山东省威海市文登区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）（word版含答案）

这是一份山东省威海市文登区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）（word版含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≥2C．x＞2D．x＞2且x≠0
2．矩形的正投影不可能是（ ）
A．矩形B．梯形C．正方形D．线段
3．若sinα＞csα，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．45°＜α＜90°
4．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）
A．2.5mB．5mC．D．10m
6．已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（﹣1，﹣1），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣5）2+1B．y＝（x﹣5）2﹣1
C．y＝（x+4）2﹣10D．y＝3（x﹣7）2﹣1
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
8．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元B．36元C．37元D．36或37元
9．以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b＜1B．﹣＜b＜C．﹣＜b＜0D．0＜b＜
10．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
11．如图，一副三角板ABC，DEF如图摆放，使点D与BC的中点重合，DF经过点A，DE交AB与点G．将三角板DEF绕点D顺时针旋转至△DE'F'处，DE'，DF'分别与AB，AC交于点M，N，则＝（ ）
A．B．C．D．
12．如图，抛物线y＝x2﹣2x+m交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①无论m取何值，CD＝恒成立；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣2，则b＝6；④P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．计算：（﹣）﹣2﹣3tan30°+（3﹣π）0﹣|1﹣|＝ ．
14．疫情防控期间，各学校严格落实测体温进校园的防控要求，某学校开设了A，B，C三个测温通道．某天早晨，小明和小红两位同学随机通过测温通道进入校园，则小明和小红从同一通道进入校园的概率为 ．
15．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的图案，若大圆的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，点A在反比例函数y＝图象上，且A（1，m），B是第三象限内反比例函数y＝的图象上一个动点．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接CD．若四边形ABDC的面积为6，则点B的坐标为 ．
17．如图1，AO，BC是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线y＝﹣x+4的图象．因实际需要，在OA与BC间用一根高为2.5m的立柱MN将绳子撑起，若立柱MN到OA的水平距离为3m，MN左侧抛物线的最低点D与MN的水平距离为1m，则点D到地面的距离为 ．
18．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，以OD，OC为一组邻边做正方形DOCC1；CD，OC1交于点O1，以O1D，O1C1为一组邻边做正方形DO1C1C2；C1D，O1C2交于点O2，以O2D，O2C2为一组邻边做正方形DO2C2C3…．若AB＝1，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（10分）（1）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
（2）解不等式组．
20．（7分）如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，底面圆的半径为2cm．
（1）请画出该零件的三视图；
（2）若用该零件的俯视图围成一个圆锥，求这个圆锥的高．
21．（7分）如图，有四张背面完全相同的卡片A，B，C，D，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率是 ；
（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
22．（9分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（3，4），B（2m，﹣6），C（﹣6，2m），B，C在第三象限，顺次连接A，B，C．
（1）求B，C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若直线AB的解析式为y＝mx+n，则关于x的不等式mx+n＞的解集为 ．
23．（10分）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳蓬，且AB＝1.5m，遮阳蓬与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD．
24．（11分）如图1，AB为⊙O的直径，AB⊥CD于点M，点E为CM上一点，AE的延长线交⊙O于点F，AE＝DE．点N为AF的中点，连接ON．
（1）判断△ADF的形状，并说明理由；
（2）求证：OM＝ON；
（3）如图2，连接FB并延长，过点D做DG⊥FB，交FB的延长线于点G，求证：DG是⊙O的切线．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（2，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）如图2，过点C的直线交抛物线于点D，若∠ACD＝45°，求点D的坐标．
2020-2021学年山东省威海市文登区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≥2C．x＞2D．x＞2且x≠0
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得，x＞2，
故选：C．
2．矩形的正投影不可能是（ ）
A．矩形B．梯形C．正方形D．线段
【分析】根据正投影的意义得出答案．
【解答】解：用平行光线对矩形从不同的方向，不同的角度正投影，可以得到矩形、正方形、线段，不可能是梯形，
故选：B．
3．若sinα＞csα，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．45°＜α＜90°
【分析】利用csα＝sin（90°﹣α），载根据锐角三角函数的增减性，即可求出α的取值范围．
【解答】解：∵csα＝sin（90°﹣α），sinα＞csα，
∴sinα＞sin（90°﹣α），
∴α＞90°﹣α，
∴α＞45°，
又∵α为锐角，
∴45°＜x＜90°，
故选：D．
