复数，则=
A. B. C.1 D.2
【例4】已知，
（1） 求的值；
（2） 求的值；
（3） 求.
【变式1】已知复数z满足，求z的模.
【变式2】若复数是纯虚数，求复数的模.
【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为的虚部为
【例6】若复数（i为虚数单位），
（1） 若z为实数，求的值
（2） 当z为纯虚，求的值.
【变式1】设是实数，且是实数，求的值..
【变式2】若是实数，则实数的值是 .
【例7】复数对应的点位于第 象限
【变式1】是虚数单位,等于 ( )
A．i B．-i C．1 D．-1
【变式2】已知=2+i,则复数z=（）
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】i是虚数单位，若，则乘积的值是
（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15
【例8】（2012年天津）复数= （ ）
（A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【变式4】（2007年天津）已知是虚数单位， （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ．
【变式5】.（2011年天津）已知是虚数单位，复数= （ ）
ABCD
【变式6】（2011年天津） 已知i是虚数单位，复数（ ）
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
高中数学专题三 函数
（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第一章、函数的有关概念
1．函数的概念： y=f(x)，x∈A．自变量x;定义域A；函数值y，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2．值域 : 先考虑其定义域
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
5．映射
A、B集合，对应法则f， A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
增函数上升，减函数下降.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1
(C)复合函数的单调性
其规律：“同增异减”
注意:不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：定义域关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）要求两个变量之间的函数关系时，一是对应法则，二是定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
（配方法）
利用图象
利用函数单调性
题目练习：
1.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _
3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
4.函数 ，若，则=
5.求下列函数的值域：
⑴ ⑵
(3) (4)
6.已知函数，求函数，的解析式
7.已知函数满足，则= 。
8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论．
11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．
高中数学专题三 函数
（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第二章 基本初等函数
一、指数函数
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念： ，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0
定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念： （— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且；
；
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意：换底公式
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）；（2）．
（二）对数函数
1、对数函数的概念： ，且，函数的定义域是（0，+∞）．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
a>1
0
定义域x＞0
定义域x＞0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）
（三）幂函数
1、幂函数定义： ，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．
例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
2.计算： ① ;②= ；= ;
3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为
4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=
5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围
高中数学专题三 函数
（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
高考试题
8.（2007）若函数f(x)的反函数为f,则函数f(x-1)与f的图象可能是 （ D ）
11（2007）.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若 a＜b，则必有 （ C ）
A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)
C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
13（2007）. 1/3 .
7（2008）．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（A ）
A． B．1 C．4 D．10
10（2008）．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ C ）
A．7 B．5 C．4 D．3
11 （2008）．定义在上的函数满足（），，则等于（ B ）
A．2 B．3 C．6 D．9
3.（2009）函数的反函数为 （ B ）
（A） (B)
（C） (D)
5.若,则 的值为 （ A ）
（A） （B） （C） (D)
3（2011）．设函数（R）满足，，则函数的图像是 （ ）
【解】选B 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
6．（2011）函数在内 （ ）
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点
【解】选B （方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；
（方法二）在上，，，所以；
在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．
12（2011）．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．
12．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．
【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
【解】，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．
【答案】3或4
高中数学专题三 函数
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第四章、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。
当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
（3）直线方程
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：（）直线两点，
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：（A，B不全为0）
注意
平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；
（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为
（为参数），其中直线不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当，时，
；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解 ； 方程组有无数解与重合
（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，
则
（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
题目练习
例2.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（D ）
A．2 B． C． D．
例3.曲线y=在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
例4.已知直线为曲线在点（1，0）处的切线， 为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
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第五章 三角函数
12、同角三角函数的基本关系：
13、三角函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
，．
，．
14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
图
象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在
上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中
27.正弦定理、余弦定理
正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有
△ABC，余弦定理可表示为：
同理，也可描述为：
高考试题
4（2007）.已知sinα=，则sin4α-cos4α的值为 ( A )
（A）- (B)- (C) (D)
16、（2012）（本小题满分12分）
已知向量，，，设函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值.
17.（2007）（本小题满分12分）
设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
解：（Ⅰ），
由已知，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为，
由，得值的集合为．
17．（2008）（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
17．（2009）（本小题满分12分）
已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.
解（1）由最低点为得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，
由点在图像上的
故
又
（2）
当=，即时，取得最大值2；当
即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2]
17．（2010）（本小题满分12分）
如图，A，B是海面上位于东西方向相聚海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？
解：由题意知海里，
∴
在中,由正弦定理得，
∴
=（海里）
答：救援船到达D点需要1小时.
高中数学专题三 函数
（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）
第六章 导 数
第01讲：导数的概念、几何意义及其运算
常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：
； ；
法则1：
法则2：
法则3：
（一）基础知识回顾：
1.导数的定义：函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数，记作或，即
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝
导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数在处的导数，就是导函数在处的函数值，即＝。
2. 由导数的定义求函数的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量;
（2）.求平均变化率; （3）.取极限，得导数＝。
3.导数的几何意义：函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜率。 因此，如果存在，则曲线在点（）处的切线方程为______________________。
4.常用的求导公式、法则（除上面大纲所列出的以外，还有）：
（1）公式的特例：①______; ②_______, ③_________.
（2）法则：①________; ②若，则=_______________.
（二）例题分析：
例1. 已知y=，用导数的定义求y′.
