贵州省遵义市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年贵州省遵义市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有--项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡.上对应题目答案标号涂黑、涂满.）

1．2021年1月17日遵义的气温为﹣4℃～3℃，这一天遵义的温差是（　　）

A．﹣7℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．7℃

2．2020年11月24日22时6分，嫦娥五号实现了飞行过程中第一次轨道修正后继续飞向月球．截止当时，嫦娥五号距离地球约160000公里，其中160000用科学记数法表示为（　　）

A．0.16×106 B．1.6×105 C．1.6×104 D．16×104

3．在下列四个图形中，∠1＞∠2一定成立的是（　　）

A． B． 

C． D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．2a2﹣a2＝2 B．（﹣2b2）3＝﹣8b6 

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b

5．某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（　　）

A．众数是36.4 B．中位数是36.3 

C．平均数是36.4 D．方差是1.9

6．如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

7．函数y＝中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

8．若|3﹣x|＝7，则x的值为（　　）

A．﹣4 B．4 C．10 D．﹣4或10

9．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48

10．为做好校园卫生防控，某校计划购买甲、乙两种品牌的消毒液．乙品牌消毒液每桶的价格比甲品牌消毒液每桶价格的2倍少25元，已知用1200元购买甲品牌的数量与用1900元购买乙品牌的数量相同．设甲品牌消毒液每桶的价格是x元，根据题意可列方程为（　　）

A．＝ B．＝ 

C．＝ D．＝

11．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为数学语言：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，直径CD的长是（　　）

A．13寸 B．26寸 C．28寸 D．30寸

12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA＝3，则下列结论：

①abc＞0；②4ac﹣b2＜0；③当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而增大；④将抛物线在y轴左侧的部分沿过点C且平行于x轴的直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变得到一个新图象，当函数y＝k（k为常数）的图象与新图象有3个公共点时，k的取值范围是3＜k≤4，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位上）

13．化简﹣的结果是　           　．

14．一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　 　．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A'B'C，点A的对应点A'恰好落在AB上，连接A'B'，则图中阴影部分的面积为　              　．

16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝7cm，点O以2cm/s的速度在△ABC边上沿A→B→C→A的方向运动．以O为圆心作半径为cm的圆，运动过程中⊙O与△ABC三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为　                　秒．

三、解答题（本题共8小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤）

17（1）计算：669×﹣669×+669×；

（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．

18先化简（x+1﹣）÷，再从﹣2≤x≤2中取一个合适的整数x代入求值．

19在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b≥0或ax+b≤0（a≠0）的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解或不等式的解集．

（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数y＝﹣x+2的图象；

（2）如图，直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与y＝﹣x+2相交于点（﹣1，m），根据图象直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+2的解；

（3）根据图象直接写出不等式kx+b≤﹣x+2的解集．

20某兴趣小组为了解该校学生在家做家务的情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，被调查的学生必须从洗衣服（记为A）、洗碗（记为B）、保洁（记为C）、做饭（记为D）、不做家务（记为E）中选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图．

（1）扇形统计图中A部分的圆心角是　　度；

（2）补全条形统计图；

（3）兴趣小组准备开展一次“家务共同承担”的主题班会，如果在不做家务的4名学生（3名男生，1名女生）中随机抽取2名学生担任主持人，请用树状图或列表法求这2名学生恰好是1男1女的概率．

21如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PO交⊙O于点C，PC＝OC，⊙O上有一点B且∠POB＝60°，连接PB．

（1）探究CO和CA的数量关系，并说明理由；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

22阅读材料：二次函数的应用

小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是8，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由．

81×89，82×88，83×87，…，87×83，88×82，89×81．

小明结合已学知识做了如下尝试：

设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为（10﹣x），

根据题意，得：

y＝（80+x）[80+（10﹣x）]＝（80+x）（90﹣x）＝﹣（x+80）（x﹣90）．

…

（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大，并求出这个最大的积；

（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．

701×799，702×798，703×797，…，797×703，798×702，799×701．

23如图1，△ACD中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，CD＝6cm，过AC的中点O作OB⊥AC交AD于点B，连接BC、OD相交于点E．

（1）求BD的长；

（2）求证：BC垂直平分OD；

（3）如图2，若△ABO以每秒cm的速度沿射线AB向右平移，得到△A1B1O1，当点A1与点D重合时停止移动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，点O1关于直线BC的对称点为O'，问t为何值时，CD＝CO'．

24如图，抛物线与y轴的交点为C（0，﹣1），顶点D的坐标为（2，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与直线y＝kx+2（k≠0且k为常数）相交于点A、B（点A在点B的左侧），当△ABC的面积为时，求k的值；

（3）在x轴上是否存在点P，使得∠CPD＝45°，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．2021年1月17日遵义的气温为﹣4℃～3℃，这一天遵义的温差是（　　）

