2020-2021学年安徽省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，解答题，周五）等内容，欢迎下载使用。


1. 设命题p:∃t∈(0, 1)，tant＝1，则￢p为（ ）
A.∀t∈(0, 1)，tant≠1B.∃t∉(0, 1)，tant≠1
C.∀t∈(0, 1)，tant＝1D.∃t∈(0, 1)，tant≠1

2. 椭圆＝1的短轴长为（ ）
A.B.2C.3D.6

3. 某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家务，体验父母的艰辛．某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的概率为（ ）
A.B.C.D.

4. 如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点记为M．设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A.B.C.D.

5. 已知双曲线，经过点(2, 2)，则C的渐近线方程为（ ）
A.y＝±2xB.C.D.

6. 已知α，β，γ是三个不同的平面，l是一条直线．（ ）
A.若α⊥γ，β⊥γ，则α // βB.若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
C.若l // α，l // β，则α // βD.若l⊥α，l⊥β，则α // β

7. 已知函数f(x)＝ex−7，则“m>2”是“f(m)>0”的（ ）
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8. 若双曲线C：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（ ）
A.B.C.D.

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的x＝（ ）

A.153B.143C.133D.123

10. 斜率为的直线l与椭圆C：相交于A，B两点，且l过C的左焦点，线段AB的中点为M(−2, 1)，C的右焦点为F，则△AFB的周长为（ ）
A.B.C.D.

11. 在四面体PABC中，PA⊥PB，PA=PB=3，AC=23，BC=6，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A.12πB.14πC.16πD.18π

12. 已知P为直线l:x−y+6＝0上一个定点，M，N为圆C:x2+y2+4y−21＝0上两个不同的动点．若∠MPN的最大值为60∘，则点P的横坐标为（ ）
A.B.C.D.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

设向量AB→=1,2,4，CD→=m,1,1，AB→⊥CD→，则实数m=________．

在△ABC中，已知A(−5, 0)，C(0, 2)，若BC边所在的直线方程为5x+3y−6＝0，且BC边的中线所在的直线方程为x+13y+5＝0，则过点B且与直线AC平行的直线方程为________.（用一般式表示）

某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分．已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，现有下列四个结论：
①该次课外知识测试及格率为92%；
②该次课外知识测试得满分的同学有30名；
③该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数；
④若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名．
其中所有正确结论的序号是________．


已知点P(m, n)是抛物线上一动点，则的最小值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知直线l1:4x−3y+10＝0与直线l2:ax+by−7＝0垂直，且l2经过点(1, 1)．
（1）求l2的方程；

（2）若l2与圆＝25相交于A，B两点，求|AB|．

某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为n＝1.7m−0.5(m＝1, 2, 3, 4, 5)，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示．

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝-．

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．

(1)证明：AB // 平面C1D1E；

(2)若O为平面A1B1C1D1的中心，求异面直线C1E与AO所成角的余弦值．

如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠BAC＝30∘，，AC＝3DC，DE // BC，沿DE将点A折至A1处，使得A1C⊥DC，点M为A1B的中点．

（1）证明：A1B⊥平面CMD．

（2）求二面角B−CM−E的余弦值．

已知抛物线C1:x2＝2py(p>0)和圆C2:x2−12x+y2＝0交于O，P两点，且kOP＝1，其中O为坐标原点．
（1）求C1的方程；

（2）过C1的焦点F且不与坐标轴平行的直线l与C1交于A，B两点，AB的中点为M，C1的准线为l0，且MQ⊥l0，垂足为Q．证明直线AB，OQ的斜率之积T为定值，并求该定值．

