2022届高考数学课标版数学（文理通用）一轮题型专项练课件：9.1坐标系与参数方程（选修4—4）

这是一份2022届高考数学课标版数学（文理通用）一轮题型专项练课件：9.1坐标系与参数方程（选修4—4），共23页。PPT课件主要包含了-3-，-4-，-5-，曲线的参数方程，-6-，-7-，-8-，考向一，考向二，考向三等内容，欢迎下载使用。

9.1　坐标系与参数方程(选修4—4)
1.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
2.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的非负半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=ρcs θ,y=ρsin θ.另一种关系为ρ2=x2+y2,tan θ= (x≠0).3.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0,θ0),且此直线与极轴所成的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;(2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:ρcs θ=a;
4.圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为ρ2-2ρ0ρcs(θ-θ0)+ -r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)圆心位于极点,半径为r:ρ=r;(2)圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acs θ;
6.一些常见曲线的参数方程
参数方程与极坐标方程间的互化例1在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cs θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcs θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.
解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程.2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.
对点训练1在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为
(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解:(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
解题心得1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.
对点训练2在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,
求三角形面积的最值例3在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcs θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cs θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cs α,于是△OAB面积
解题心得对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.
对点训练3在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ= (ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解:(1)因为x=ρcs θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcs θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcs θ-4ρsin θ+4=0.
数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解:(1)依题意有P(2cs α,2sin α),Q(2cs 2α,2sin 2α),因此M(cs α+cs 2α,sin α+sin 2α).M的轨迹的参数方程为
(2)M点到坐标原点的距离
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.
对点训练4在平面直角坐标系xOy中,☉O的参
与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.