2020-2021学年安徽某校高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽某校高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线3x−y+3＝0的倾斜角是（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.150∘

2. 下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有（ ）
①三角形的直观图是三角形． ②平行四边形的直观图是平行四边形．
③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形．
A.①B.①②C.③④D.①②③④

3. 已知A(1, 2)，B(−1, 0)，C(4, m)三点在一条直线上，则m的值为（ ）
A.−3B.−5C.3D.5

4. 下列命题正确的是（ ）
A.四边形确定一个平面
B.一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
C.一条直线与平面内无数条直线垂直，则该直线与此平面垂直
D.一个平面内两条相交直线与另一平面内两条相交直线分别平行，则这两个平面平行

5. 两圆x2+y2＝5和x2+y2−8x+6y+17＝0的位置关系是（ ）
A.相离B.外切C.相交D.内切

6. 已知直线l1:x−my+3＝0与直线l2:mx+(m−2)y−8＝0，且l1⊥l2，则m的值为（ ）
A.3或0B.3C.−2或1D.1

7. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积为（ ）

A.2B.6C.3D.33

8. 已知直线l1:mx−y+m−1＝0与射线l2:x−y−2＝0(x≥0)恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A.(−∞, −1]∪(1, +∞)B.(−∞, −1]∪[1, +∞)
C.[−1, 1)D.[−1, 1]

9. 已知三角形△ABC的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，∠C＝90∘，分别以BC，AC，AB所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A.S1+S2＝S3B.C.D.

10. 已知点P(1, m)(m∈R)，若过点P作圆C：(x+2)2+y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB≥，则m的取值范围是（ ）
A.-≤m≤B.-≤m≤C.−2≤m≤2D.-≤m≤

11. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E是AB中点，点F为BC的中点，平面D1EF与棱CC1的交点为P，则的值为（ ）
A.1B.C.D.

12. 已知过点M(x0, y0)向圆(x+1)2+(y−2)2＝1引一条切线，切点为N，且|MN|＝|MO|，O为坐标原点，则|MN|的最小值为（ ）
A.B.C.D.1
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分

两平行直线x+3y−3＝0与2x+6y+3＝0之间的距离等于________．

已知三棱锥P−ABC三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P−ABC外接球的体积为________．

已知四棱锥P−ABCD的底面是ABCD是矩形，平面PCD⊥底面ABCD，且AB＝4，BC＝2，PC＝PD＝2，则直线PB与AC所成角的余弦值为________．

定义点M(x1, y1)，N(x2, y2)之间的“直角距离”为d(M, N)＝|x1−x2|+|y1−y2|，若点A(x, y)到点B(1, 3)的“直角距离”等于2，其中x，y满足0≤x≤5，0≤y≤5，则所有满足条件的点A的轨迹的长度之和为________．
三、解答题：本题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1, −2)，B(1, 1)，C(3, 5)．
(Ⅰ)求BC边上的中线AD所在直线方程：．
(Ⅱ)求BC边上的高AE所在直线方程．

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1＝A1C1，点D、E分别为AA1、B1C1的中点．
(Ⅰ)证明：A1E // 平面DCB1；
(Ⅱ)证明：平面DCB1⊥平面BB1C1C．


已知圆C过点A(0, 1)，圆心C(a, b)(a>0)在直线l:x−3y＝0上；
(Ⅰ)若圆C被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程；
(Ⅱ)当圆C面积最小时，求圆C的方程．

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别为是AB、B1C中点．
(Ⅰ)证明：EF // 平面AB1C1；
(Ⅱ)求直线CE与平面D1B1C所成角的正弦值．


已知圆C经过坐标原点，且与直线x−y+2=0相切，切点为A(2, 4)．
1求圆C的方程；

2若斜率为−1的直线l与圆C相交于不同的两点M，N，求AM→⋅AN→的取值范围..