例2.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ D ）
A．2 B． C． D．
例3.曲线y=在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ）
（A） （B） （C） （D）
例4.已知直线为曲线在点（1，0）处的切线， 为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
第02讲： 导数在研究函数中的应用
（一）基础知识回顾：
1. 设函数在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则是这个区间内单调递减.
2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数； （2）解方程；
（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间。
3. 求函数的极值的方法：
（1）求导数； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）；
（3）如果在根附近的左侧____0，右侧____0，那么是的极大值；如果在根附近的左侧____0，右侧____0，那么是的极小值
4．在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤：
（1）求函数 在内的导数 ； （2）求函数 在内的极值 ；
（3）将函数在内的各极值与端点处的函数值作比较，
其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
（二）例题分析：
例1．已知函数在点x=1处有极小值-1．
试确定a、b的值．并求出f（x）的单调区间．
例2．设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值; （Ⅱ）若对于任意的x都有f (x)＜c2成立，求c的取值范围.
1.设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A． B. C. D.
2．如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（ ）
3．。函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
（A）(，) （B）(，2) （C）(，) （D）(2，3)
第03讲： 导数的实际应用
（一）基础知识回顾：
1.结论：若函数f(x)在区间A上有唯一一个极值点，且是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f(x)在区间A上的最大（小）值。
2.定积分的几何意义：表示由直线__________,_________,__________和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。
3．微积分基本定理（牛顿---莱布尼兹公式）：如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且，那么。常常把记作。
（二）高考题目：
20.（2007）(本小题满分12分)
设函数f(x)=其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
21．（2008）（本小题满分12分）
已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．
解：（Ⅰ），由题意知，
即得，（*），．
由得，
由韦达定理知另一个极值点为（或）．
（Ⅱ）由（*）式得，即．
当时，；当时，．
（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．
，
，
由及，解得．
（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．
，
恒成立．
综上可知，所求的取值范围为．
20．（2009）（本小题满分12分）
已知函数，其中
若在x=1处取得极值，求a的值；
求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。
解（Ⅰ）
∵在x=1处取得极值，∴解得
（Ⅱ）
∵ ∴
①当时，在区间∴的单调增区间为
②当时，
由
∴
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，
当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是
21.（2010）已知函数，g（x）=，
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的时，证明：
21．（2011）（本小题满分14分）
设函数定义在上，，导函数，．
（1）求的单调区间和最小值；
（2）讨论与的大小关系；
（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．
【解】（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；
所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值是．
（2），设，
则，
当时，，即，
当时，，，
因此函数在内单调递减，
当时，=0，∴；
当时，=0，∴．
（3）满足条件的不存在．证明如下：
证法一 假设存在，使对任意成立，
即对任意有 ①
但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，
因此不存在，使对任意成立．
证法二 假设存在，使对任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而时，的值域为，
∴当时，的值域为，
从而可以取一个值，使，即,
∴，这与假设矛盾．
∴不存在，使对任意成立．
21.（2012）（本小题满分14分）
设函数.
（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。
高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线
《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2
A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
顶 点
对称轴
轴，轴；短轴为，长轴为
焦 点
焦 距
离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通 径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=
（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：与（）表示双曲线的一支。
表示两条射线；没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
y
x
O
F1
P
B2
B1
F2
顶 点
对称轴
轴，轴；虚轴为，实轴为
焦 点
焦 距
离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线
通 径
（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（4）等轴双曲线为，其离心率为
（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=
（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：
焦点在轴上，
焦点在轴上，
焦点在轴上，
焦点在轴上，
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
标准方程
图 形
x
O
F
P
y
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
顶 点
对称轴
轴
轴
焦 点
离心率
准 线
通 径
焦半径
焦点弦
焦准距
四、弦长公式：
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。
法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。
六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
高考专题训练九 椭圆、双曲线、抛物线
班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：利用抛物线定义
A到准线距离|AA′|，B到准线距离|BB′|，
且|AA′|＋|BB′|＝3，
AB中点M到y轴距离d＝－＝.
答案：C
2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
解析：如图所示．
答案：C
3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：由得：y2－2y－8＝0, y1＝4，y2＝－2.
则A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)
|AF|＝＝5，
|BF|＝＝2
|AB|＝＝3
cos∠AFB＝＝
＝－.
答案：D
4．(2011·浙江)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：依题意：a2－b2＝5，
令椭圆＋＝1，
如图可知MN＝AB，
∴＝，
由
∴x＝，
由∴x＝，
∴＝＝，
∴又a2＝b2＋5，
∴9b2＝b2＋4，∴b2＝.
答案：C
5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，
∴|PF1|＝|F1F2|，|PF2|＝|F1F2|
则若|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＋|F1F2|＝2|F1F2|>|F1F2|，
知P点在椭圆上，2a＝4c，∴a＝2c，∴e＝.
若|PF1|－|PF2|＝|F1F2|－|F1F2|＝|F1F2|<|F1F2|，
知P点在双曲线上，2a＝c，∴＝，∴e＝.
答案：A
6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为( )
A. B.＋1
C. D.＋1
解析：∵(＋)·＝0，
∴OB⊥PF2且B为PF2的中点，
又O是F1F2的中点
∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2.
则
整理，可得(－1)c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．(2011·江西)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点，∴c＝1.
