2020-2021学年湖北省武汉市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知数列an中， a1=1， an+1=12an+1，则a4的值为( )
A.318B.154C.78D.158

2. 直线3x−2y−6=0在x轴、y轴上的截距之和为( )
A.7B.−1C.1D.712

3. 等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3+a8+a13是一个定值，则下列各数也为定值的有（ ）
A.a7B.a16C.S15D.S16

4. 如图所示，在棱长为1的正方体中，下列各点在正方体表面的是( )

A.1,12,−15B.25,−15,15C.15,12,12D.1,12,13

5. 已知圆C: x−32+y−22=16，过点M1,1的直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|最短时直线l的方程为（ ）
A.2x−y−1=0B.2x+y−3=0C.x−2y+1=0D.x+2y−3=0

6. 等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列．则S4=( )
A.7B.8C.16D.15

7. 如图所示的坐标系中有矩形OACB， OA=4，OB=3，M，N分别为边OA，OB上的动点，P为MN的中点，且MN=2．则AP所在直线的斜率的最小值为( )

A.−1515B.1515C.−14D.−142−1

8. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y−4=0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.4π5B.3π4C.6−25πD.5π4
二、多选题

已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:k+1x+ky+k=0k∈R，则下列结论错误的是( )
A.不存在k，使得l2的倾斜角为90∘
B.对任意的k，l1与l2都有公共点
C.对任意的k，l1与l2都不重合
D.对任意的k，l1与l2都不垂直

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an−a)（其中a为常数），则下列说法正确的是( )
A.数列{an}一定是等比数列B.数列{an}可能是等差数列
C.数列{Sn}可能是等比数列D.数列{Sn}可能是等差数列

圆O1:x2+y2−2x=0和圆O2:x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则有( )
A.公共弦AB所在直线方程为x−y=0
B.线段AB中垂线方程为x+y−1=0
C.公共弦AB的长为22
D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为22+1

Sn为等差数列an的前n项和，S190，则直线a1x+dy+5=0斜率取值可能为( )
A.9.2B.9C.9.4D.−10
三、填空题

已知m≠0，则过点(1, −1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为________．

数列an的通项公式为an=n−61n−63，则an取得最大值时， n=________.

若直线l:ax−by−1=0始终平分圆C:x2+y2−4x+2y+1=0的周长，则a−42+b−32的最小值是________.

我们把 Fn=22n+1(n=0,1,2,⋯) 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设 an=lg2(Fn−1) ，n=1,2,3,⋯，Sn 表示数列 {an} 的前n项之和，则使不等式 22S1S2+23S2S3+⋯+2n+1SnSn+11，然后结合a是否为0可进行判定是否满足等差或等比．
【解答】
解：Sn=2(an−a)，Sn−1=2(an−1−a)，n∈N，n≥2，
两式相减：an=2an−2an−1，an=2an−1，n≥2，
若a=0，令n=1，a1=2(a1−0)，a1=0，则an=0，此时是等差数列，不是等比数列，
若a≠0，令n=1，a1=2(a1−a)，a1=2a，则an=2an−1，n≥2，此时不是等差数列，
所以数列{an}不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A错误，B正确.
又Sn=2(an−a)=2(Sn−Sn−1−a)，n≥2，n∈N∗，得Sn=2Sn−1+2a，
要使{Sn}为等比数列，必有a=0，已求得此时a1=2(a1−0)，即a1=0，
则an=0，Sn=0，
此时{Sn}是一个所有项为0的常数列，
所以{Sn}不可能为等比数列，
所以C错误D正确.
故选BD.
【答案】
A,B,D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
垂径定理
点到直线的距离公式
【解析】
两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B，求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】
解：∵圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x−y=0，故A正确；
∵O11,0，O2−1,2，O1O2所在直线斜率为−1，
∴线段AB的中垂线的方程为y−0=−x−1，即x+y−1=0，故B正确；
圆O1：x2+y2−2x=0的圆心为O11,0，半径r1=1，
圆心O11,0到直线x−y=0的距离d=12=22．
∴P到直线AB距离的最大值为22+1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为21−12=2，故C错误，D正确．
故选ABD．
【答案】
A,C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
根据S190，代入等差数列求和公式得到a1，d的不等关系，进而求出−a1d的范围即可得到答案.
【解答】
解：由S190，a20>0，
所以a10，
S19=19(a1+a19)2=19(a1+a1+18d)2=19a1+171d17119=9.
又S20=20(a1+a20)2=20(a1+a1+19d)2=20a1+190d>0，
所以−a1d