浙江省金华市义乌市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份浙江省金华市义乌市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．一个数的相反数是﹣2020，则这个数是（　　）A．2020 B．﹣2020 C． D．2．用科学记数法表示439000，结果应为（　　）A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×1033．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（　　）A． B． C． D．4．在数轴上表示不等式组﹣2≤x＜4，正确的是（　　）A． B． C． D．5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a、b同号 D．a、b异号，且正数的绝对值较大6．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）A．70° B．110° C．130° D．140°7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（　　）A． B． C． D．8．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是（　　）A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本9．如图，AC垂直于AB，P为线段AC上的动点，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.4m，CF＝1.2m，∠DPE＝15°．若∠PEB＝90°，∠EBA＝65°，则AP的长约为（　　）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）A．1.2 B．1.3m C．1.5m D．2.0m10．某班“数学兴趣小组”探究出了有关函数y＝|﹣2|（图象如图）的三个结论：①方程|﹣2|＝0有1个实数根，该方程的根是x＝3；②如果方程|﹣2|＝a只有一个实数根，则a的取值范围是a＝2或a＝0；③如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．你认为正确的结论个数有（　　）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2﹣9＝　           　．12．（4分）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为S甲2＝3.6，S乙2＝15.8，则　 　种小麦的长势比较整齐．13．（4分）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，C两点，与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2，则点C的坐标是　                　．14．（4分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝　   　°（点A、B、C、D、E是网格线交点）．15．（4分）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为　   　m．（边缘部分的厚度忽略不计）16．（4分）在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连接BE．（1）如图1，若AB＝AE＝AF，点G是BE的中点，则＝　                　．（2）如图2，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEQ，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BQ的中点T，经过的路径长为a，AC的长为b，则＝　                　．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．（6分）计算：|﹣2|+（3﹣π）0﹣+6cos30°．18．（6分）化简（+）×，并从1，2，3中选取所有合适的数作为a代入求值．19．（6分）为了了解中考英语人机对话日常训练情况，某市从某校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次英语人机对话测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是　   　人；（2）图1中∠α的度数是　   　，并把图2条形统计图补充完整；（3）今年该市九年级大约有学生20000名，如果全部参加这次中考英语人机对话测试，请估计不及格的人数为多少人？20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标．（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．21．（8分）如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD，OC，且OC交DB于点E．若．（1）求∠COB的大小和⊙O的半径长．（2）求由弦CD，BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．22．（10分）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．23．（10分）如图，四边形OBAC中，OB⊥OC，且满足∠BAC＝90°，连接AO．（1）如图1，当∠AOB＝45°时，求证：AB＝AC．（2）如图2，若tan∠AOB＝，求的值．（3）如图3，延长CA，OB交于点D，连接BC，过点D作DF⊥AC，若OB＝2，OC＝OD＝6．试探究：在射线DF上，是否存在点E，使得△DCE的某一个内角等于∠BCO的2倍？若存在，连接EO，求tan∠EOB的值；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）若a＝﹣1，如图1，已知A，C两点的坐标为A（﹣1，0），C（0，3）．①求抛物线的解析式，并求出B的坐标．②点P是抛物线上第一象限内一个动点，y轴上有一点D（0，1），连接DP交BC于点H，若H恰好平分DP，求点P的坐标．（2）若a＝1，b＝k﹣1，c＝﹣k，k＞0，如图2，抛物线与一次函数y＝kx+1的图象交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线EF上是否存在唯一一点Q，使得∠AQO＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省金华市义乌市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．一个数的相反数是﹣2020，则这个数是（　　）A．2020 B．﹣2020 C． D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：∵一个数的相反数是﹣2020，∴这个数是：2020．