如图1所示在平行四边形ABCD中，AB＝BD＝，AD＝2，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折起，使得AC⊥BD得到如图2所示的四棱锥A−BCDE，点F为AC的中点．
(Ⅰ)在图2中，证明BD⊥AE；
(Ⅱ)在图2中，求点A到平面BEF的距离．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽某校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题，本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
设直线3x−y+3＝0的倾斜角为θ．由直线3x−y+3＝0化为y=3x+3，可得tanθ=3，即可得出．
【解答】
设直线3x−y+3＝0的倾斜角为θ．
由直线3x−y+3＝0化为y=3x+3，
∴ tanθ=3，
∵ θ∈[0, π)，∴ θ＝60∘．
2.
【答案】
B
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
D
【考点】
三点共线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．
【解答】
根据几何体的三视图转换为几何体为：
该几何体为四棱锥体．
如图所示：
所以：V=13×12(1+2)×2×3=3．
故选：C．
8.
【答案】
C
【考点】
两条直线的交点坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
D
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分
【答案】
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
43π
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
首先求出球的半径，进一步求出球的体积．
【解答】
三棱锥P−ABC三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，设外接球的半径为r，
则4r2＝4+4+4，解得r=3，
所以V=43⋅π⋅(3)3=43π．
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
6
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：本题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
（1）因为B(1, 1)，7)，3)，
因为A(−1, −3)在BC边上的中线上，
即BC边上的中线所在直线的方程为5x−3y−3＝0，
（2）因为B(1, 4)，5)＝7，
因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-，
因为A(−7, −2)在BC边上的高上(x+1)，
即BC边上的高所在直线的方程为x+2y+3＝（0）
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：(Ⅰ)连接BC1交B1C于O，则O为矩形BB4C1C的中心，
连接DO，OE1 // A8D，，
可得四边形DA1EO为平行四边形，则A5E // DO，
∵ DO⊂平面DCB1，A1E⊄平面DCB3，
∴ A1E // 平面DCB1；
（2）∵ ABC−A5B1C1是直三棱柱，∴ 平面BB2C1C⊥底面A1B6C1，
又A1B4＝A1C1，E是B8C1的中点，∴ A1E⊥B2C1，
而平面BB1C8C∩底面A1B1C5＝B1C1，A4E⊂平面A1B1C8，
∴ A1E⊥平面CBB1C3，
由(Ⅰ)知A1E // DO，∴ DO⊥平面CBB1C3，
而DO⊂平面DCB1，∴ DCB1⊥平面BB6C1C．
【考点】
直线与平面平行
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）∵ 圆心C(a, b)(a>0)在直线l:x−3y＝7上，即圆心C(3b．
又圆C过点A(0, 2)＝，
且圆心C到直线y＝x的距离为d＝＝b．
若圆C被直线y＝x截得的弦长为2，则 +＝10b2−2b+1，
求得b＝1，故圆心C(2、半径r＝32+(y−7)2＝9．
（2）由于圆C的半径为＝，故当半径最小时，
故当b＝时，圆的面积最小．
此时，圆心C（，），圆的方程为 +＝．
【考点】
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，
∵ F为B1C的中点，∴ FG // BC // B8C1，
∵ B1C6⊂平面AB1C1，FG⊄平面AB3C1，
∴ FG // 平面AB1C7，
又E为AB的中点，∴ EG // AB1，
∵ AB1⊂平面AB8C1，EG⊄平面AB1C2，
∴ EG // 平面AB1C1，
∵ GF、EG⊂平面EFG，
∴ 平面EFG // 平面AB6C1，则EF // 平面AB1C6；
（2）以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则E(2, 5, 0)，2，4)，B1(2, 3, 2)，D1(2, 0, 2)，