A．﹣7℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．7℃

【分析】最高温度与最低温度相减即可．

【解答】解：3﹣（﹣4）＝7，

故选：D．

2．2020年11月24日22时6分，嫦娥五号实现了飞行过程中第一次轨道修正后继续飞向月球．截止当时，嫦娥五号距离地球约160000公里，其中160000用科学记数法表示为（　　）

A．0.16×106 B．1.6×105 C．1.6×104 D．16×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：160000＝1.6×105．

故选：B．

3．在下列四个图形中，∠1＞∠2一定成立的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据邻补角的概念、对顶角的概念、三角形的外角性质判断即可．

【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项不符合题意；

B、如果两直线平行，∠1＝∠2，本选项不符合题意；

C、∵∠2是三角形的一个外角，

∴∠2＞∠1，D、∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意；

D、∵∠1＝90°，∠2是锐角，

∴∠1＞∠2，本选项，符合题意；

故选：D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．2a2﹣a2＝2 B．（﹣2b2）3＝﹣8b6 

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b

【分析】先根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，去括号法则进行计算，再得出答案即可．

【解答】解：A．2a2﹣a2＝a2，故本选项不符合题意；

B．（﹣2b2）3＝﹣8b6，故本选项符合题意；

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意；

D．﹣（a﹣b）＝﹣a+b，故本选项不符合题意；

故选：B．

5．某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（　　）

A．众数是36.4 B．中位数是36.3 

C．平均数是36.4 D．方差是1.9

【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．

【解答】解：7个数中36.3和36.4都出现了二次，次数最多，即众数为36.3和36.4，故A选项不正确，不符合题意；

将7个数按从小到大的顺序排列为：36.2，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，则中位数为36.4，故B选项错误，不符合题意；

＝×（36.5+36.7+36.4+36.3+36.4+36.2+36.3）＝36.4，故C选项正确，符合题意；

S2＝[（36.2﹣36.4）2+2×（36.3﹣36.4）2+2×（36.4﹣36.4）2+（36.5﹣36.4）2+（36.7﹣36.4）2]＝，故D选项错误，不符合题意；

故选：C．

6．如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，据此可得出图形，从而求解．

【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图为：，

故选：A．

7．函数y＝中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可．

【解答】解：由题意得，1﹣x≥0，

解得x≤1．

在数轴上表示如下：

故选：B．

8．若|3﹣x|＝7，则x的值为（　　）

A．﹣4 B．4 C．10 D．﹣4或10

【分析】利用绝对值的定义解答即可．

【解答】解：∵|3﹣x|＝7，

∴3﹣x＝±7，

∴x＝10或x＝﹣4．

故选：D．

9．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48

【分析】设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，由题意得x+y＝13，则（x+y）2＝132①，再由勾股定理得x2+y2＝112②，①﹣②得2xy＝48，则xy＝24，即可求解．

【解答】解：设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，

由题意可得：x+y＝24﹣11＝13，

∴（x+y）2＝132①，

由勾股定理可得：x2+y2＝112②，

①﹣②得：2xy＝48，

∴xy＝24，

∴该三角形的面积为：xy＝×24＝12，

故选：B．

10．为做好校园卫生防控，某校计划购买甲、乙两种品牌的消毒液．乙品牌消毒液每桶的价格比甲品牌消毒液每桶价格的2倍少25元，已知用1200元购买甲品牌的数量与用1900元购买乙品牌的数量相同．设甲品牌消毒液每桶的价格是x元，根据题意可列方程为（　　）

A．＝ B．＝ 

C．＝ D．＝

【分析】设甲品牌消毒液每桶的价格是x元，则乙品牌消毒液每桶的价格是（2x﹣25）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买甲品牌的数量与用1900元购买乙品牌的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设甲品牌消毒液每桶的价格是x元，则乙品牌消毒液每桶的价格是（2x﹣25）元，

依题意得：＝．

故选：A．

11．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为数学语言：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，直径CD的长是（　　）

A．13寸 B．26寸 C．28寸 D．30寸

【分析】连接OA．设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝x﹣1，在直角△OAE中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径CD的长．

【解答】解：连接OA．设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝（x﹣1）寸，

∵OA2＝OE2+AE2，

则x2＝（x﹣1）2+25，

解得：x＝13．

则CD＝2×13＝26（寸）．

故选：B．

12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA＝3，则下列结论：

①abc＞0；②4ac﹣b2＜0；③当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而增大；④将抛物线在y轴左侧的部分沿过点C且平行于x轴的直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变得到一个新图象，当函数y＝k（k为常数）的图象与新图象有3个公共点时，k的取值范围是3＜k≤4，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由OB＝OC＝3OA＝3可得A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），继而可求出抛物线解析式及顶点坐标可判断①③④，由抛物线与x轴交点个数可判断②．