两切点的连线AB被OP垂直平分，∴所求直线OP斜率kOP＝.∴kAB＝－2，
∴直线AB：y－0＝－2(x－1)
∴y＝－2x＋2，∴上顶点坐标为(0,2)．
∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5
∴椭圆方程＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：由已知4a＝16，a＝4，又e＝＝，
∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵F1(－，0)，F2(，0)，
∵＝(x1＋，y1)，＝(x2－，y2)，
∴(x1＋，y1)＝5(x1－，y2)，
∵⇒，
又∵点A，B都在椭圆上，
∴＋y＝1，
＋y＝1，
∴＋(5y2)2＝1，
∴＋25y＝1，
∴25－20x2＋24＝1，
∴25－20x2＋24＝1，
∴x2＝，∴x1＝5x2－6＝0，
∴把x1＝0代入椭圆方程得y＝1，∴y1＝±1，
∴点A(0，±1)．
答案：(0，±1)
10．(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.
解析：如图所示，
由角平分线定理知：＝，
∵点M为(2,0)，
∴点A在双曲线的右支上，
∵F1(－6,0)，F2(6,0)，a＝3，
∴|F1M|＝8，|F2M|＝4，
∴＝＝2， ①
又由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝6， ②
由①②解得|AF2|＝6.
答案：6
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1，
由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2
化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2
得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.
12．(13分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
C1：＋＝1，C2：＋＝1(a>b>0)．
设直线l：x＝t(|t|
|BC|:|AD|＝＝＝.
(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立，
即＝，
解得t＝－＝－·a
因为|t|
高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题：
1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
答案：C
2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
答案：C
3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案：D
4．(2011·浙江)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
答案：C
5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
答案：A
6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为( )
A. B.＋1
C. D.＋1
答案：D
二、填空题：
7．(2011·江西)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
答案：＋＝1
8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
答案：＋＝1
9．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是____________．
答案：(0，±1)
10．(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.
答案：6
三、解答题：
11．(12分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解：(1) e＝＝.
(2)λ＝0或λ＝－4.
12．(13分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：(1) |BC|:|AD|＝.
(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立
基础巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线
（2） 双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【解析】选C.
(5) 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为[来源:学#科#网]
（A）2 (B) (C) （D)
【解析】选D.
（21）（本小题满分13分）
设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经
过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足
,求点的轨迹方程。
解：点P的轨迹方程为
(3) 双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【解析】选C.
(4) 若直线过圆的圆心,则a的值为
（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3
【解析】.
（17）（本小题满分13分）
设直线
（I）证明与相交；
（II）证明与的交点在椭圆
证明：（I）反证法
3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
A. B. C. D.
【解析】： ，选B。
19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）将表示为m的函数，并求的最大值。
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为 A
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（本小题共14分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.
解：（Ⅰ）椭圆G的方程为
（Ⅱ）△PAB的面积S=
7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于 A
A． B．或2 C．2 D．
17．（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
（I）圆的方程为
（II）当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。
21.（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：（I）点P在直线上
（II）最小值为
11．设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于 A
A. 或 B．或2 C．或2 D．或
18.（本小题满分12分）
如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
解：（I）b=-1
（II）圆A的方程为
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
和，它们的交点坐标为 .[来源:Zxxk.Com]
19. （本小题满分14分）
设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及
此时点P的坐标.
（1） 解： L的方程为
（2）解：最大值2。
（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；
解：
（３）； ．
高中数学专题五 简易逻辑
简 易 逻 辑
简易逻辑性
命题
逻 辑 联 结 词
简单命题与复合命题
四种命题及其关系
充分必要条件
知识网络
逻辑联结词和四种命题
基础过关
四种命题的概念与表示形式:
如果原命题为：若p，则q，则它的：
逆命题为： 若q，则p，
否命题为： 若┐p，则┐q，
逆否命题为： 若┐q，则┐p，
1.基本逻辑联结词
2.复合命题真假的判断:
典型例题
9
例1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1) 若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3) 若x2＋y2＝0，则x、y全为零.
解：(1)逆命题：
否命题：
逆否命题：．
(2)逆命题：
否命题：
逆否命题：
(3)逆命题：
否命题：．
逆否命题：
例2：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（ ）
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题q和命题p的真值不同
充要条件
基础过关
1．充分条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．
2．必要条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．
3．充要条件：如果且则p叫做q的 条件．
典型例题
一、选择题
2．已知下列三个命题
① 方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（ ）
（A）①和② （B）①和③ （C）②和③ （D）只有①
3．下列结论中正确的是（ ）
（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。
（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题
（C）命题“P且q”是假命题时，命题P一定是假命题
（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题
4．使四边形为菱形的充分条件是（ ）
（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直
（C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分
5．如果命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有（ ）
（A）q为真 （B）q为假 （C）p或q为真 （D）p或q不一定为真
6．如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（ ）
（A）p真q假 （B）p假q真 （C）p真q真 （D）p假q假
7．设ABC的三边分别为a,b,c，在命题“若a2+b2,则 ABC不是直角三角形”及其逆命题中有（ ）
（A）原命题真 （B）逆命题真 （C）两命题都真 （D）两命题都假
8．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
9．“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （ ）
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角
D．以上都不对
10．“”的含义是 （ ）
A．不全为0 B． 全不为0
C．至少有一个为0 D．不为0且为0，或不为0且为0
11．下列说法正确的是（ ）
（A）x≥3是x>5的充分不必要条件 （B）x≠±1是≠1的充要条件
（C）若﹁p﹁q，则p是q的充分条件
（D）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
12．如果命题“P或Q”是真命题，命题“P且Q”是假命题，那么（ ）
(A) 命题P和命题Q都是假命题 (B) 命题P和命题Q都是真命题
（C）命题P和命题“非Q”真值不同 (D) 命题Q和命题“非P”真值相同
13．给出4个命题：
①若，则x=1或x=2；②若，则；
③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么： （ ） A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假
14．对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，下列说法正确的是 （ ）
A．p且q为假 B．p或q为假 C．非p为真 D．非p为假
简 易 逻 辑
简易逻辑性
命题
逻 辑 联 结 词
简单命题与复合命题
四种命题及其关系
充分必要条件
知识网络
逻辑联结词和四种命题
基础过关
一、 命题的概念
1. 可以 的语句叫做命题．
2. 命题由 两部分构成；
3. 命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题．
二、命题的分类
（一）四种命题
1．四种命题：原命题：若p则q；
逆命题： ；
否命题： ；
逆否命题： .