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，且a＝b．
（1）求C的方程；

（2）若A，B为C上的两个动点，过F2且垂直x轴的直线平分∠AF2B，证明：直线AB过定点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】
命题是特称命题，则￢p:∀t∈(0，tant≠1，
2.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据椭圆的方程即可求解．
【解答】
由已知可得：b2＝6，所以b＝，
所以椭圆的短轴长为2b＝2，
3.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
先列举出周一至周五任选两天的所有情况，然后再求出连续两天的情况，利用古典概率的计算公式即可求解．
【解答】
周一至周五任选两天的所有情况为：（周一、周二）、周三）、
（周一、周四）、周五）、周三）、周四）、
（周二、周五）、周四）、周五）、周五），
其中连续两天的有4种，故所求概率为，
4.
【答案】
B
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可．
【解答】
由题意知，
＝+
＝+
＝（-）+
＝-+
＝+-．
5.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线方程，代入点的坐标，求解m，然后求解双曲线的渐近线方程．
【解答】
依题意可得，解得m＝2，
则C的渐近线方程为．
6.
【答案】
D
【考点】
平面与平面垂直
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
由垂直于同一平面的两平面相交或平行判断A与B；由平行于同一直线的两平面平行或相交判断C；由直线与平面垂直的性质判断D．
【解答】
若α⊥γ，β⊥γ，故A与B均不正确；
若l // α，l // β，即α与β可能相交；
若l⊥α，l⊥β，故D正确．
7.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
若f(m)>0，则m>ln76>2.78>7，所以ln7<5，
所以“m>2”是“f(m)>0”的充分不必要条件．
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
化简双曲线方程为标准方程，利用实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，列出方程，求解m，然后求解离心率即可．
【解答】
双曲线的标准方程为，
依题意可得，
解得，
则．
9.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
由题意，∵ y＝2x，
∴ s＝x+2x+2x＝7x，
由算法的功能可知，输出的．
10.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由已知即可求出直线AB的方程，令y＝0，即可求出c的值，再设出点A，B的坐标，代入椭圆方程，利用点差法以及中点坐标公式求出的关系式，进而可以求出a，由椭圆的定义即可求解．
【解答】
易知直线l的方程为，
当y＝4时，x＝−6，
设A(x1, y4)，B(x2, y2)，
则，把A，
两式作差可得：，整理得
＝，解得，
则由椭圆的定义可得△FAB的周长为，
11.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
柱体、锥体、台体的面积求解
【解析】
利用已知条件求出外接球的球心的位置，求出外接球的半径，然后求解四面体外接球的表面积．
【解答】
由PA⊥PB，PA=PB=3，可知AB＝32．
因为AC＝23，BC＝6，所以AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC．
设AB的中点为O，则OA＝OB＝OC＝OP＝322，
即四面体的外接球半径为322，外接球表面积为18π．
12.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由直线与圆相离，且知当PM，PN分别为圆C的切线时，∠MPN最大，可得∠MPN的最大值为60∘时，|PC|＝10，设出P的坐标，再由两点间的距离公式列式求解．
【解答】
圆C的标准方程为x2+(y+2)7＝25，其圆心C(0，半径r＝5，
∵ 点C到l的距离，∴ l与圆C相离，
∴ 当PM，PN分别为圆C的切线时，
由∠MPN的最大值为60∘，可知∠MPC＝30∘．
设P(x, x+8)2＝x2+(x+2)2＝100，