4．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】用白色区域的面积除以正六边形的面积即可求得答案．
【解答】解：设正六边形的边长为a，则白色部分的面积3××a×a＝，灰色区域的面积为a×a＝，
所以正六边形的面积为，
所以飞镖落在白色区域的概率为＝，
故选：A．
5．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）
A．2.5mB．5mC．D．10m
【分析】利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
【解答】解：∵水平距离为5m，坡比为i＝1：2.5，
∴铅直高度为5÷2.5＝2（m）．
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株树间的坡面距离为＝（m）．
故选：C．
6．已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（﹣1，﹣1），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣5）2+1B．y＝（x﹣5）2﹣1
C．y＝（x+4）2﹣10D．y＝3（x﹣7）2﹣1
【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝a（x+1）2﹣1．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点（2，2）代入即可．
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝a（x+1）2﹣1（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝a（2+1）2﹣1，
解得a＝．
故原来的抛物线解析式是：y＝（x+1）2﹣1．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2﹣1．
把点（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2﹣1．
解得b＝﹣1（舍去）或b＝5．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣5）2﹣1．
故选：B．
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
【分析】连接AD，根据BD为⊙O的直径，可得∠BAD＝90°，根据∠ACB＝∠D，可得∠D＝30°．进而可得AB的长．
【解答】解：如图，连接AD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝∠D，
∴∠ABD＝2∠C＝2∠D，
∵∠D+∠ABD＝90°，
∴∠D＝30°．
∴∠ABD＝60°，
∴AB＝OB＝0.5BD＝5．
故选：B．
8．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元B．36元C．37元D．36或37元
【分析】设销售单价上涨x元，月销售利润为y元．由每件商品售价不能高于40元，得出x的取值范围；根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设销售单价上涨x元，月销售利润为y元．
∵每件商品售价不能高于40元，
∴0≤x≤10，
依题意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x）
＝﹣10x2+140x+2400
＝﹣10（x﹣7）2+2890，
∴当x＝7时，y最大＝2890，
∴每件商品售价为30+7＝37（元），
故选：C．
9．以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b＜1B．﹣＜b＜C．﹣＜b＜0D．0＜b＜
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB＝b，
即△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝＝b，
连接圆心O和切点C．
则OC＝1，OC⊥AB，
∴OC＝AB，
∴1＝×b，
∴b＝，
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣＜b＜，
故选：B．
10．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
11．如图，一副三角板ABC，DEF如图摆放，使点D与BC的中点重合，DF经过点A，DE交AB与点G．将三角板DEF绕点D顺时针旋转至△DE'F'处，DE'，DF'分别与AB，AC交于点M，N，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意可知D是BC的中点，∠BAC＝90°，根据题意可得∠AGD＝∠CAD，设△DEF绕点D顺时针旋转了α，可以证明△GDM∽△AND，继而得到，即可得到答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，∠BAC＝90°，
∴BD＝CD＝AD，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝60°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠AGD＝60°，
∴∠AGD＝∠CAD，
设△DEF绕点D顺时针旋转了α，
∴∠GDM＝∠AND＝α，
∴△GDM∽△AND，
∴，
在Rt△GAD中，tan∠GAD＝＝tan30°＝，
∴．
故选：A．
12．如图，抛物线y＝x2﹣2x+m交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①无论m取何值，CD＝恒成立；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣2，则b＝6；④P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④
【分析】①先求出C、D的坐标，再根据两点距离公式求得CD，便可判断；
②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断；
③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；
④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论．
【解答】解：①∵y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，
∴C（0，m），D（1，m﹣1），
∴CD＝＝，
故①正确；
②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，﹣1），
∴AD＝BD＝，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故②正确；
③当a＝﹣2时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∵对称轴x＝1，
∴另一个交点坐标为（4，0），
∴b＝4，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则1﹣x1＜x2﹣1
∴y1＜y2．