2．四种命题的关系：
结论：互为逆否命题的两个命题真假性相同。
（二）简单命题与复合命题
1．逻辑联结词有 .
2.不含 的命题是简单命题．
33. 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种： .(其中p，q都是简单命题)．
4．判断复合命题的真假的方法—真值表：
(三)全称命题与存在命题
1.全称量词：__________________________________，用______表示；
2.存在量词：__________________________________，用______表示。
3.全称命题：_________________________，___________________；
4. 存在命题：_________________________，___________________。
三、区分“命题的否定”和“否命题”
1.命题的否定只否定结论：_________________；
2.否命题条件、结论都否定：___________________。
典型例题
9
例1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1) 若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3) 若x2＋y2＝0，则x、y全为零.
解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．
变式训练：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；
（2）矩形的对角线互相平分且相等；
（3）相似三角形一定是全等三角形.
解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.
原命题为真命题，否命题也为真命题.
（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”
原命题是真命题，否命题是假命题.
（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.
原命题是假命题，否命题是真命题.
例2：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（ ）
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题q和命题p的真值不同
解： D
变式训练：下列结论中正确的是（ ）
（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。
（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题
（C）命题“P且q”是假命题时，命题P一定是假命题
（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题
解：D
例3. 已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．
解：p：有两个不等的负根．
q：无实根．
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．
(ⅰ) 当p真且q假时，有；
(ⅱ) 当p假且q真时，有．
综合，得的取值范围是{或}．
变式训练：已知下列三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
解：设已知的三个方程都没有实根．
则
解得．
故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－．
充要条件
基础过关
1．充分条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．
2．必要条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．
3．充要条件：如果且则p叫做q的 条件．
典型例题
例3．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．
1． A：，B：方程有实根；
2．A：；B：；
分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．
解：(1) 当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分条件．
(2) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．
变式训练：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
（2）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
解： (1)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.
(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.
例4. 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.
解：若方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1、x2．
则0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n
∴0＜－m＜2，0＜n＜1 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1
∴p是q的必要条件．
又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝．
则方程为x2－x＋＝0，∵△＝(－1)2－4×＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p是q的非充分条件．
综上所述，p是q的必要非充分条件．
变式训练：证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明：充分性：若ac<0,则b2-4ac>0,且<0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则=b2-4ac>0,x1x2=<0,∴ac<0.
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
简易逻辑章节测试题
一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
（A）语文和数学 （B）sin45°=1 (C)x2+2x-1 （D）集合与元素
2．已知下列三个命题
② 方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（ ）
（A）①和② （B）①和③ （C）②和③ （D）只有①
3．下列结论中正确的是（ ）
（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。
（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题
（C）命题“P且q”是假命题时，命题P一定是假命题
（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题
4．使四边形为菱形的充分条件是（ ）
（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直
（C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分
5．如果命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有（ ）
（A）q为真 （B）q为假 （C）p或q为真 （D）p或q不一定为真
6．如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（ ）
（A）p真q假 （B）p假q真 （C）p真q真 （D）p假q假
7．设ABC的三边分别为a,b,c，在命题“若a2+b2,则 ABC不是直角三角形”及其逆命题中有（ ）
（A）原命题真 （B）逆命题真 （C）两命题都真 （D）两命题都假
8．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
9．“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （ ）
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角
D．以上都不对
10．“”的含义是 （ ）
A．不全为0 B． 全不为0
C．至少有一个为0 D．不为0且为0，或不为0且为0
11．下列说法正确的是（ ）
（A）x≥3是x>5的充分不必要条件 （B）x≠±1是≠1的充要条件
（C）若﹁p﹁q，则p是q的充分条件
（D）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
12．如果命题“P或Q”是真命题，命题“P且Q”是假命题，那么（ ）
(A) 命题P和命题Q都是假命题 (B) 命题P和命题Q都是真命题
（C）命题P和命题“非Q”真值不同 (D) 命题Q和命题“非P”真值相同
13．给出4个命题：
①若，则x=1或x=2；②若，则；
③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么： （ ） A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假
14．对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，下列说法正确的是 （ ）
A．p且q为假 B．p或q为假 C．非p为真 D．非p为假
二、填空题
1．已知命题P：内接于圆的四边形对角互补，则P的否命题q是 。
3．命题“不等式x2+x-6>0的解x<-3或x>2”的逆否命题是
4．写出命题“个位数是5的自然数能被5整除”的逆命题、否命题及逆否命题，并判定其真假。
逆命题是_____________________________________________
否命题是_____________________________________________
逆否命题是___________________________________________
5．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.