解得：．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
【答案】
−6
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．
【解答】
解：∵ AB→⊥CD→，
∴ AB→⋅CD→=m+2+4=0，
解得m=−6．
故答案为：−6．
【答案】
2x−5y−21＝0
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
设B(a, b)，由直线BC与直线BC边上的中线方程求得交点B的坐标，然后由平行线的性质求得所求直线的斜率，利用点斜式写出方程．
【解答】
设B(a, b)，
代入x+13y+5＝0，得．
又5a+3b−6＝0，
解得，则点B的坐标为(3．
因为，
所以所求直线方程为，即2x−5y−21＝0．
【答案】
①③
【考点】
频率分布直方图
【解析】
利用测试成绩百分比分布图直接求解．
【解答】
由图可知及格率＝1−8%＝92%，故①正确；
该次课外知识测试满分同学的百分比＝7−8%−32%−48%＝12%，12%×200＝24名；
中位数为80分，平均数＝40×8%+60×32%+80×48%+100×12%＝72.5分；
3000×(48%+12%)＝1800，故④错误．
【答案】
6
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用不等式的几何意义，转化求解最小值即可．
【解答】
由，得x2＝−4y，则的焦点为F(5，
准线为l:y＝1.的几何意义是：
点P(m, n)到F(5, −5)的距离之和，
根据抛物线的定义点P(m, n)到F(0, n)到l的距离，
所以的最小值为1−(−5)＝2．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
∵ 直线l1:4x−3y+10＝0与直线l2:ax+by−3＝0垂直，且l2经过点(7, 1)，
∴ ，
解得a＝3，b＝4，
故l5的方程为3x+4y−8＝0；
圆＝25的圆心坐标为C(0，），
∵ 点到l5的距离d＝，
∴ ．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）直接由两直线垂直可得系数间的关系，列方程组求解a与b的值，则l2的方程可求；
（2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．
【解答】
∵ 直线l1:4x−3y+10＝0与直线l2:ax+by−3＝0垂直，且l2经过点(7, 1)，
∴ ，
解得a＝3，b＝4，
故l5的方程为3x+4y−8＝0；
圆＝25的圆心坐标为C(0，），
∵ 点到l5的距离d＝，
∴ ．
【答案】
由散点图可得，，，
＝，，
则y关于x的线性回归方程为；
当m＝6时，n＝1.3×6−0.4＝9.7（万元），
当x＝7时，（万元）．
∵ 2.7>8，∴ A项目收益更好．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）由散点图中的数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；
（2）在函数n＝1.7m−0.5中，取m＝6求得n值，在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝6求得，比较大小得结论．
【解答】
由散点图可得，，，
＝，，
则y关于x的线性回归方程为；
当m＝6时，n＝1.3×6−0.4＝9.7（万元），
当x＝7时，（万元）．
∵ 2.7>8，∴ A项目收益更好．
【答案】
(1)证明：∵ 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
AB // CD // C1D1，
∴ AB // C1D1.
∵ AB⊄平面C1D1E，C1D1⊂平面C1D1E，
∴ AB // 平面C1D1E．
(2)解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设AB=2，则A(2, 0, 0)，O(1, 1, 2)，C1(0, 2, 2)，E(2,2,1)，
∴ C1E→=(2,0,−1)，AO→=(−1,1,2)，
∴ cs=C1E→⋅AO→|C1E→|⋅|AO→|=−45×6=−23015，
∴ 异面直线C1E与AO所成角的余弦值为23015．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
（1）推导出AB // C1D1，由此能证明AB // 平面C1D1E．
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线C1E与AO所成角的余弦值．