故④正确．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．计算：（﹣）﹣2﹣3tan30°+（3﹣π）0﹣|1﹣|＝ 6﹣2 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3×+1﹣（﹣1）
＝4﹣+1﹣+1
＝6﹣2．
故答案为：6﹣2．
14．疫情防控期间，各学校严格落实测体温进校园的防控要求，某学校开设了A，B，C三个测温通道．某天早晨，小明和小红两位同学随机通过测温通道进入校园，则小明和小红从同一通道进入校园的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表格如下：
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小明和小红从同一个测温通道通过的概率为＝，
故答案为：．
15．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的图案，若大圆的半径为2，则阴影部分的面积为 4π﹣8 ．
【分析】大圆半径为2，则小圆半径为1，所以大圆面积＝4个小圆的面积＝4π，即可得出四周阴影部分的区域面积和中间阴影部分的区域面积相等，根据扇形面积和三角形面积公式求得中间阴影部分的面积＝（•π•12﹣）×8＝2π﹣4，从而求得阴影面积为4π+8．
【解答】解：∵大圆半径为2，则小圆半径为1，
∴大圆面积＝22π＝4π，4个小圆的面积＝4×12×π＝4π，
∴四周阴影部分的区域面积和中间阴影部分的区域面积相等，
∵中间阴影部分的面积＝（•π•12﹣）×8＝2π﹣4，
∴阴影部分的面积为4π﹣8，
故答案为：4π﹣8．
16．如图，点A在反比例函数y＝图象上，且A（1，m），B是第三象限内反比例函数y＝的图象上一个动点．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接CD．若四边形ABDC的面积为6，则点B的坐标为 ．
【分析】连接AD，求出点A的坐标，设B（x，），根据S四边形ABCD＝S△ACD+S△BAD＝6列出方程，即可求出x的值，进而求出B点坐标．
【解答】解：连接AD，
∵点A在反比例函数y＝图象上，且A（1，m），
∴m＝＝5，
∴A（1，5），
设B（x，），
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△BAD＝×1×5+BD•（﹣x+1）＝6，
即﹣••（﹣x+1）＝6
整理得2x＝﹣5，
∴x＝﹣，
∴＝﹣2，
∴B（﹣，﹣2），
故答案为：（﹣，﹣2）．
17．如图1，AO，BC是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线y＝﹣x+4的图象．因实际需要，在OA与BC间用一根高为2.5m的立柱MN将绳子撑起，若立柱MN到OA的水平距离为3m，MN左侧抛物线的最低点D与MN的水平距离为1m，则点D到地面的距离为 2m ．
【分析】由已知抛物线确定点A的坐标，结合已知确定点N的坐标，再用待定系数法求得点N左侧的抛物线的解析式，则可得答案．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x+4，
∴点A的坐标为（0，4），
∵立柱MN到OA的水平距离为3m，MN左侧抛物线的最低点D与MN的水平距离为1m，
∴点N左侧的抛物线的顶点的横坐标为2，点N的坐标为（3，），
设点N左侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，把（0，4），（3，）分别代入解析式，得：
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+2，
∴点D到地面的距离为2m．
故答案为：2m．
18．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，以OD，OC为一组邻边做正方形DOCC1；CD，OC1交于点O1，以O1D，O1C1为一组邻边做正方形DO1C1C2；C1D，O1C2交于点O2，以O2D，O2C2为一组邻边做正方形DO2C2C3…．若AB＝1，则的值为 ．
【分析】利用正方形的性质得到OA＝OB＝OD＝OC＝，则＝，再求出O1D＝，则O1D2＝（）2＝，接着求出O2D＝，则＝（）2＝，然后利用面积的变化规律求出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝OD＝OC＝AB＝×1＝，
∴＝OD2＝（）2＝，
同理可得O1D＝×＝，
∴＝O1D2＝（）2＝，
O2D＝×＝，
∴＝（）2＝，
•••，
∴＝．
故答案为．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（10分）（1）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
（2）解不等式组．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当x＝时，
原式＝＝；
（2）解不等式3x+1＜2x+3，得：x＜2，
解不等式x＞1﹣，得：x＞，
∴不等式组的解集为＜x＜2．
20．（7分）如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，底面圆的半径为2cm．
（1）请画出该零件的三视图；
（2）若用该零件的俯视图围成一个圆锥，求这个圆锥的高．
【分析】（1）根据三视图的画法画出主视图、左视图、俯视图即可；
（2）先求出圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理求出圆锥的高即可．
【解答】解：（1）该几何体的三视图如下：
（2）俯视图扇形的弧长为cm，
设圆锥的底面半径为rcm，则有2πr＝，
解得，圆锥底面圆的半径r＝cm，
所以圆锥的高为＝（cm）．
21．（7分）如图，有四张背面完全相同的卡片A，B，C，D，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率是 ；
（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率是＝．
故答案为：．
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中抽出的两张卡片上的函数增减性相同的有4种，抽出的两张卡片上的函数增减性不同的有8种，
则抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率是＝，抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是＝，
∵，
∴不公平．
22．（9分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（3，4），B（2m，﹣6），C（﹣6，2m），B，C在第三象限，顺次连接A，B，C．
（1）求B，C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若直线AB的解析式为y＝mx+n，则关于x的不等式mx+n＞的解集为 ﹣2＜x＜0或x＞3 ．
【分析】（1）将点A（3，4）代入反比例函数y＝，求出k的值，根据反比例函数解析式可求出B，C的坐标；
（2）过点A作AD⊥x轴，过点B作BD⊥y轴，AD、BD交于点D，过点C作CE⊥BD，交DB延长线于E．由A、B、C的坐标可求出AD、BD、BE、CE的长，根据S△ABC＝S梯形ADEC﹣S△ABD﹣S△EBC，即可求解；