6．命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是
9.（2007）给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
②设a,b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；
③ f(x)=log2 x=x,则f（|x|）是偶函数.
其中不正确命题的序号是 （ A ）
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
6．（2008）“”是“对任意的正数，”的（A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.（2009）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( C )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
9.（2010）对于数列｛a n｝，“＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的【 B 】
(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件
(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3. （2012）设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ B ）
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件
高中数学专题六 数列
数列知识点总结
第一部分 等差数列
一 、 定义式：
二 、 通项公式：
一个数列是等差数列的等价条件：(a，b为常数)，即是关于n的一次函数，因为，所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三 、 前n项和公式：
一个数列是等差数列的另一个充要条件：(a，b为常数，a≠0)，即是关于n的二次函数，因为，所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四 、 性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，
如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.与的等差中项；
在等差数列中，若，则
；若，则；
3.若等差数列的项数为2，则
；
若等差数列的项数为，则，且，
4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设，，
，则有；
5.,,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大
第二部分 等比数列
一 、 定义：成等比数列。
二 、 通项公式：，
数列{an}是等比数列的一个等价条件是：
当且时，关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三、 前n项和：；
(注意对公比的讨论)
四、 性质结论：
1.与的等比中项(同号)；
2.在等比数列中，若，则；
若，则；
3.设，，
， 则有
第三部分 求杂数列通项公式
一． 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。
第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，
例如：，
两边取倒数是公差为2的等差数列，从而求出。
第二类：
是公差为1的等差数列
二。递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
例如
【注: 】
求通项公式的题，不能够利用构造等比或者构造等差求的时候，一般通过递推来求。
第四部分 求前n项和
一 、 裂项相消法：
、
二、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
求：
①
②
①减②得：
从而求出。
三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
例：等差数列求和：
两式相加可得：
高考专题训练 等差数列、等比数列、数列
高考专题训练十二
等差数列、等比数列、数列的综合应用
班级______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分______
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(2011·上海)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)．则{An}为等比数列的充要条件是( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
解析：依题意有Ai＝aiai＋1
∴An＝anan＋1，∴An＋1＝an＋1an＋2
{An}为等比数列⇔＝q(q>0)，q为常数
∵＝＝＝q.
∴a1，a3，a5…a2n＋1…和a2，a4…a2n…都成等比数列且公比相同．
答案：D
2．如果等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
解析：本小题主要考查等差数列的性质，前n项和的求法以及转化的数学思想．
由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12⇒a4＝4，故a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
答案：C
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S9＝45，则数列{an}的公差为( )
A．－1 B．1
C．2 D.
解析：记等差数列{an}的公差为d，依题意得，S9＝9a1＋d＝9＋36d＝45，解得d＝1，选B.
答案：B
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的最小值为( )
A．7 B.
C．8 D.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则a1＋d＝4,10a1＋d＝110，∴a1＝d＝2，于是an＝2n，Sn＝n2＋n，
∴＝＋≥8＋＝(当且仅当n＝8时取“＝”)，选D.
答案：D
5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项和T10＝( )
A．70 B．75
C．80 D．85
解析：因为an＝2n＋1，所以数列{an}是个等差数列，其首项a1＝3，其前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝n2＋2n，所以bn＝×Sn＝×(n2＋2n)＝n＋2，故数列{bn}也是一个等差数列，其首项为b1＝3，公差为d＝1，所以其前10项和T10＝10b1＋d＝10×3＋45＝75，故选B.
答案：B
6．(2011·湖北省部分重点中学高三联考)a1、a2、a3、a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )
A．－4或1 B．1
C．4 D．4或－1
解析：若删去a1，则a2a4＝a，即(a1＋d)(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简得d＝0，不合题意；若删去a2，则a1a4＝a，即
a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简可得＝－4；若删去a3，则a1a4＝a，即a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，化简可得＝1；若删去a4，则a1a3＝a，即a1(a1＋2d)＝(a1＋d)2，化简可得d＝0，不符合题意．故选A.
答案：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
解析：设放在第x个坑旁边，由题意得
S＝20[(x－1)＋(x－2)＋…＋1＋1＋0＋1＋2＋…＋(20－x)]
＝20
＝20(x2－21x＋210)
由S′＝20(2x－21)＝0，得x＝10.5，
知x＝10或 11时，S最小值为2000.
答案：2000
8．(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
解析：由S9＝S4及a1＝1，得9＋36d＝4＋6d，
d＝－.
由ak＋a4＝0得2a1＋(k＋2)d＝0.
∴2－＝0，k＝10.
答案：10
9．(2011·湖南)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
解析：∵a1＝1，a4＝1＋3d＝7，∴d＝2，
∴S5＝5a1＋d＝5＋10×2＝25.
答案：25
10．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析：令最上面一节为a1
则，，.
∴a5＝a1＋4d＝.
答案：
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(2011·课标)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a ，所以q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)
＝－.
故＝－＝－2，
＋＋…＋＝－2＋＝－.
所以数列的前n项和为－.
12．(13分)(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则
Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2， ①
Tn＝tn＋2·tn＋1·…t2·t1， ②
①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得
T＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)．
∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.
(2)由题意及(1)中计算结果，知
bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1.
另一方面，利用tan1＝tan[(k＋1)－k]＝，
得tan(k＋1)·tank＝－1.
所以Sn＝bk＝tan(k＋1)·tank
＝
＝－n.
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)．则{An}为等比数列的充要条件是( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
答案：D
2．如果等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
答案：C
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S9＝45，则数列{an}的公差为( )
A．－1 B．1
C．2 D.