【解答】
(1)证明：∵ 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
AB // CD // C1D1，
∴ AB // C1D1.
∵ AB⊄平面C1D1E，C1D1⊂平面C1D1E，
∴ AB // 平面C1D1E．
(2)解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设AB=2，则A(2, 0, 0)，O(1, 1, 2)，C1(0, 2, 2)，E(2,2,1)，
∴ C1E→=(2,0,−1)，AO→=(−1,1,2)，
∴ cs=C1E→⋅AO→|C1E→|⋅|AO→|=−45×6=−23015，
∴ 异面直线C1E与AO所成角的余弦值为23015．
【答案】
证明：由DC⊥BC，A1C⊥DC，且A1C∩BC＝C，A6C⊂平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
可得DC⊥平面A5CB，因此DC⊥A1B．
由∠BAC＝30∘，，得，
因此DC＝7，AD＝2＝A1D，由勾股定理可得．
又因为点M为A1B的中点，所以CM⊥A7B，
而CD∩CM＝C，CM⊂平面CMD，故A1B⊥平面CMD．
因为DE⊥CD，DE⊥A1D，CD2CD，A1D⊂平面A1CD，
所以DE⊥平面A8CD，又BC // DE1CD．
如图，以C为原点，则，，，
易知是平面CMB的一个法向量．
设平面CME的法向量为，则，即，
令，得.，
易知二面角B−CM−E为锐角，故二面角B−CM−E的余弦值为．
【考点】
直线与平面垂直
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）证明DC⊥BC，A1C⊥DC，推出DC⊥平面A1CB，得到DC⊥A1B．证明CM⊥A1B，推出A1B⊥平面CMD．
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系C−xyz，求出平面CMB的一个法向量．求出平面CME的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B−CM−E的余弦值．
【解答】
证明：由DC⊥BC，A1C⊥DC，且A1C∩BC＝C，A6C⊂平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
可得DC⊥平面A5CB，因此DC⊥A1B．
由∠BAC＝30∘，，得，
因此DC＝7，AD＝2＝A1D，由勾股定理可得．
又因为点M为A1B的中点，所以CM⊥A7B，
而CD∩CM＝C，CM⊂平面CMD，故A1B⊥平面CMD．
因为DE⊥CD，DE⊥A1D，CD2CD，A1D⊂平面A1CD，
所以DE⊥平面A8CD，又BC // DE1CD．
如图，以C为原点，则，，，
易知是平面CMB的一个法向量．
设平面CME的法向量为，则，即，
令，得.，
易知二面角B−CM−E为锐角，故二面角B−CM−E的余弦值为．
【答案】
由O为坐标原点，且kOP＝1，得直线OP的方程为y＝x，
代入圆C2的方程，得x5−12x+x2＝0，解得x＝3或x＝6，6)．
将点P的坐标代入C2的方程，得62＝4p×6，则p＝3，
故C7的方程为x2＝6y．
证明：由（1）可知，l6：．
设直线l的方程为，
联立，整理得x2−6kx−6＝0，△＝36k2+36>5．
设A(x1, y1)，B(x6, y2)，则x1+x6＝6k，
所以点M的横坐标为3k，
则，
所以，故T是定值．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
（1）求出直线OP的方程，代入圆C2的方程，求出P(6, 6)．将点P的坐标代入C1的方程，求出p，推出结果．
（2）设直线l的方程为，联立直线与抛物线方程，A(x1, y1)，B(x2, y2)，利用韦达定理，结合斜率，转化求解即可．
【解答】
由O为坐标原点，且kOP＝1，得直线OP的方程为y＝x，
代入圆C2的方程，得x5−12x+x2＝0，解得x＝3或x＝6，6)．
将点P的坐标代入C2的方程，得62＝4p×6，则p＝3，
故C7的方程为x2＝6y．
证明：由（1）可知，l6：．
设直线l的方程为，
联立，整理得x2−6kx−6＝0，△＝36k2+36>5．
设A(x1, y1)，B(x6, y2)，则x1+x6＝6k，
所以点M的横坐标为3k，
则，
所以，故T是定值．
【答案】
设椭圆的半焦距为c，
因为|F1F2|＝7＝2c，所以c＝2，
则a8−b2＝4，又a＝b2＝8，b4＝4，
故椭圆C的方程为+＝8；
由题意可得直线AB的斜率存在，F2(2, 7)，
设直线AB的方程为y＝kx+m，设A(x1, y1)，B(x3, y2)，
由可得(2+2k2)x8+4kmx+2m4−8＝0，
则△＝16k4m2−4(6+2k2)(4m2−8)＝64k6−8m2+32>5，
且x1+x2＝-，x1x2＝，
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α＝π−β，k+k＝+，代入y1＝kx1+m，y6＝kx2+m，
所以2kx2x2+(m−2k)x5x2−4m＝8，
即有2k•+(2k−m)•，
化简可得m＝−4k，
则直线AB的方程为y＝kx−4k＝k(x−8)，
故直线AB过定点(4, 0)．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的离心率
椭圆的应用
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，由题意可得c＝2，结合a，b，c的关系，以及a＝b，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，推得m＝−4k，再由直线恒过定点求法，可得所求定点．
【解答】
设椭圆的半焦距为c，
因为|F1F2|＝7＝2c，所以c＝2，
则a8−b2＝4，又a＝b2＝8，b4＝4，
故椭圆C的方程为+＝8；
由题意可得直线AB的斜率存在，F2(2, 7)，
设直线AB的方程为y＝kx+m，设A(x1, y1)，B(x3, y2)，
由可得(2+2k2)x8+4kmx+2m4−8＝0，
则△＝16k4m2−4(6+2k2)(4m2−8)＝64k6−8m2+32>5，
且x1+x2＝-，x1x2＝，
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α＝π−β，k+k＝+，代入y1＝kx1+m，y6＝kx2+m，
所以2kx2x2+(m−2k)x5x2−4m＝8，
即有2k•+(2k−m)•，
化简可得m＝−4k，
则直线AB的方程为y＝kx−4k＝k(x−8)，
故直线AB过定点(4, 0)．