A(8, 0, 0)，C6(0, 2, 5)，
，，，
∵ ＝5，，∴ 是平面D1B1C的一个法向量，
又，
设直线CE与平面D6B1C所成角为θ，
则sinθ＝|cs<，>|＝＝．
∴ 直线CE与平面D1B1C所成角的正弦值为．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：1解法一：圆的圆心为C，
依题意得直线AC的斜率KAC=−1，
∴ 直线AC的方程为y−4=−(x−2)，
即x+y−6=0．
∵ 直线OA的斜率KOA=42=2，
∴ 线段OA的垂直平分线为y−2=−12(x−1)，
即x+2y−5=0．
解方程组x+y−6=0，x+2y−5=0，
得圆心C的坐标为(7, −1)．
∴ 圆C的半径为r=|AC|
=(7−2)2+(−1−4)2=52，
∴ 圆C的方程为(x−7)2+(y+1)2=50．
解法二：设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
依题意得 (2−a)2+(4−b)2=r2,|a−b+2|2=r,a2+b2=r2,
解得 a=7,b=−1,r=52,
∴ 圆的方程为：(x−7)2+(y+1)2=50．
2解：设直线l的方程为y=−x+m，
M(x1, y1)，N(x2, y2)．
由 y=−x+m，(x−7)2+(y+1)2=50，
消去y得 2x2−(2m+16)x+m2+2m=0．
∴ x1+x2=m+8，x1⋅x2=m2+2m2．
∴ AM→⋅AN→=(x1−2)(x2−2)+(y1−4)(y2−4)
=(x1−2)(x2−2)+(−x1+m−4)(−x2+m−4)
=2x1⋅x2−(m−2)(x1+x2)+(m−4)2+4
=m2+2m−(m−2)(m+8)+(m−4)2+4
=m2−12m+36=(m−6)2．
∵ 直线l与圆C相交于不同两点，
∴ |7−1−m|2<52，
解得−4∴ 0≤(m−6)2<100，
∴ AM→⋅AN→的取值范围是[0, 100)．
【考点】
平面向量数量积的运算
直线与圆的位置关系
圆的一般方程
点到直线的距离公式
【解析】
（1）解法一：求出直线AC的方程，再求出线段OA的垂直平分线方程，联立方程组求出圆心C的坐标，可得圆的半径，
从而写出C的方程．
解法二：设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，根据点A和点O在圆上，圆心到切线的距离等于半径建立方程组，
求出a、b、r的值 从而求出C的方程．
（2）解：设直线l的方程为y=x+m，M(x1, y1)，N(x2, y2)，把直线方程代入圆的方程利用根与系数的关系求出
x1+x2和x1⋅x2的值，代入 AM→⋅AN→ 的解析式化简为(m−6)2．再根据圆心到直线的距离小于半径求出m的范围，即可得到(m−6)2的距离．
【解答】
解：1解法一：圆的圆心为C，
依题意得直线AC的斜率KAC=−1，
∴ 直线AC的方程为y−4=−(x−2)，
即x+y−6=0．
∵ 直线OA的斜率KOA=42=2，
∴ 线段OA的垂直平分线为y−2=−12(x−1)，
即x+2y−5=0．
解方程组x+y−6=0，x+2y−5=0，
得圆心C的坐标为(7, −1)．
∴ 圆C的半径为r=|AC|
=(7−2)2+(−1−4)2=52，
∴ 圆C的方程为(x−7)2+(y+1)2=50．
解法二：设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
依题意得 (2−a)2+(4−b)2=r2,|a−b+2|2=r,a2+b2=r2,
解得 a=7,b=−1,r=52,
∴ 圆的方程为：(x−7)2+(y+1)2=50．
2解：设直线l的方程为y=−x+m，
M(x1, y1)，N(x2, y2)．
由 y=−x+m，(x−7)2+(y+1)2=50，
消去y得 2x2−(2m+16)x+m2+2m=0．
∴ x1+x2=m+8，x1⋅x2=m2+2m2．
∴ AM→⋅AN→=(x1−2)(x2−2)+(y1−4)(y2−4)
=(x1−2)(x2−2)+(−x1+m−4)(−x2+m−4)
=2x1⋅x2−(m−2)(x1+x2)+(m−4)2+4
=m2+2m−(m−2)(m+8)+(m−4)2+4
=m2−12m+36=(m−6)2．
∵ 直线l与圆C相交于不同两点，
∴ |7−1−m|2<52，
解得−4∴ 0≤(m−6)2<100，
∴ AM→⋅AN→的取值范围是[0, 100)．
【答案】
证明：(Ⅰ)连接CE，
在原平行四边形ABCD中，由AB＝BD＝，点E是AD的中点，
可得BE＝，EC＝，
得sin∠ECB＝＝，cs∠DBC＝cs∠EDB＝＝，
∴ sin∠ECB＝cs∠DBC，即∠ECB+∠DBC＝，
又AC⊥BD，AC∩CE＝C，
∴ BD⊥平面AEC，得BD⊥AE；
（2）设点A到平面BEF的距离为h，
由(Ⅰ)知AE⊥BD，又AE⊥EB，
∴ AE⊥平面BCDE，得AE⊥EC，
∴ EF＝AC＝，
由AE⊥平面BCDE，AE⊂平面ABE，
而平面ABE∩平面BCDE＝BE，BC⊥BE，
则BF＝AC＝，
则＝，
又VA−BEF＝VF−ABE，∴ ，
得，即h＝．
∴ 点A到平面BEF的距离为．
【考点】
直线与平面垂直
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答