答案：B
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的最小值为( )
A．7 B.
C．8 D.
答案：D
5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项和T10＝( )
A．70 B．75
C．80 D．85
答案：B
6．(2011·湖北省部分重点中学高三联考)a1、a2、a3、a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )
A．－4或1 B．1
C．4 D．4或－1
答案：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
答案：2000
8．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
答案：10
9．设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
答案：25
10．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案：
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(2011·课标)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
（1）an＝. (2)数列的前n项和为－.
12．(13分)(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1) an＝lgTn＝n＋2，n≥1. (2)Sn＝－n.
22. （2007）(本小题满分12分)
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.
求b1+b2+…+bn.
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
解：（Ⅰ）当，由及，得．
当时，由，得．
因为，所以．从而．
，．故．
（Ⅱ）因为，所以．
所以
．
故
．
22．（2008）（本小题满分14分）
已知数列的首项，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的，，；
（Ⅲ）证明：．
解（Ⅰ）．
22．解法一：（Ⅰ），，，
又，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有
．
取，
则．
原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设，
则
，
当时，；当时，，
当时，取得最大值．
原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
22．（2009）（本小题满分12分）
已知数列满足， .
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
(Ⅱ)证明：。
证（1）数列是递减数列，数学归纳法证明：
证（1）由
由猜想：数列是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即
易知，那么
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，，结论成立
当时，易知
16.（2010）(本小题满分12分)
已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项;
（Ⅱ）求数列的前n项和.
17.（2012）（本小题满分12分）
设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的公比；
（Ⅱ）证明：对任意，成等差数列.
高中数学专题七 空间几何及向量
1、空间点、直线、平面的位置关系
（1）平面
点A，平面，；
点A，直线l，A∈l； Al；
直线l，平面α，lα；lα。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
符号语言
（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：
② 异面直线性质：
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所成角：
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．
三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a∥α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β＝b
5、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
9、空间角问题
（2）直线和平面所成的角
（3）二面角和二面角的平面角
7、空间直角坐标系
(1)用有序实数组来表示，
（2）空间两点距离坐标公式：
16、向量：既有大小，又有方向的量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则．
⑵平行四边形法则
⑶三角形不等式：．
⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
19、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式： 、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．
23、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
19.(2007).(本小题满分12分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥v
,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD
(Ⅱ)求二面角的大小
．
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）二面角的大小为．
解法一：（Ⅰ）平面，平面．．
又，．
，，，即．
又．平面．
（Ⅱ）过作，垂足为，连接．
平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，
A
E
D
P
C
B
F
为二面角的平面角．
又，
，
，
又，，．
由得．
在中，，．
二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
A
E
D
P
C
B
y
z
x
则，，，，，
，，，
，．，，
又，平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
则，，
又，，
解得
平面的法向量取为，
，．
二面角的大小为
9．（2008）如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ D ）
A
B
a
b
l
A． B．
C． D．
19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．
A1
A
C1
B1
B
D
C
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解（Ⅰ）
（Ⅱ）二面角为．
解法一：（Ⅰ）平面平面，
．在中，，
，，又，
，，即．
又，平面，
平面，平面平面．
（Ⅱ）如图，作交于点，连接，
A1
A
C1
B1
B
D
C
F
E
（第19题，解法一）
由已知得平面．
是在面内的射影．
由三垂线定理知，
为二面角的平面角．
过作交于点，
则，，
．
在中，．
A1
A
C1
B1
B
D
C
z
y
x
（第19题，解法二）
在中，．
，
即二面角为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则，
，．
点坐标为．
，．
，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，
设平面的法向量为，则．
，
如图，可取，则，
，
即二面角为．
8.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于
（A） （B） （C） (D)
答案：A
A
B
O1
O
15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B
是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .
答案：
18．（本小题满分12分）
C
B
A
C1
B1
A1
如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）求二面角A——B的大小。
解（1）
（2）
如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）求二面角A——B的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18.（本小题满分12分）
解答一（1）证： 三棱柱为直三棱柱，
在中，,由正弦定理
,又
（2）解如图，作交于点D点，连结BD，
由三垂线定理知
为二面角的平面角
在
解答二（1）证三棱柱为直三棱柱，
，，
由正弦定理
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图，建立空间直角坐标系，
则
(2) 解，如图可取为平面的法向量
设平面的法向量为，
则
不妨取
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=，E，F分别是AD，PC的中点.
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
解 （Ⅰ）
（II）平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
解法一: （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=AB=2,BC=AD=,四边形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2, ,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)，
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0,1），
∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF ∩ EF=F,
∴PC⊥平面BEF，
（II）由（I）知平面BEF的法向量,
平面BAP 的法向量,
∴. 设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，
则,
∴ θ=45°， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
解法二 （I）连接PE，EC在和中.
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，
又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,
又，F是PC 的中点，
∴ BF⊥PC.
又,∴.
（II）∵∴,
又ABCD是矩形，∴ABBC
∴BC平面BAP,BCPB,
又由（Ⅰ）知PC平面BEF,
∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，
在中，∴
所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
16．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
【解】（1）
(2)余弦值是．
【解】（1）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，
又，∴AD⊥平面BDC，
∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
（2）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：
D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0)，
所以，，
∴
所以与夹角的余弦值是．
高中数学专题八 不等式
基本不等式
●考试目标
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．设a,b∈R+,则称为a,b的算术平均值；称为a,b的几何平均值.