故选：A．2．用科学记数法表示439000，结果应为（　　）A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：439000用科学记数法表示为4.39×105，故选：C．3．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（　　）A． B． C． D．【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可．【解答】解：俯视图有3列，从左往右小正方形的个数是1，1，1，故选：C．4．在数轴上表示不等式组﹣2≤x＜4，正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4的解集为：故选：A．5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a、b同号 D．a、b异号，且正数的绝对值较大【分析】先由有理数的乘法法则，判断出a，b异号，再用有理数加法法则即可得出结论．【解答】解：∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D．6．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）A．70° B．110° C．130° D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故选：B．7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（　　）A． B． C． D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和摸出的两个小球标号之和大于4的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和大于4的有8种结果，所以摸出的两个小球标号之和大于4的概率是＝，故选：D．8．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是（　　）A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本【分析】根据不等式表示的意义解答即可．【解答】解：由不等式9x+7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够；故选：C．9．如图，AC垂直于AB，P为线段AC上的动点，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.4m，CF＝1.2m，∠DPE＝15°．若∠PEB＝90°，∠EBA＝65°，则AP的长约为（　　）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）A．1.2 B．1.3m C．1.5m D．2.0m【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可得，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，即∠BEP＝90°，再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP的长，进而可得遮阳效果最佳时AP的长．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可知：当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，∴∠BEP＝90°，∵∠A＝90°，∠B＝65°，∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，∵∠DPE＝15°，∴∠APD＝130°，∴∠CPF＝50°，∵F为PD的中点，∴DF＝PF＝PD＝1.2（m），∴CF＝PF＝1.2（m），∴CP＝2PG＝2×PF•cos50°≈2×1.2×0.64≈1.53，∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.53≈1.3（m）．所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.3米．故选：B．10．某班“数学兴趣小组”探究出了有关函数y＝|﹣2|（图象如图）的三个结论：①方程|﹣2|＝0有1个实数根，该方程的根是x＝3；②如果方程|﹣2|＝a只有一个实数根，则a的取值范围是a＝2或a＝0；③如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．你认为正确的结论个数有（　　）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】观察图象，数形结合解可得到答案．【解答】解：由图象可知，函数y＝|﹣2|的图象与x轴只有一个交点（3，0），故方程|﹣2|＝0有1个实数根，该方程的根是x＝3，①正确；由①知a＝0时，如果方程|﹣2|＝a只有一个实数根x＝3，∵≠0，∴﹣2≠﹣2，即﹣2≠﹣2无解，∴|﹣2|＝2的解即是﹣2＝2的解x＝0，∴如果方程|﹣2|＝a只有一个实数根，则a的取值范围是a＝2或a＝0，故②正确；观察图象可知x轴下方没有图象，即a＜0时，|﹣2|＝a无解，而由②知方程|﹣2|＝a只有一个实数根，a＝2或a＝0，即方程|﹣2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2，故③正确；∴正确的由①②③，故选：A．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．12．（4分）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为S甲2＝3.6，S乙2＝15.8，则　甲　种小麦的长势比较整齐．【分析】根据方差的定义判断．方差越小小麦的长势越整齐．【解答】解：因为S甲2＝3.6＜S乙2＝15.8，方差小的为甲，所以长势比较整齐的小麦是甲．故填甲．13．（4分）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，C两点，与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2，则点C的坐标是　（4，）　．【分析】根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．BD＝2，即可求得A的坐标，C的横坐标，关键待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把C的横坐标代入即可求得C的坐标．【解答】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，∴A（2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，∴m＝2×3＝6，∴y＝∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2．∴C的横坐标为4，把x＝4代入y＝得，y＝＝，∴，故答案为（4，）．