（3）根据图象，求出直线落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B（2m，﹣6），C（﹣6，2m），
∴2m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣6），C（﹣6，﹣2）；
（2）如图，过点A作AD⊥x轴，过点B作BD⊥y轴，AD、BD交于点D，过点C作CE⊥BD，交DB延长线于E．
∵A（3，4），B（﹣2，﹣6），C（﹣6，﹣2），
∴AD＝10，BD＝5，BE＝4，CE＝4，
∴DE＝BD+BE＝9，
∴S△ABC＝S梯形ADEC﹣S△ABD﹣S△EBC
＝×（4+10）×9﹣×10×5﹣×4×4
＝63﹣25﹣8
＝30；
（3）由图象可知，关于x的不等式mx+n＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞3．
23．（10分）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳蓬，且AB＝1.5m，遮阳蓬与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD．
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，解直角三角形求出EC，DE，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，
由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，
∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，
∴∠BDA＝∠ADB＝30°，
∴AB＝BD＝1.5m，
∴BE＝BD•cs60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），
∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴AD＝AC＝2DE＝1.5，
∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，
∴CD＝＝＝．
24．（11分）如图1，AB为⊙O的直径，AB⊥CD于点M，点E为CM上一点，AE的延长线交⊙O于点F，AE＝DE．点N为AF的中点，连接ON．
（1）判断△ADF的形状，并说明理由；
（2）求证：OM＝ON；
（3）如图2，连接FB并延长，过点D做DG⊥FB，交FB的延长线于点G，求证：DG是⊙O的切线．
【分析】（1）△ADF是等腰三角形，连接AC，由垂径定理得到∠ACD＝∠ADC，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠AFD，再由AE＝DE得到∠FAD＝∠ADC，等量代换得到∠AFD＝∠FAD，即可得解；
（2）连接AC，OE，OD，根据SSS判定△AOE≌△DOE，即可得到∠AEO＝∠DEO，再根据角平分线的性质即可得解；
（3）连接OE，OD，由（2）知，△AOE≌△DOE，可得∠AOE＝∠DOE，即可推出点N、O、D三点共线，根据题意得到∠DGF＝90°＝DNF＝∠NFG，即可判定四边形DNFG是矩形，即可证出DG是⊙O的切线．
【解答】解：（1）△ADF是等腰三角形，理由如下：
如下图，连接AC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠ADC，
∵AE＝DE，
∴∠FAD＝∠ADC，
∴∠AFD＝∠FAD，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）如下图，连接AC，OE，OD，
在△AOE和△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠AEO＝∠DEO，
∵点N为AF的中点，
∴ON⊥AE，
∵OM⊥ED，
∴OM＝ON；
（3）如图2，连接OE，OD，
由（2）知，△AOE≌△DOE，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵∠NOE＝∠AOE﹣∠AON，∠MOE＝∠DOE﹣∠DOM，∠AON＝∠DOM，
∴∠NOE＝∠MOE，
∵∠AOE+∠MOE＝180°，
∴∠DOE+∠NOE＝180°，
即点N、O、D三点共线，
∴DN⊥AF，
∴∠DNF＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFN＝90°，
∵DG⊥FB，
∴∠DGF＝90°＝DNF＝∠NFG，
∴四边形DNFG是矩形，
∴DG⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DG是⊙O的切线．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（2，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）如图2，过点C的直线交抛物线于点D，若∠ACD＝45°，求点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）过点A作AE⊥AC点A，交BC于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，证出EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AF＝4﹣x，证出△AOC∽△EFA，求出x＝1，求出；
（3）过点A作AM⊥AC于点A，交CD于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，证出△AOC≌△MNA（AAS），求出点M（8，2），求出直线MC的解析式，列方程组求出点D坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（2，0），B（6，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）连接AC，过点A作AE⊥AC点A，交BC于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵AE⊥AC，EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∵B（6，0），C（0，6），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
设EF＝BF＝x，则AF＝4﹣x，
∵∠CAO+∠EAF＝90°，∠AEF+∠EAF＝90°，
∴∠CAO＝∠AEF，
又∵∠COA＝∠EFA＝90°，
∴△AOC∽△EFA，
∴＝，
即＝，
解得x＝1，
∴tan∠ACB＝；
（3）连接AC，过点A作AM⊥AC于点A，交CD于点M，
过点M作MN⊥x轴于点N，
∵∠ACD＝45°，∠CAM＝90°，
∴△CAN是等腰直角三角形，
∴AC＝AM，
∵∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠MAN＝90°，
∴∠ACO＝∠MAN，
又∵∠COA＝∠ANM＝90°，
∴△AOC≌△MNA（AAS），
∴MN＝OA＝2，AN＝OC＝6，
∴点M（8，2），
设直线MC的解析式为y＝kx+b，
将C、M点坐标代入，得，
解得，
∴直线MC的解析式，
联立直线MC和抛物线的解析式，得，
解得（舍去）或，
∴点D坐标．
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C