3．平均值不等式的原形与变形
① ≥ (当且仅当a=b时取等号)为原形.
②变形有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
4．利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况.
5．最值定理
如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
6. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
（当a = b时取等）
特别地，（当a = b时，）
不 等 式 知识要点
1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
（当a = b时取等）
特别地，（当a = b时，）
例1．数轴穿根法：不等式的解为（ ）
A．－1
例2．解关于的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
根的分布你还记得吗
。
？
例3． 己知三个不等式：① ② ③
(1)若同时满足①、②的值也满足③，求m的取值范围；
(2)若满足的③值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。
解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。
解①得A=（-1，3）；解②得B=
（1） 因同时满足①、②的值也满足③，ABC
设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足
（2） 因满足③的值至少满足①和②中的一个，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．
例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①
所以 3≤3f(-1)≤6． ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
常见题型：
例1．已知（为常数），，求的最小值．
例2．已知 ，且，求的最小值．
例3．当时，求证：．
例4． 在某两个正数之间插入一个正数，使成等比数列；若另外插入两个正数，使成等差数列，求证：．
大家来挑错！
分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。
本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。
提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。
本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。
提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得
(x+y)()≥≥9. （想一想错在何处？）
例4（2007山东卷）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【思路点拨】先用恒过定点这一条件建立一个关系式, 再用均值不等式求最值.
【解析】∵函数的图象恒过定点，
∴，即，，
∴
【点评】本题是用函数、方程作为隐性条件建立等量关系式，利用均值不等式求最值的问题.题目小巧而灵活多变，是立意很好的题目.
含绝对值的不等式解法
（一）主要知识：
1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离
2．当时，或，
；
当时，，．
（二）主要方法：
1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
2．去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：，或．
（2）定义法：零点分段法；
（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
（三）例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）原不等式可化为或，∴原不等式解集为．
（2）原不等式可化为，即，∴原不等式解集为．
（3）当时，原不等式可化为，∴，此时；
当时，原不等式可化为，∴，此时；
当时，原不等式可化为，∴，此时．
综上可得：原不等式的解集为．
例2．（1）对任意实数，恒成立，则的取值范围是；
（2）对任意实数，恒成立，则的取值范围是．
解：（1）可由绝对值的几何意义或的图象或者绝对值不等式的性质得，∴；
（2）与（1）同理可得，∴．
●题型示例 点津归纳
【例1】 设x∈［2,5),求下列函数的最值.
(1)y=(3+2x)·(6-x);
(2)y=(3+2x)·(4-x);
(3)y=4x-9·2x+1+80;
(4)y=.
【例2】 已知:x、y、z∈R+,且满足x+y+z=1,求的取值范围.
不 等 式 基础练习
例1．数轴穿根法：不等式的解为（ ）
A．－1
例2．解关于的不等式：
例3．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
解法一(利用基本不等式的性质)
解法二(数形结合)
解法三(利用方程的思想)
常见题型：
例1．已知（为常数），，求的最小值．
例2．已知 ，且，求的最小值．
例3．当时，求证：．
例4． 在某两个正数之间插入一个正数，使成等比数列；若另外插
入两个正数，使成等差数列，求证：．
例4（2007山东卷）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
含绝对值的不等式解法
（一）主要知识：
1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离
2．当时，或，
；
当时，，．
（二）主要方法：
1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
2．去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：，或．
（2）定义法：零点分段法；
（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
（三）例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）；（2）；（3）．
例2．（1）对任意实数，恒成立，则的取值范围是；
（2）对任意实数，恒成立，则的取值范围是．
高中数学专题九 概率
概率部分知识点
u 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )
v 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 在次实验中发生了次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为
w 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 ，有
② ③如果事件
x 古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件，则事件发生的概率为
y 几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域内”为事件，则事件发生的概率为
（ 这里要求的侧度不为0，其中侧度的意义由确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）
几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域内随机地取点，指的是该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
z互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件的对立事件 记为：
{独立事件的概率：，
若
说明：① 若可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件是互斥事件，则有 ⑦ 一般地，如果 两两互斥，则有 ⑧ ⑨ 在本教材中 指的是 中至少发生一个
|例题选讲：新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析
u 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )
v 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 在次实验中发生了次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
w 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 ，有
② ③如果事件
x 古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件，则事件发生的概率为
y 几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域内”为事件，则事件发生的概率为
（ 这里要求的侧度不为0，其中侧度的意义由确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）
几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域内随机地取点，指的是该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
z互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件的对立事件 记为：
{独立事件的概率：，
若
颜老师说明：① 若可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件是互斥事件，则有 ⑦ 一般地，如果 两两互斥，则有 ⑧ ⑨ 在本教材中 指的是 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题
|例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法
解法1：（互斥事件）设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球”
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有种情况，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有
所以
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：， 则有
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!
变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为， 意义为“选取3个球都是白球”
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有种情况，设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有， 所以
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
解法3：（独立事件概率）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件的情况如下：
红 白 白
1红2白 白 白 红
白 红 白
红 红 白
2红1白 红 白 红
白 红 红
所以
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：
（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
解：设事件为“第1次抽到的是次品”， 事件为“抽到的2次中，正品、次品各一次”
则 ，（或者）
答：第1次抽到的是次品的概率为 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为
变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？
【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来
解：设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件为“至少1人抽到选择题”，则
为“两人都抽到填空题”
（1）
（2） 则
答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 ，少1人抽到选择题的概率为 .
