高中数学人教B版 (2019)必修第四册9.1.1 正弦定理练习

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第四册9.1.1 正弦定理练习，共10页。

1. 在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式正确的是（）
A.a:b＝A:BB.asinA＝bsinBC.a:b＝sinB:sinAD.a:b＝sinA:sinB

2. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB＝（）
A.B.C.D.

3. 已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，其中，a＝3，，∠A＝60∘，则∠B等于（）
A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A.a=8，b=16，A=30∘，有两解
B.b=18，c=20，B=60∘，有一解
C.a=5，c=2，A=90∘，无解
D.a=30，b=25，A=150∘，有一解

5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，A＝30∘，则此三角形（）
A.无解B.有一解
C.有两解D.解的个数不确定
二、填空题

在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60∘，则△ABC的面积为________．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝4，A＝30∘．若b＝4，则△ABC的面积为________；若△ABC有两解，则b的取值范围是________．

在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60∘，则AD的长等于________；若∠CAD＝45∘，AC＝62，则△ABC的面积等于________．
三、解答题

已知△ABC中，a＝2，，A＝30∘，求解这个三角形．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，csA=35，B=π4，b=2．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求sinC及△ABC的面积．
四、选择题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）
A.a＝2，b＝3，A＝30∘B.b＝6，c＝4，A＝120∘
C.a＝4，b＝6，A＝60∘D.a＝3，b＝6，A＝30∘

△ABC中，A=π3，BC=3，则△ABC的周长为（）
A.43sin(B+π3)+3B.43sin(B+π6)+3C.6sin(B+π3)+3D.6sin(B+π6)+3

在平面内，四边形ABCD的∠B与∠D互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30∘，则四边形ABCD面积的最大值＝（）
A.B.C.D.2

△ABC中，A:B=1:2，角C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则csA=（）
A.13B.12C.34D.0

已知AB为圆O:x2+y2＝12的一条弦，△PAB为等边三角形，则|PO|的最大值为（）
A.B.6C.4D.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA=45，csC=513，a＝1，则b＝________2113 ．

如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小海在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15∘、北偏东45∘方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西45∘方向，则A、B两岛屿的距高为________海里．

如图，在△ABC中，BC＝2，AB=6，∠ACB=2π3，点E在边AB上，且∠ACE＝∠BCE，将射线CB绕着C逆时针方向旋转π6，并在所得射线上取一点D，使得CD=3−1，连接DE，则△CDE的面积为________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若csA=34，B=2A，b=3．

