2020-2021年安徽省宣城市郎溪励志高中高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年安徽省宣城市郎溪励志高中高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 我校高二(1)班有学生50名，随机编号为01，02，03，⋯，50，数学老师为了检查学生课后作业完成情况，抽查了编号尾数为5的学生作业，这种抽样方法是( )
A.分层抽样B.系统抽样C.随机数法D.抽签法

2. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.65.5万元B.66.2万元C.67.7万元D.72.0万元

3. 执行如图程序框图，若输入的n等于10，则输出的结果是( )

A.2B.−3C.−12D.13

4. 直线l0：x−y+1=0，直线l1：ax−2y+1=0与l0垂直，且直线l2：x+by+3=0与l0平行，则a+b=( )
A.−4B.−3C.1D.0

5. 下图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )

A.10B.12C.5D.4

6. 如果数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数是x¯，方差为s2，则5x1+2，5x2+2，5x3+2，⋯，5xn+2的平均数和方差分别为( )
A.x¯，s2B.5x¯+2，s2C.5x¯+2 ，25s2D.x¯，25s2

7. 已知点A(1, −2, 11)，B(4, 2, 3)，C(6, −1, 4)，则△ABC的形状是( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形

8. 已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9. 已知双曲线x2a2−y24=1的焦点为(4, 0)，则此双曲线的渐近线方程是( )
A.2x±y=0B.x±2y=0C.3x±y=0D.x±3y=0

10. 下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B.若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题
C.命题“∃x∈R，使得x2+x+10)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．
三、解答题

已知三角形的三个顶点A(4, 0)，B(6, 6)，C(0, 2)．
(1)求AB边上的高所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线所在直线的方程．

已知p：|2x−32|≤12，q：x−ax−a+1≤0.
(1)若a=12，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

励志中学禁毒志愿者有50名学生参加2020年安徽省禁毒知识竞赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组，第一组[90, 100)，第二组[100, 110)，⋯，第五组[130, 140]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．

(1)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次禁毒知识竞赛中成绩良好的人数；

(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率．

某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y（单位：万件）的统计表：
但其中数据污损不清，经查证： i=17yi=9.32，i=17tiyi=40.17，i=17yi−y¯2=0.55．
(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；

(2)求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；

(3)公司经营期间的广告宣传费xi=ti（单位：万元）(i=1，2，⋯，7)，每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）
参考公式及数据： 7≈2.646，相关系数 r=i=1nti−t¯yi−y¯i=1nti−t¯2i=1nyi−y¯2 ，当|r|>0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1nti−t¯yi−y¯i=1nti−t¯2，a=y¯−bt¯．

在平面直角坐标系xOy中，设圆x2+y2−4x=0的圆心为M．
(1)求过点P0,−4且与圆相交所得弦长为22的直线方程；

(2)若过点P0,−4且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2=−1．

已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=32，以坐标原点为圆心的椭圆的内切圆的面积为4π.
(1)求椭圆的标准方程；

