黑龙江省大庆中学2022届高三上学期开学考试数学（理）试题+Word版含答案

大庆中学2021--2022学年度上学期开学考

高三理科数学试题

试卷总分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，若，则的值是（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

2．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ）

A． B． C．1 D．2

5．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

6．下列函数中，值域为的是（    ）

A． B． C． D．

7．下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

8．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

9．函数的图象关于（    ）

A．轴对称 B．直线对称

C．坐标原点对称 D．直线对称

10．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

11．定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（    ）

A．335 B．338 C．1678 D．2012

12．已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是_________.

14．__________.

15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝____________.

16．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则

三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18---22每小题12分，共70分）

17．（本题10分）

已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.

18．（本题12分）

已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.

(Ⅰ)求和的通项公式；

(Ⅱ)设，，求数列的前项和.

19．（本题12分）

如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形,为中点.

（Ⅰ）证明：平面

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20．（本题12分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].

(1)求图中x的值；

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，

该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，

求ξ的数学期望．

21．（本题12分）

平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求面积的最大值.

22.（本题12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

大庆中学2021--2022学年度上学期开学考

高三理科数学答案

一、选择题

1．B  2．A  3．B  4．A  5．A  6．B  7．D  8．C  9．C  10．A  11．B  12．D

二、填空题

13．    14．-1    15．   16．

三、解答题

17．解：（1）等价于①

将代入①既得曲线C的直角坐标方程为，②

（2）将代入②得，设这个方程的两个实根分别为

则由参数t 的几何意义既知，.

18．解：（Ⅰ）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为 ,则

两式相减得

所以．

19．证明：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA. 连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=SA，且AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，SO=SA，从而OA2+SO2=SA2，所以△SOA为直角三角形，.又AO∩BC=O，所以SO⊥平面ABC.

（Ⅱ）以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设B(1,0,0)，则

SC的中点

，.

故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角.

所以二面角的余弦值为

20．解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018

（2）由题意知道：不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人

随机变量ξ的可能取值有0，1，2

∴

21．解:（Ⅰ）由题意知又，解得，

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为.

（ⅰ）设由题意知.

因为又，即所以，即

（ⅱ）设将代入椭圆的方程，可得，由可得①

则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积

设将直线代入椭圆的方程，可得，由可得②

由①②可知故.

当且仅当，即时取得最大值

由（Ⅰ）知，的面积为，所以面积的最大值为

22．解:（1）函数的定义域为，又，

当时，，当时，，

故的递增区间为，递减区间为.

（2）因为，故，即，

故，

设，由（1）可知不妨设.

因为时，，时，，

故.   先证：，    若，必成立.

若， 要证：，即证，而，

故即证，即证：，其中.

设，

则，

因为，故，故，

所以，故在为增函数，所以，

故，即成立，所以成立，  综上，成立.

设，则， 结合，可得：，

即：，故，

要证：，即证，即证，

即证：，即证：，

令，  则，

先证明一个不等式：.  设，则，

当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立

由上述不等式可得当时，，故恒成立，

故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，.