1求a；

2已知点M在边BC上，且AM平分∠BAC，求△ABM的面积．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．
(Ⅰ)求角B；
(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC面积的取值范围．
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第四册《9.1.1 正弦定理》2021年同步练习卷（2）
【基础练习】
1.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
直接根据正弦定理即可求解．
【解答】
因为asinA=bsinB=csinC可得，
只有D成立．
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理即可求解sinB的值．
【解答】
因为，
由正弦定理，可得．
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知结合正弦定理，可得sinB值，进而得到答案．
【解答】
∵ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，，∠A＝60∘，
则由正弦定理，即＝，
解得sinB＝，
又由b4.
【答案】
D
【考点】
解三角形
【解析】
利用正弦定理分别对A，B，C，D选项进行验证．
【解答】
解：A项中sinB=ba⋅sinA=1，
∴ B=π2，故三角形一个解，A项说法错误；
B项中sinC=cbsinB=539，
∵ 0C项中b=25−4=21，故有解，C项说法错误；
D项中sinB=ba⋅sinA=512，∵ A=150∘，
∴ B一定为锐角，有一个解，D项说法正确．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
由题意可得bsinA【解答】
∵ bsinA＝15×12=7.5，
∴ 5<8<10，即bsinA∴ △ABC有两解．
二、填空题
【答案】
33
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
利用△ABC的面积计算公式即可得出．
【解答】
△ABC的面积S=12×4×3×sin60∘＝33．
【答案】
4,4【考点】
正弦定理
【解析】
由已知可求C的值，根据三角形的面积公式即可计算得解；△ABC有两解时需要：bsinA【解答】
在△ABC中，由正弦定理，把 a＝4，A＝30∘，b＝4，
可得：C＝180∘−A−B＝120∘，
可得：S△ABC＝absinC＝＝4．
由于：a＝4，A＝30∘．
由题意得，△ABC有两解时需要：bsinA则bsin30∘<4【答案】
7,4
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
由题意可知，AD→=12(AB→+AC→)，然后结合向量数量积的定义及性质即可求解AD；结合已知及正弦定理可求sin∠BAD，然后结合和角正弦公式及三角形的面积公式可求．
【解答】
∵ AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60∘，
由题意可知，AD→=12(AB→+AC→)，
∴ AD→2=14(AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→)=14(100+36+2×10×6×12)=49，
所以AD＝7；
∵ AB＝10，D是BC边的中点，∠CAD＝45∘，AC＝62，设BD＝DC＝x，∠BAD＝α，∠ADB＝β，
△ABD中，由正弦定理可得，xsinα=10sinβ，△ACD中，由正弦定理可得，62sin(π−β)=xsinπ4，
联立可得，sinα=35，csα=45，
所以sin∠BAC＝sin(α+π4)=22×(35+45)=7210
S△ABC=12×10×62×7210=42，
三、解答题
【答案】
因为a＝2，，A＝30∘，
所以由正弦定理，可得sinB＝＝＝，
因为B∈(0, 180∘)，
所以B＝60∘，或120∘，
当B＝60∘时，可得C＝90∘，c＝＝4；
当B＝120∘时，可得C＝30∘，可得c＝a＝2．
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理可得sinB的值，结合范围B∈(0, 180∘)，分类讨论即可得解．
【解答】
因为a＝2，，A＝30∘，
所以由正弦定理，可得sinB＝＝＝，
因为B∈(0, 180∘)，
所以B＝60∘，或120∘，
当B＝60∘时，可得C＝90∘，c＝＝4；
当B＝120∘时，可得C＝30∘，可得c＝a＝2．
【答案】
（1）因为csA=35，A是△ABC内角，所以sinA=45，
由正弦定理：asinA=bsinB，知 a45=2sinπ4，解得a=85．
（2）在△ABC中，sinC＝sin(A+B)＝sinAcsB+csAsinB=45×22+35×22=7210，
△ABC的面积为：s=12absinC=12×85×2×7210=2825．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，再由正弦定理求得a的值．
(Ⅱ)在△ABC中，根据sinC＝sin(A+B)，利用两角和的正弦公式运算求得sinC的值．再根据△ABC的面积为s=12absinC，运算求得结果．
【解答】
（1）因为csA=35，A是△ABC内角，所以sinA=45，
由正弦定理：asinA=bsinB，知 a45=2sinπ4，解得a=85．
（2）在△ABC中，sinC＝sin(A+B)＝sinAcsB+csAsinB=45×22+35×22=7210，
△ABC的面积为：s=12absinC=12×85×2×7210=2825．
四、选择题
【答案】
A
【考点】
解三角形
【解析】
由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，逐项判断△ABC解的个数即可．
【解答】
对于A，a＝2，b＝3，A＝30∘，
由正弦定理可得，则sinB＝，
由大边对大角，可知B即可为锐角，也可为钝角，有两解；
对于B，b＝6，c＝4，A＝120∘，由余弦定理可得，
＝，有一解；
对于C，a＝4，b＝6，A＝60∘，
由，得sinB＝，
∵ a>b，∴ B为锐角，有一解；
对于D，a＝3，b＝6，A＝30∘，
由，得sinB＝1，B＝90∘，有一解．
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．
【解答】
解：根据正弦定理BCsinA=ACsinB，BCsinA=ABsin(120∘−B)
∴ AC=sinBBCsinA=23sinB，AB=sin(120∘−B)BCsinA=3csB+3sinB
∴ △ABC的周长为23sinB+3csB+3sinB+3=6sin(B+π6)+3
故选D．
【答案】
B
【考点】
解三角形
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
根据正弦定理，可求sin∠BAC＝，可得∠BAC＝60∘，或∠BAC＝120∘，分类讨论，由S＝S△BCD+S△ABD，计算三角形的面积，利用均值不等式即可求解最值．
【解答】
因为∠B与∠D互补，可得sin∠B＝sin∠D，且A，B，C，D四点共圆，
所以∠CBD＝∠DAC＝30∘，在△ADC中，由正弦定理可得＝，
在△ABC中，由正弦定理，
所以＝，可得sin∠BAC＝，
所以∠BAC＝60∘，或∠BAC＝120∘，
设四边形ABCD的外接圆半径为R，则＝2R，解得R＝1．
（1）设AB＝a，AD＝b，
当∠BAC＝60∘，则∠BAD＝90∘，故∠BCD＝90∘，
