2020-2021学年广东省广州市高三（下）5月月考数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年广东省广州市高三（下）5月月考数学试卷人教A版（2019），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A，B满足A∪B={1,2,3,4,5,6}，A∩B={2,4}，A={2,3,4,5}，则B=( )
A.{2,4,5,6}B.{1,2,4,6}C.{2,4,6}D.{1,2,4}

2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A.0.5B.0.6C.0.3D.0.4

3. 九连环是中国最杰出的益智游戏之一．九连环有九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下（或安上）第n号环，则第(n−1)号环必须解下（或安上），n−1往前的都要解下（或安上）才能实现．记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1=1，a2=2，an=an−1+2an−2+1(n≥3)，则解六连环最少需要移动圆环步数为( )

A.42B.85C.256D.341

4. 1+32x 100的展开式中有理项的个数为( )
A.50B.33C.34D.35

5. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1, a)，B(2, b)，且cs2α=23，则|a−b|=( )
A.15B.55C.255D.1

6. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D−ABC体积的最大值为( )
A.123B.543C.243D.183

7. 已知函数f(x)=ex,x≤0，lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)

8. 已知双曲线C:x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=( )
A.3B.32C.23D.4
二、多选题

某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的是( )
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

欧拉公式exi=csx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.复数e2i对应的点位于第三象限B.eπ2i为纯虚数
C.复数exi3+i的模长等于 12D.eπ6i的共轭复数为12−32i

已知a>0,b>0，且2a+8b=1，则（ ）
A.3a−4b>33B.a+2b≤1
C.lg2a+lg2b≤−6D.a2+16b20)．
(1)证明：k2，故B正确；
C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，故C正确；
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
(30%+28%)×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故(58%×2a)÷2a=58%>50%，故D正确．
故选BCD．
【答案】
B,C
【考点】
欧拉公式的应用
复数的代数表示法及其几何意义
共轭复数
虚数单位i及其性质
【解析】
对于A，e2i=cs2+isin2，根据2∈π2,π，即可判断出；对于BCD，根据欧拉公式exi=csx+isinx逐项计算，然后判断正误即可．
【解答】
解：A，由题意，得e2i=cs2+isin2，
∵2∈π2,π，
∴cs2∈−1,0，sin2∈0,1，
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误；
B，∵eπ2i=csπ2+isinπ2=i，
∴eπ2i为纯虚数，故B正确；
C，exi3+i=csx+isinx3+i=csx+isinx3−i3+i3−i
=3csx+sinx4+3sinx−csx4i，
可得其模的长为3csx+sinx42+3sinx−csx42=12，故C正确；
D，∵eπ6i=csπ6+isinπ6=32+12i，
∴eπ6i的共轭复数为32−12i，故D错误．
故选BC．
【答案】
A,B,C
【考点】
对数的运算性质
基本不等式
指数式、对数式的综合比较
指数式与对数式的互化
【解析】
1
【解答】
解：对于A，因为a>0,b>0，且2a+8b=1，
所以2a−8b=2a−1−2a=4a−1>−1，
所以32a−8b>3−1=13，所以3a−4b>33，故A正确；
对于B，2a+8b2=2a+8b+22a⋅8b
=1+22a⋅8b≤1+2a+8b=2，
所以2a+8b≤2，当且仅当2a=8b，即a=14,b=116时取等号，
故a+2b≤1，故B正确；
对于C，lg22a+lg28b=lg216ab≤lg22a+8b22=−2，
当且仅当2a=8b，即a=14,b=116时取等号，
故lg22a+lg28b=1+lg2a+3+lg2b≤−2，
得lg2a+lg2b≤−6，故C正确；
对于D，已知a>0,b>0，且2a+8b=1，
所以2a+8b2≤22a2+28b2，即1≤8a2+128b2，
则a2+16b2≥18，当且仅当2a=8b，即a=14,b=116时取等号，故D错误．
故选ABC．
【答案】
B,C,D
【考点】
平面的基本性质及推论
棱柱的结构特征
点、线、面间的距离计算
【解析】
本题考查正方体的截面问题，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P，连接PF与y轴交于点M，
则平面α由平面AEF扩展为平面APM，
当点F与点C1重合时，平面α截正方体的截面为边长
为4+1=5的菱形，
且截面的面积为5×5×265=26，
当F为CC1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形，
故A错误，B，D正确；
又D0,0,0，A2,0,0，P0,0,4，
设点M的坐标为0,t,0t∈2,4，
则DA→=2,0,0 AM→=−2,t,0，PA→=2,0,−4，
则可知点P到直线AM的距离为
d=PA→2−(|PA→⋅AM→|AM→||)2=20t2+644+t2，
则△APM的面积S=12t2+4⋅d=5t2+16，
S△PAD=12×2×4=4，
设点D到平面α的距离为ℎ，
利用等体积法VD−APM=VM−PAD，
即13S△APM⋅ℎ=13⋅S△PAD ⋅t
可得ℎ=4t5t2+16 ，则ℎ=45+16t2
由ℎ=45+16t2在t∈[2,4]单调递增，
所以当t=4时， ℎ取到最大值为263.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
2,4（答案不唯一）
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
设b→=x,y，由a→//b→，得到2x−y=0，据此写一个即可.
【解答】
解：设b→=x,y，
∵ a→//b→，
∴ 2x−y=0，
∴ 与a→共线的单位向量可以是2,4.
故答案为：2,4（答案不唯一）.
【答案】
32
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
先求出tanα的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．
【解答】
解：∵ tan(α−5π4)=tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=15，
解得tanα=32.
故答案为：32.
【答案】
y=x
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法．
【解答】
解：因为函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax为奇函数，
所以f(−1)+f(1)=0，
所以−1+a−1−a+(1+a−1+a)=0，
解得a=1，所以f(x)=x3+x，
所以f′(x)=3x2+1，
所以f′(0)=1，
所以曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
故答案为：y=x.
【答案】
[22,4)
【考点】
圆锥曲线中的范围与最值问题
圆与圆锥曲线的综合问题
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
本题考查抛物线的方程、圆的方程、直线与圆综合性问题．
【解答】
解： 如图，连接MC′，C′P，C′Q，PQ，
易得C′P⊥MP，C′Q⊥MQ，MC′⊥PQ，
所以四边形MPC′Q 的面积为12|MC′|⋅|PQ|；
另外四边形MPC′Q 的面积为△MPC′面积的两倍，
所以12|MC′|⋅|PQ|=|MP|⋅|C′P|，
故|PQ|=2|MP|⋅|C′P||MC′|=4|C′M|2−4|C′M|=41−4|C′M|2，
故当|C′M|最小时，|PQ|最小.
设Mx,y，则|MC′|=x−32+y2=x2−2x+9，
所以当x=1时，|MC′|min=22，
当x→+∞，|PQ|趋近于圆的直径4，
故|PQ|的取值范围为[22,4)．
故答案为：[22,4).
四、解答题
【答案】
解：1∵ ∠ADC=90∘，∠A=45∘，AB=2，BD=5．
∴ 由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠A，即2sin∠ADB=5sin45∘，
∴ sin∠ADB=2sin45∘5=25，
∵ AB