(2)设过点A−a,0的直线l与椭圆相交于另一点B，若|AB|=825，求直线l的斜率．
参考答案与试题解析
2020-2021年安徽省宣城市郎溪励志高中高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的定义可得到结论．
【解答】
解：∵ 抽取所有编号尾数为5的学生作业进行分析，
∴ 样本间距相同，满足系统抽样的定义.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
回归分析的初步应用
可线性化的回归分析
【解析】
首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
【解答】
解：∵ x¯=2+3+4+54=3.5，y¯=27+39+48+544=42，
∴ 数据的样本中心点(3.5, 42)在线性回归直线上，
回归方程y=bx+a中的b为9.4，
∴ 42=9.4×3.5+a，
解得a=9.1，
∴ 线性回归方程为y=9.4x+9.1，
∴ 广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5（万元）.
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】
解：若输入的n等于10，则
当i=1时，满足进行循环的条件，a=−3，i=2；
当i=2时，满足进行循环的条件，a=−12，i=3；
当i=3时，满足进行循环的条件，a=13，i=4；
当i=4时，满足进行循环的条件，a=2，i=5；
当i=5时，满足进行循环的条件，a=−3，i=6；
当i=6时，满足进行循环的条件，a=−12，i=7；
当i=7时，满足进行循环的条件，a=13，i=8；
当i=8时，满足进行循环的条件，a=2，i=9；
当i=9时，满足进行循环的条件，a=−3，i=10；
当i=10时，满足进行循环的条件，a=−12，i=11；
当i=11时，不满足进行循环的条件，
故输出的a=−12.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
两条直线平行的判定
两条直线垂直的判定
【解析】
利用直线相互平行、相互垂直与斜率之间的关系即可得出．
【解答】
解：∵ 直线l0：x−y+1=0，
直线l1：ax−2y+1=0与l0垂直，
且直线l2：x+by+3=0与l0平行，
∴ a2×1=−1，−1−b=0，
解得a=−2，b=−1，
∴ a+b=−3.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
由已知中矩形的长为5，宽为2，我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S阴影的方程，解方程即可求出阴影部分面积．
【解答】
解：∵ 矩形的长为5，宽为2，
∴ S矩形=5×2=10，
∴ S阴影S矩形=S阴影10=120300，
解得S阴影=4.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
利用平均数和方差的公式可以求解.
【解答】
解：∵ x¯=x1+x2+x3+⋯+xnn，
∴ s2=x1−x¯2+x2−x¯2+⋯+xn−x¯2n，
∴ 新数据的平均数为5x1+2+5x2+2+5x3+2+⋯+5xn+2n
=5x1+x2+x3+⋯+xn+2nn
=5x¯+2，
新数据的方差为5x1+2−5x¯+22+5x2+2−5x¯+22n
+⋯+5xn+2−5x¯+22n
=5x1−5x¯2+5x2−5x¯2+⋯+5xn−5x¯2n
=25x1−x¯2+25x2−x¯2+⋯+25xn−x¯2n
=25×x1−x¯2+x2−x¯2+⋯xn−x¯2n
=25s2.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，得|AB|=1−42+−2−22+11−32=89，
|AC|=75，|BC|=14．
∵ |AB|2=|BC|2+|AC|2，
∴ △ABC为直角三角形．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的奇偶性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若φ=π2，则f(x)=Acs(ωx+π2)
⇒f(x)=−Asin(ωx)(A>0，ω>0，x∈R)是奇函数；
若f(x)是奇函数，⇒f(0)=0，
则f(0)=Acs(ω×0+φ)=Acsφ=0，
即φ=kπ+π2，k∈Z，
所以“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的必要而不充分条件．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
利用双曲线的焦点坐标，求出a，然后求出结果即可．
【解答】
解：∵ 双曲线x2a2−y24=1的焦点为(4, 0)，
∴ a2+4=16，
解得a=23．
∴ 此双曲线的渐近线方程为y=±bax=±33x，
即x±3y=0．
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
命题的否定
四种命题的真假关系
【解析】
A．根据否命题的意义即可得出；
B．根据或命题的意义即可判断出；
C．根据命题的否定的意义即可判断出；
D．根据原命题与其逆否命题是等价命题，只要判定原命题是真假即可．
【解答】
解：A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为
“若x2≠1，则x≠1”，故A不正确；
B，若“p∧q”为假命题，则p，q为一真一假，故B不正确；
C，命题“∃x∈R，使得x2+x+130”所包含的基本事件个数有12种，
所以其概率为P(|m−n|>30)=1221=47．
【考点】
频率分布直方图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（2）由频率分布直方图，求出各分数段对应的人数，利用列举法求出基本事件数，计算概率即可．
【解答】
解：(1)由频率分布直方图知，成绩在[100, 120)内的人数为
50×0.16+50×0.38=27（人），
所以该班成绩良好的人数为27人.