14．（4分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝　45　°（点A、B、C、D、E是网格线交点）．【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CGA＝90°，从而知△CGA是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠ACB﹣∠DCE＝∠CAG，即可得解．【解答】解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AG2+CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°，∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，在△AFG和△CDE中，，∴△AFG≌△CDE（SAS），∴∠FAG＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠FAG＝∠CAG＝45°．故答案为：45．15．（4分）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为　25　m．（边缘部分的厚度忽略不计）【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：如图是其侧面展开图：AD＝π＝20m，AB＝CD＝20m．DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），在Rt△ADE中，AE＝＝＝25（m）．故他滑行的最短距离约为25m．故答案为：25．16．（4分）在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连接BE．（1）如图1，若AB＝AE＝AF，点G是BE的中点，则＝　　．（2）如图2，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEQ，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BQ的中点T，经过的路径长为a，AC的长为b，则＝　　．【分析】（1）通过证明△BGF∽△BFE，可得＝＝；（2）在AC上取一点N，使得AN＝AB，连接BN，NQ，取BN的中点J，连接TJ，通过证明△ABE∽△NBQ，可得＝，∠AEB＝∠BQN，可求a＝JT＝NQ＝AE，b＝AE＝AC，即可求解．【解答】解：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∵AB＝AE＝AF，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝∠BAF＝∠AFB＝60°，设AB＝AE＝AF＝x，则BF＝x，∵∠BAE＝90°，点G是BE的中点，∴BE＝x，BG＝AG＝GE＝x，∠BAG＝∠ABG＝45°，∴∠GAF＝∠GBF＝15°，＝，∴△BGF∽△BFE，∴＝＝，故答案为：；（2）如图2中，在AC上取一点N，使得AN＝AB，连接BN，NQ，取BN的中点J，连接TJ．∵△ABN，△BEQ都是等腰直角三角形，∴BN＝AB，BQ＝BE，∠ABN＝∠EBQ＝45°，∴，∠ABE＝∠NBQ，∴△ABE∽△NBQ，∴＝，∠AEB＝∠BQN，∵∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠BQN+∠BEC＝180°，∴∠EBQ+∠ENQ＝180°，∵∠EBQ＝∠ENQ＝45°，∴∠ENQ＝135°，∠BNQ＝90°，∵BJ＝JN，BT＝TQ，∴TJ∥NQ，TJ＝NQ，∴∠BJT＝∠BNQ＝90°，∴点T的运动轨迹是线段JT，∴a＝JT＝NQ＝AE，∵点E从A运动到C时，AE＝AC＝b，∴a＝b，∴＝，故答案为．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．（6分）计算：|﹣2|+（3﹣π）0﹣+6cos30°．【分析】应用绝对值化简，零次幂、根式化简，特殊角三角函数值法则进行计算，即可得出结果．【解答】解：原式＝＝＝3．18．（6分）化简（+）×，并从1，2，3中选取所有合适的数作为a代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝，当a＝1时，原式＝．当a＝3时，原式＝．19．（6分）为了了解中考英语人机对话日常训练情况，某市从某校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次英语人机对话测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是　40　人；（2）图1中∠α的度数是　90°　，并把图2条形统计图补充完整；（3）今年该市九年级大约有学生20000名，如果全部参加这次中考英语人机对话测试，请估计不及格的人数为多少人？【分析】（1）从两个统计图中可以得到“B级良好”的人数为16人，占调查人数的40%，可求出调查人数；（2）求出“C组”的人数，进而可求出“C组”所占的百分比，再求所占圆心角的度数；（3）样本中“D组不及格”的占，估计总体20000人中有的不及格．【解答】解：（1）16÷40%＝40人，故答案为：40；（2）40﹣12﹣16﹣2＝10，360°×＝90°，补全条形统计图如图所示：（3）20000×＝1000人，答：该市九年级20000名学生中，英语人机对话测试不及格的大约有100人．20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标．（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．【分析】（1）将C点代入到直线BC的解析式，求出b，再由直线BC的解析式，求出B点坐标，将B，C两点坐标代入到二次函数解析式中，得到二次函数解析式，再将其配成顶点式求出顶点坐标；（2）根据题意，B点和C点直线和抛物线的交点，根据图象，数形结合，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝x+b经过点C（0，3），∴b＝3，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，令y＝0，则﹣x+3＝0，∴x＝﹣3，∴点B的坐标为（3，0），∴B（3，0），∵y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），B（3，0），∴，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴此二次函数图象的顶点坐标为（1，4）；（2）由题可得，当x＝0或3时，ax2+bx+c＝﹣x+b，根据图象可得：x≤0或x≥3时，ax2+bx+c≤﹣x+b，∴原不等式的解集为：x≤0或x≥3．21．（8分）如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD，OC，且OC交DB于点E．若．（1）求∠COB的大小和⊙O的半径长．