变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？
【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球
略解:
变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？
略解:
例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？
【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量
解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域 ，事件“发放急救物品无效”为 ，距离水池10米范围为区域 ，即为图中的阴影部分， 则有
答：略
颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用
几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域
之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一
般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的
变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚
硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？
略解：
变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是 , 现有一直径等于的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点
只要圆心到网格线的距离小于等于半径
解：如图，正三角形内有一正三角形 ，其中
，
当圆心落在三角形 之外时，硬币与网格有公共点
答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .
变式训练3：如图，已知矩形 的概率？
略解：
变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r < a的
硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相
碰的概率？
2a
解：设事件为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币
的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线，垂足
为， 线段的长度的取值范围为 ，其长度就是
几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度，只有当
时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足
事件 的区域的几何测度，所以
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为
【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域和区域，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。
蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为（） ，
向平面内任意的投掷一枚长为的针，求针与平行线相交的概率？
解：以表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线的交角，如图易知 ，有这两式可以确定平面上的一个矩形，这是为了针与平行线相交，其充要条件为，有这个不等式表示的区域为图中的阴影部分，由等可能性知
2a
如果
，而关于的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既: 如果 投针N 次，其中平行线相交的次数为n次，则频率为 ，于是，
注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 ，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 的.
会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？
解：设“两人能会面”为事件，以 x和y分别表示
甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充
要条件为： 在平面上建立如图所示的
坐标系，则的所有可能的结果是边长为60的
正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，
由几何概型知，
答：两人能会面的概率 .
◆ 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率？
【分析】点随机的落在线段上，故线段为区域
，当点位于如图的内时，故线段
即为区域
解: 在上截取 ，于是
答：的概率为
【变式训练】如图，在等腰直角三角形中，在内部任意作一条射线，与线段交于点，求的概率？
错解：在上截取 ，在内部任意作一条射线，满足条件的看作是在线段上任取一点，则有
【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度， 注意基本事件的等可能性.
正解：在内的射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，在上截取 ，则 ，故满足条件的概率为
评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域和，求出其测度，再利用几何概型来求概率.
例3. 利用随机模拟法计算曲线所围成的图形的面积.
【分析】在直角坐标系中作出长方形（ 所围成的部分，用随机模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值）
解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上
的随机数，
（2）进行平移变换：，其中分
别随机点的横坐标和纵坐标
（3）假如作次试验，数处落在阴影部分的点数，
用几何概型公式计算阴影部分的面积
由 得出
评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型
公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是
利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.
另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？
例2：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？
例3：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？
例4. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？
例5：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是 , 现有一直径等于的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
.
例6：如图，在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率？
例7、利用随机模拟法计算曲线所围成的图形的面积.
期望、方差、正态分布
期望、方差知识回顾：
1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．
2.期望的一个性质:
3.若～（），则=
4.方差:＝＋＋…＋＋…．
5.标准差: 的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
6.方差的性质： ； 若～（），则
正态分布知识回顾：
1.若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象，则其分布叫正态分布，常记作．的图象称为正态曲线．
三条正态曲线：①；②；③，其图象如下图所示：
观察以上三条正态曲线，得以下性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线对称，且在时位于最高点．
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
注意: 当时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是．相应的曲线称为标准正态曲线．
2. 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；
当时得到标准正态分布密度函数：.
3.正态曲线的性质：
① 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
② 曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；
③ 曲线在x＝处达到峰值；
④ 曲线与x轴之间的面积为1；
4. 是参数是参数的意义:
① 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；
② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
5．对于，取值小于x的概率.
.
典型例题：
18.（本小题满分12分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）
解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值为，，
，
．
的分布列为
1
2
3
．
解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，．
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）同解法一．
18．（本小题满分12分）
某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．
解．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则，
．
（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3． 的分布列为
0
1
2
3
0.008
0.032
0.16
0.8
.
19．(本小题满分12分)
某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：
0
1
2
3
p
0.1
0.3
2a
a
(Ⅰ)求a的值和的数学期望；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2
的概率分布为
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件表示“两个月内每月均被投诉12次”
则由事件的独立性得
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17
20.
如图，A地到火车站共有路径两条和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
1020
2030
3040
4050
5060
的频率
的频率
0
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .
20.（本小题满分13分）
某银行柜台设有一个服务窗间统计结口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时果如下：
从第一个顾客开始办理业务时计时.
（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.
高中数学专题十 排列组合
一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
公式：
1.
2.
(1)
(2) ；
(3)
三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：
① ；②；③；④
②
若
四、二项式定理可以用以下公式表示：
其中，
又有 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。
五．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法） (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
（3）相邻问题：捆邦法：
（4）隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．
例2.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
例3.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
.
例4.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
例5．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法
分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.
高考练习
1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70
[解析] 选B.
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
[解析] 选C.
3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
[解析] 18个．
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
[解析] 2人或3人．
5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
[解析] 28种
6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
[解析] 36(种)．
7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
[解析]
选A.
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
[解析] 108个．
9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
[解析]选C.
10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
[解析] 2400(种)．
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)
[解析] 1260(种)
12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
[解析] 1 080种．
13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．
[解析] 72种．
14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【解析】选B.
15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
[解析]： 1008种
高中数学专题十一 圆
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有
；；
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。
（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=
高考练习
2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是 ( )
A．(x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 B．(x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4
C．(x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4
14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .
（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（15）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =
⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
.
11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 （ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
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