(2)由频率分布直方图知，
成绩在[90, 100)的人数为50×0.06=3（人），设为x，y，z；
成绩在[130, 140]的人数为50×0.08=4（人），设为A，B，C，D.
设抽取的两个成绩分别为m，n.
若m，n∈[90, 100)时，有xy，xz，yz共3种情况；
若m，n∈[130, 140]时，有AB，AC，AD，
BC，BD，CD共6种情况；
若m，n分别在[90, 100)和[130, 140]内时，
有xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，
yD，zA，zB，zC，zD共12种情况，
所以基本事件总数为21种，
事件“|m−n|>30”所包含的基本事件个数有12种，
所以其概率为P(|m−n|>30)=1221=47．
【答案】
解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据，得
t¯=4，i=17ti−t¯2=28，i=17yi−y¯2=0.55，
i=17ti−t¯yi−y¯=i=17tiyi−t¯i=17yi=40.17−4×9.32=2.89，
则相关系数r=2.8927×0.55≈2.892×2.646×0.55≈0.99 .
∵ 0.99>0.75，
∴ 销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系．
(2)∵ y¯=9.327≈1.331，
b=i=17(ti−t¯)(yi−y¯)i=17(ti−t¯)2=2.8928≈0.103，
a=y¯−bt¯≈1.331−0.103×4≈0.92，
∴ y关于t的回归方程为y=0.10t+0.92．
(3)当t=8时，代入回归方程，得
y=0.10×8+0.92=1.72（万件），
设第8个月的毛利润为z=10×1.72−8
=17.2−2×1.414=14.372（万元）.
∵ 14.3720.75，
∴ 销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系．
(2)∵ y¯=9.327≈1.331，
b=i=17(ti−t¯)(yi−y¯)i=17(ti−t¯)2=2.8928≈0.103，
a=y¯−bt¯≈1.331−0.103×4≈0.92，
∴ y关于t的回归方程为y=0.10t+0.92．
(3)当t=8时，代入回归方程，得
y=0.10×8+0.92=1.72（万件），
设第8个月的毛利润为z=10×1.72−8
=17.2−2×1.414=14.372（万元）.
∵ 14.3720，
∴ k>34.
∵ x1+x2=8k+41+k2，x1⋅x2=161+k2，
∴ k1+k2=y1x1+y2x2=y1x2+y2x1x1x2
=kx1−4x2+kx2−4x1x1x2
=2k−4(x1+x2)x1x2
=2k−4⋅8k+416=−1（定值）.
【考点】
点到直线的距离公式
圆的标准方程
直线和圆的方程的应用
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：因为圆的方程为x2+y2−4x=0，
即(x−2)2+y2=4，
所以M(2,0)，r=2.
设过点P的直线的斜率为k，
当k不存在时，直线l：x=0，此时与圆相切（舍去）．
当k存在时，直线l：kx−y−4=0．
设圆心M到直线的距离为d，
则d=|2k−4|k2+1=2，
解得k=1或k=7，
故直线l的方程为x−y−4=0或7x−y−4=0．
(2)证明：设存在满足条件的实数k，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx−4,x2+y2−4x=0,
得(1+k2)x2−(8k+4)x+16=0.
∵ Δ=(8k+4)2−64(1+k2)>0，
∴ k>34.
∵ x1+x2=8k+41+k2，x1⋅x2=161+k2，
∴ k1+k2=y1x1+y2x2=y1x2+y2x1x1x2
=kx1−4x2+kx2−4x1x1x2
=2k−4(x1+x2)x1x2
=2k−4⋅8k+416=−1（定值）.
【答案】
解：(1)由e=ca=32，得3a2=4c2.
由c2=a2−b2，解得a=2b.
由πb2=4π得b=2，则a=4，
故椭圆的标准方程为x216+y24=1．
(2)由(1)可知点A的坐标为−4,0，
由题意知直线l的斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y=kx+4．
联立 y=k(x+4),x216+y24=1,
消去y并整理，
得(1+4k2)x2+32k2x+64k2−16=0 .
∵ x1+x2=−32k21+4k2，x1x2=64k2−161+4k2，
∴ |AB|=1+k2|x1−x2|
=1+k2⋅x1+x22−4x1x2
=81+k21+4k2.
令81+k21+4k2=825，
整理得32k4−9k2−23=0，
即(k2−1)(32k2+23)=0，
解得k=±1．
故直线l的斜率为±1 ．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由e=ca=32，得3a2=4c2.
由c2=a2−b2，解得a=2b.
由πb2=4π得b=2，则a=4，
故椭圆的标准方程为x216+y24=1．
(2)由(1)可知点A的坐标为−4,0，
由题意知直线l的斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y=kx+4．
联立 y=k(x+4),x216+y24=1,
消去y并整理，
得(1+4k2)x2+32k2x+64k2−16=0 .
∵ x1+x2=−32k21+4k2，x1x2=64k2−161+4k2，
∴ |AB|=1+k2|x1−x2|
=1+k2⋅x1+x22−4x1x2
=81+k21+4k2.
令81+k21+4k2=825，
整理得32k4−9k2−23=0，
即(k2−1)(32k2+23)=0，
解得k=±1．
故直线l的斜率为±1 ．广告费用x（万元）
2
3
4
5
销售额y（万元）
27
39
48
54
月份代码t
1
2
3
4
5
6
7
月销售量y（万件）
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7