小学奥数教程之-比例应用题（二）教师版 (128) 全国通用（含答案）

这是一份小学奥数教程之-比例应用题（二）教师版 (128) 全国通用（含答案），共1页。主要包含了比和比例的性质，主要比例转化实例，按比例分配与和差关系，比例题目常用解题方式和思路等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
知识点拨
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、主要比例转化实例
① ； ； ；
② ； (其中)；
③ ； ； ；
④ ， ；；
⑤ 的等于的，则是的，是的．
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例如：将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如：两个类别、，元素的数量比为(这里)，数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值．
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：
题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
赋值解比例问题
例题精讲
按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
甲、乙原来的速度比是5∶4
相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8＝5∶6．
相遇时，甲、乙分别走了全程的5/9和4/9
设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6
其中相遇后甲行驶了全长的4/9
所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩没有走。所以A、B全长为450千米.
【答案】450千米
、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满．求、、三个水桶容积各是多少公升？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
根据题意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水为桶水的．所以、、三个水桶的容积之比是．又、、三个水桶的总容积是公升，所以桶的容积是公升，桶的容积是公升，桶的容积是公升．
【答案】公升
加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是，所以甲加工了个零件，乙加工了个零件，丙加工了个零件。
【答案】甲加工了个零件，乙加工了个零件，丙加工了个零件
学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
将六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为，所以六年级学生人数为=180人，五年级学生人数为人，四年级学生人数为人.
【答案】六年级学生人数为180人，五年级学生人数为人，四年级学生人数为人
一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米?
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
如果只将长边截去，宽、长之比为，所以宽边的长度为厘米，所以原来铁板的长为厘米．
【答案】
一个正方形的一边减少，另一边增加米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米?
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
要保证面积不变，一边减少，即是原来的，另一边要变成原来的，即增加，所以原正方形的边长为(米).
【答案】
一项机械加工作业，用4台型机床，5天可以完成；用4台型机床和2台型机床3天可以完成；用3台型机床和9台型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下、型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2008年，西城实验
由于用4台型机床5天可以完成；用4台型机床和2台型机床3天可以完成，所以2台型机床3天完成的量等于4台型机床2天完成的量，则、两种机床每天完成的量的比为，即型机床每天完成的量为3，型机床每天完成的量为4，该项作业总量为，那么型机床每天完成的量为，3种机床各取一台工作5天后，剩下的工作量为，、型机床还需继续工作天．
【答案】
动物园门票大人元，小孩元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了，儿童增加了，共增加了人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
前一天大人与小孩的人数比为，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为， 大人增加的人数为人，小孩增加的人数为人，大人的总数为人，小孩的总人数为人，总人数为人．
【答案】人
某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是，第一天售出苹果的，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是；第二天售出苹果吨，桃子吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】武汉市，外国语学校
法一：设原来苹果有吨，则原来桃子有吨，得：，解得．所以原有苹果37吨，原有桃子(吨)．
法二：原来苹果和桃子的吨数的比是，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是，剩下的桃子是，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是．这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是，先售出桃子12吨，苹果吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是，再售出吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为，所以这相当于份，最后剩下的桃子有吨，那么第一天后剩下的桃子有吨，原有桃子吨，原有苹果吨．
【答案】
月初，每克黄金的价格与每桶原油的价格比是3：5。根据图中的信息回答，月初，每克黄金的价格是 元；每桶原油的价格是 元。
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，二试
由于上涨了同样的价格，那么价格差不变，开始时价格比是，后来是，分别从原来的3份、5份上涨到4份、6份，涨的1份就是70元，所以月初每克黄金的价格是元，每桶原油的价格是元。
【答案】元
某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。一天，通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是5：6，中型车与小型车的辆数之比是4：11，小型车的通行费总数比大型车多270元。求：（1）这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆？（2）这天收费放入总数是多少元？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，二试
（1）大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将中的与中的统一成，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由和，得到．以辆大型车、辆中型车、辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多(元)，所以这天通过的车辆共有(组)．这天通过的大型车有(辆)，中型车有(辆)，小型车有(辆)．
（2）收费总数为元。
【答案】（1）这天通过的大型车有辆，中型车有辆，小型车有辆
（2）元
参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是4 ：3，所有参加第二轮比赛的91人中男女生人数之比是8：5，第一轮中被淘汰的男女生人数之比是3：4，那么第一轮比赛的学生共 人。
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，二试
设参加第一轮选拔赛的男生和女生分别为人和人，则参加的总人数为人，参加第二轮的男生与女生人数分别为人，人，根据被淘汰的男生与女生人数之比列方程得：，解得，所以参加第一轮选拔赛的有人.
【答案】人
（二）利用不变量统一份数
有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长方体的体积.
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
由条件长方体的长、宽、高的比，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为，前面的面积为，左面的面积为，而，所以即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为．
【答案】
有一个长方体，长与宽的比是，宽与高的比是．已知这个长方体的全部棱长之和是厘米，求这个长方体的体积．
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
由条件宽与高的比为，所以这个长方体的长、宽、高的比为即，由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有条，所以长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，所以这个长方形的体积为立方厘米.