此时S△BCD＝sin90∘＝，且BD＝2，在Rt△ABD中，4＝a2+b2≥2ab，所以ab≤2，即S△ABD＝×ab≤1，
所以四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△ABD≤+1，当且仅当a＝b时，四边形ABCD的面积取得最大值为+1．
（2）当∠BAC＝120∘，则∠BAD＝150∘，故∠BCD＝30∘，
此时S△BCD＝sin30∘＝，
因为，
所以BD＝1，则在Rt△ABD中，由余弦定理可得1＝a2+b2−2abcs150∘，
所以ab＝1−(a2+b2)<1，即ab<，
即S△ABD＝×ab×sin150∘＝ab<，
此时，四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△ABD<<+1，
综上，四边形ABCD的面积的最大值为+1．
故选：B．
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：∠C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，∴ AC:BC=3:2，BCsinA=ACsinB=ACsin2A，∴ 2sinA=32sinAcsA，∴ csA=34．
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，结合垂径定理和柯西不等式，可得|PO|的最大值，即可得出结论．
【解答】
由圆O:x2+y2＝12，
∴ 圆的半径r＝2，
AB为圆C的一条弦，△PAB为等边三角形，则
如图所示，设AB与PC的交点为D，|AD|＝t(0得|PO|＝t+，令t＝2sinθ，θ∈(0，），则
|PO|＝3sinθ+2csθ＝4sin(θ+），
∵ θ∈(0，），∴ θ+∈（，），
∴ 当θ+＝时，|PO|的值最大为4，
【答案】
2113
【考点】
解三角形
【解析】
运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=asinBsinA，代入计算即可得到所求值．
【解答】
由csA=45，csC=513，可得
sinA=1−cs2A=1−1625=35，
sinC=1−cs2C=1−25169=1213，
sinB＝sin(A+C)＝sinAcsC+csAsinC=35×513+45×1213=6365，
由正弦定理可得b=asinBsinA
=1×636535=2113．
【答案】
202
【考点】
解三角形
【解析】
直接利用正弦定理和直角三角形及等边三角形的应用求出结果．
【解答】
如图所示：
连接AB，由题意可知CD＝20，∠ADC＝105∘，∠BDC＝45∘，∠BCD＝90∘，∠ACD＝45∘，
∠CAD＝30∘，∠ADB＝60∘，
在△ACD中，由正弦定理得，ADsin45=20sin30，
解得AD＝202，
在Rt△BCD中，∵ ∠BDC＝45∘，∠BCD＝90∘，
∴ BD=202，CD＝20．
在△ABD中，∠ADB＝60∘，AD＝BD，
所以△ABD为等边三角形，所以，AB＝202．
故答案为：202
【答案】
33−5
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由已知利用余弦定理可求AC的值，由正弦定理可求sin∠AEC的值，利用正弦定理求得CE的值，可求∠ECD为直角，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】
由AB2＝AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB，得AC2+2AC−2＝0，
解得AC=3−1．
因为BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，
所以sin∠BAC=22，∠BAC=π4，
所以sin∠AEC=sin(∠ACE+∠BAC)=sin(π3+π4)=6+24．
又因为CEsin∠BAC=ACsin∠AEC，
所以CE=4−23．
因为∠ECD=∠BCE+∠BCD=π2，
所以S△DCE=12CE⋅CD=33−5．
【答案】
解：1由正弦定理得asinA=bsinB，
得asinA=3sin2A，
得asinA=32sinAcsA，
得a=32csA=32×34=2.
2∵ csA=34，∴ sinA=74，
∴ csB=cs2A=2cs2A−1=18，sinB=378，
∴ sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=5716，
由正弦定理得csinC=asinA，∴ c=asinCsinA=52，
由角平分线定理得CMMB=ACAB=bc=3c=65，
∴ MB=511BC=511×2=1011，
∴ S△ABM=12MB×AB×sinB
=12×1011×52×378
=757176.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
正弦定理
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由正弦定理以及二倍角正弦公式可得a＝2；
（2）由余弦定理可得c=52，再根据角平分线定理可得MB，然后根据面积公式可得△ABM的面积．
【解答】
解：1由正弦定理得asinA=bsinB，
得asinA=3sin2A，
得asinA=32sinAcsA，
得a=32csA=32×34=2.
2∵ csA=34，∴ sinA=74，
∴ csB=cs2A=2cs2A−1=18，sinB=378，
∴ sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=5716，
由正弦定理得csinC=asinA，∴ c=asinCsinA=52，
由角平分线定理得CMMB=ACAB=bc=3c=65，
∴ MB=511BC=511×2=1011，
∴ S△ABM=12MB×AB×sinB
=12×1011×52×378
=757176.
【答案】
（1）由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA，
因为sinA≠0，
所以sinA+C2=sinB．
由A+B+C＝180∘，可得sinA+C2=csB2，
故csB2=2sinB2csB2．
因为csB2≠0，
故sinB2=12，
因此B＝60∘．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=32a．
由正弦定理得a=csinAsinC=2sin(120−C)sinC=3tanC+1．
由于△ABC为锐角三角形，
故0∘由（1）知A+C＝120∘，
所以30∘故tanC>33，
所以1从而32因此，△ABC面积的取值范围是(32,23)．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合sinA≠0，csB2≠0，可求sinB2=12，进而可求B的值．
(Ⅱ)由题设及正弦定理，可求a=3tanC+1，结合30∘33，可求范围1【解答】
（1）由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA，
因为sinA≠0，
所以sinA+C2=sinB．
由A+B+C＝180∘，可得sinA+C2=csB2，
故csB2=2sinB2csB2．
因为csB2≠0，
故sinB2=12，
因此B＝60∘．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=32a．
由正弦定理得a=csinAsinC=2sin(120−C)sinC=3tanC+1．
由于△ABC为锐角三角形，
故0∘由（1）知A+C＝120∘，
所以30∘故tanC>33，
所以1从而32因此，△ABC面积的取值范围是(32,23)．