（2）求由弦CD，BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC⊥BD，根据垂径定理得到BE的长，再根据圆周角定理发现∠BOE＝60°，从而根据锐角三角函数求得圆的半径；（2）结合（1）中的有关结论证明△DCE≌△BOE，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形OBC的面积．【解答】解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝（cm），∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，∴＝，∴OB＝5，故⊙O的半径长为5cm；（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，，∴△CDE≌△OBE（ASA），∴S阴影＝S扇形＝＝（cm2）．答：阴影部分的面积为cm2．22．（10分）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．（1）求这个增长率；（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．【分析】（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解．（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据“第三批公益课的人数＝第二批公益课的师生人数×（1+80%）”、“其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%”列出方程组并解答．【解答】解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%． （2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．根据题意，得．解方程组，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．23．（10分）如图，四边形OBAC中，OB⊥OC，且满足∠BAC＝90°，连接AO．（1）如图1，当∠AOB＝45°时，求证：AB＝AC．（2）如图2，若tan∠AOB＝，求的值．（3）如图3，延长CA，OB交于点D，连接BC，过点D作DF⊥AC，若OB＝2，OC＝OD＝6．试探究：在射线DF上，是否存在点E，使得△DCE的某一个内角等于∠BCO的2倍？若存在，连接EO，求tan∠EOB的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1，过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N，证明△ANC≌△Rt△AMB，可得结论．（2）如图2，过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N，证明△ANC∽△AMB，可得结论．（3）过点E作EH⊥OB于H，作BC的垂直平分线交OC于点G，则GC＝GB，分两种情形：①当∠DCE＝2∠BCO时，②当∠DEC＝2∠BCO时，利用相似三角形的性质分别求解即可．【解答】（1）证明；如图1，过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N，当∠AOB＝45°时，∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC＝45°，∵AM⊥OM，AN⊥OC，∴AM＝AN，∵∠CAN+∠NAB＝90°，∠NAB+∠BAM＝90°，∴∠CAN＝∠BAM，∵∠ANC＝∠AMB＝90°，∴△ANC≌△Rt△AMB（ASA），∴AC＝AB； （2）解：如图2，过点A作OB和OC的垂线，垂足分别为点M、N，同理可得：∠CAN＝∠BAM，∵∠ANC＝∠AMB＝90°∴△ANC∽△AMB，∴，故的值为； （3）解：存在．如图3，过点E作EH⊥OB于H，作BC的垂直平分线交OC于点G，则GC＝GB，∴∠GBC＝∠GCB，∴∠OGB＝∠GBC+∠GCB＝2∠BCO，∵GB2＝OG2+OB2，∴（6﹣OG）2＝4+OG2，∴，∴，∵OC≠OB，∴∠CDE≠2∠BCO，①当∠DCE＝2∠BCO时，∴，∴，又可证得△DEH∽△OCD，∴，∴，∴．②当∠DEC＝2∠BCO时，同理可得EH＝DH＝8，∴．综上所述：或．24．（12分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）若a＝﹣1，如图1，已知A，C两点的坐标为A（﹣1，0），C（0，3）．①求抛物线的解析式，并求出B的坐标．②点P是抛物线上第一象限内一个动点，y轴上有一点D（0，1），连接DP交BC于点H，若H恰好平分DP，求点P的坐标．（2）若a＝1，b＝k﹣1，c＝﹣k，k＞0，如图2，抛物线与一次函数y＝kx+1的图象交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线EF上是否存在唯一一点Q，使得∠AQO＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①利用待定系数法求解二次函数的解析式，再根据x轴上点的特征令y＝0，求得点B的坐标；②结合图形根据点的位置设P（m，﹣m2+2m+3），G（m，3﹣m），根据平行线的性质以及全等三角形的判定定理推出△CHD≌△GHP，进而利用全等三角形的性质得PG＝CD＝2，列出方程进行求解即可；（2）根据题意设直线y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点G、H，得到，H（0，1），，OH＝1，OA＝k，作出图形推出直线y＝kx+1与以O、A为直径的圆相切的切点为Q，此时∠AQO＝90°，结合图形由线段之间的和差关系推出，，再根据相似三角形判定定理提出△MOG∽△HOG，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0）；②如图①中，过点P作PG∥y轴交BC于G，设P（m，﹣m2+2m+3），则G（m，3﹣m），∵D（0，1），∴OD＝1，∵OC＝3，∴CD＝2，∵PG∥CD，∴∠HCD＝∠HGP，在△CHD和△GHP中，，∴△CHD≌△GHP（AAS），∴PG＝CD＝2，∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（3﹣m）＝2，解得m＝11或2，∴点P（1，4）或（2，3）；（2）如图②所示，设直线y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点G、H，则，H（0，1），，OH＝1，在Rt△GOH中，，令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得x＝﹣k或x＝1．∴A（﹣k，0），OA＝k，设直线y＝kx+1与以O、A为直径的圆相切的切点为Q，此时∠AQO＝90°，设点M为OA中点，连接MQ，则MQ⊥EF，，∴，∵∠MGQ＝∠HGO，∠MQG＝∠HOG＝90°，∴△MOG∽△HOG，∴，即，解得，∵k＞0，∴，又当圆与直线相交且一个交点与A或O重合时，此时k＝1，∴存在实数k使在直线y＝kx+1上存在唯一一点Q，使得∠AQO＝90°，此时或k＝1．