【答案】立方厘米
某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，二试，六年级
⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将中的与中的统一成，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由和，得到大型车:中型车:小型车．以辆大型车、辆中型车、辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多(元)，所以这天通过的车辆共有(组)．所以这天通过大型车有(辆)，中型车有(辆)，小型车有(辆)．
（2）这天收取的总费用为：元．
【答案】⑴大型车有辆，中型车有辆，小型车有辆．
（2）元
枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬币摞在一起一样高，枚壹分硬币摞在一起与枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为，壹分硬币和伍分硬币的数量比为，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为，即，因此壹分硬币的数量为枚，贰分硬币的数量为枚，伍分硬币的数量为枚，这些硬币一共有分，即币值为元．
【答案】元
某工地用种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方的路程之比为，三种车的辆数之比为．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】二中
由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为，速度之比为，所以它们运送次所需的时间之比为，相同时间内它们运送的次数比为：．在前天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为．由于三种卡车载重量之比为，所以三种卡车的总载重量之比为．那么三种卡车在前天内的工作量之比为：．在后天，由于甲车全部投入使用，所以在后天里的工作量之比为．所以在这天内，甲的工作量与总工作量之比为：．
【答案】
将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的，，；实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的，，，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数为(块)，丙实际所得的糖果数为(块)．
方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为
原计分配为 5 ： 4 : 3 12份
实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份
化通比为 15 ： 12 ： 9 36份
14 ： 12 ： 10 36份
对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙
所以15÷（10—9）×10＝150（块）
【答案】块
一个周长是厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长方形面积的比是，．而在图⑵中相应的比例是，.又知长方形的宽减去的宽所得到的差与的长减去的长所得到差之比为．求大长方形的面积．
⑵
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
因为，，
所以；
因为，，
所以，
设长方形的宽为,长为,得：
．
得．又
所以，．
所以长方形面积．
【答案】
有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有奶糖多少块?
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
方法一：原来奶糖占，后来占，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+( 1)=20块.其中奶糖有20×=9块．
方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l份即1块．奶糖占9份，就是9块奶糖．
【答案】9块
一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？
【考点】比例应用题 【难度】2星 【题型】解答
第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由变为，而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份，这样原来黑棋的个数为(枚)，白棋的个数为(枚)．
【答案】枚
今年儿子的年龄是父亲年龄的，年后，儿子的年龄是父亲年龄的．今年儿子多少岁？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的，年后儿子的年龄相当于父子年龄差的，所以年相当于父子年龄差的，年龄差为岁.今年儿子岁.
方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的，所以儿子：父亲＝1：4；
年后，儿子的年龄是父亲年龄的，所以儿子：父亲＝5：11
因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为：
儿子 父亲 年龄差
1 ： 4 3
5 ： 11 6
根据不变量化通比为 2 ： 8 6
5 ： 11 6
对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁）
【答案】10岁
北京中学生运动会男女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多人，则总运动员人数为多少？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
将运动会最初的运动员人数设为“”，那么男运动员人数为，女运动员人数为，而增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是，所以这时女运动员人数为，增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是，所以男运动员人数增加为．女子艺术体操项目人数为，男子象棋项目的人数为，男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多，原来总运动员人数为人，男子象棋项目运动员有人，女子艺术体操运动员有人，所以现在的总运动员人数为人．
【答案】人
袋子里红球与白球的数量之比是．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为．已知放入的红球比白球少只．那么原来袋子里共有 只球．
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
根据第一次操作白球的数量不变，把改写成，改写成．
第二次操作相对于第一次操作红球数量不变，把改写成，这时我们可以看出，经过两次操作后，红球共增加了份，白球增加了份．原来红球有个，白球有个．两种球共个．
【答案】个
有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？
【考点】比例应用题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】西城实验
由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的，所以原来全体女队员的人数是全体男队员的，即原来女队员的人数占所有队员人数的，调走第一突击队的一半队员后，女队员的人数占剩下的队员总数的，由于调走的全是男队员，女队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比为，即调走的队员人数占原来队员总人数的，而调走的队员为第一突击队的一半，且每个突击队人数相同，，故开始共有4支突击队参加会战．
【答案】4支
（三）利用等量关系列方程解比例
某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是． 问报考的共有多少人？
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
(法1)录取的学生中男生有人，女生有(人)，先将未录取的人数之比变成，又有(人)，所以每份人数是(人)，那么未录取的男生有(人)，未录取的女生有(人)．所以报考总人数是 (人)．
(法2)设未被录取的男生人数为人，那么未被录取的女生人数为人，由于录取的学生中男生有人，女生有(人)，则，解得．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是 (人)．
【答案】人
有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重千克，乙块重千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
设切下的部分重量为千克，则甲切下的千克与乙剩下的千克混合．由于得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由千克甲块合金与千克乙块合金混合而成的，所以千克甲块合金与千克乙块合金混合后的含铜率与千克甲块合金与千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即，所以：，解得．
【答案】
一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。
【考点】比例应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，五年级，二试
若将小球的体积看作3份，则中球的体积为（3+1）份 大球的体积为（4+6）份 所以小中大三球的体积比是3：4：10
【答案】3：4：10