【解答】解：∵OB＝OC＝3OA＝3，

∴OB＝OC＝3，OA＝1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：

，

解得：，

∴y＝﹣x2+2x+3，

∴顶点坐标为（1，4），

∴abc＝（﹣1）×2×3＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确；

当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，故③错误；

∵抛物线顶点为（1，4），C（0，3），

∴当函数y＝k（k为常数）的图象与新图象有3个公共点时，k的取值范围是3＜k＜4，故④错误；

故选：A．

二．填空题（共4小题）

13．化简﹣的结果是　　．

【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【解答】解：原式＝2﹣＝．

故答案为：．

14．一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为　7　．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，利用整体代入的方法计算．

【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，

所以x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝1+6＝7．

故答案为7．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A'B'C，点A的对应点A'恰好落在AB上，连接A'B'，则图中阴影部分的面积为　2π﹣　．

【分析】根据阴影部分的面积为：S△ABC+S扇形CBB′﹣S△ACA′﹣S△A′B′C＝S扇形CBB′﹣S△ACA′计算即可．

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，

∴BC＝2，

∵∠ACA′＝∠A＝60°，

∴△ACA′是等边三角形．

则阴影部分的面积为：S△ABC+S扇形CBB′﹣S△ACA′﹣S△A′B′C＝S扇形CBB′﹣S△ACA′＝﹣＝2π﹣，

故答案为：2π﹣．

16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝7cm，点O以2cm/s的速度在△ABC边上沿A→B→C→A的方向运动．以O为圆心作半径为cm的圆，运动过程中⊙O与△ABC三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为　　秒．

【分析】求出从首次相切到第3次相切时，圆心O移动的距离即可，画出两次相切时的图形，利用直角三角形的边角关系和切线的性质可求出答案．

【解答】解：如图，⊙O与△ABC的边首次相切，切点为D，第3次相切时，切点为E，

∵∠A＝30°，OD＝cm，

∴OA＝2OD＝2（cm），

∵∠B＝45°，O′E＝cm，

∴O′B＝O′E＝2（cm），

∴从首次相切到第3次相切时，圆心O移动的距离为OB+BO′＝7﹣2+2＝（5+2）cm，

∴从首次相切到第3次相切的时间间隔为s，

故答案为：．

三．解答题

17（1）计算：669×﹣669×+669×；

（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．

【考点】有理数的混合运算；因式分解﹣提公因式法；解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有

【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】（1）446；（2）x1＝3，x2＝﹣1．

【分析】（1）逆用乘法分配律提取669，再进一步计算即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【解答】解：（1）原式＝669×（﹣+）

＝669×

＝446；

（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，

∴（x﹣3）（x+1）＝0，

则x﹣3＝0或x+1＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣1．

18先化简（x+1﹣）÷，再从﹣2≤x≤2中取一个合适的整数x代入求值．

【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有

【专题】分式；运算能力．

【答案】，x＝﹣1时，原式＝﹣3．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．

【解答】解：原式＝（﹣）÷

＝÷

＝•

＝，

∵x≠±2且x≠1，

∴取x＝﹣1，

则原式＝＝﹣3．

19在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b≥0或ax+b≤0（a≠0）的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解或不等式的解集．

（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数y＝﹣x+2的图象；

（2）如图，直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与y＝﹣x+2相交于点（﹣1，m），根据图象直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+2的解；

（3）根据图象直接写出不等式kx+b≤﹣x+2的解集．

【考点】一元一次不等式的定义；一次函数与一元一次不等式；一次函数与二元一次方程（组）．菁优网版权所有

【专题】数形结合；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；模型思想；应用意识；创新意识．

【答案】（1）详见解答；

（2）x＝﹣1；

（3）x≤﹣1．

【分析】（1）根据“两点法”画出y＝﹣x+2的图象；

（2）根据一次函数与二元一次方程组的关系结合交点坐标可得答案；

（3）根据一次函数与一元一次不等式的关系，结合交点坐标得出答案．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，

当y＝0时，x＝2，

因此直线y＝﹣x+2过（0，2）和（2，0），

画出的图象如图所示：

（2）∵直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与y＝﹣x+2相交于点（﹣1，m），

∴关于x的方程kx+b＝﹣x+2的解为x＝﹣1；

（3）∵直线y＝kx+b（k＞0，b＞0）与y＝﹣x+2相交于点（﹣1，m），

∴不等式kx+b≤﹣x+2的解集为x≤﹣1．

20某兴趣小组为了解该校学生在家做家务的情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，被调查的学生必须从洗衣服（记为A）、洗碗（记为B）、保洁（记为C）、做饭（记为D）、不做家务（记为E）中选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图．

（1）扇形统计图中A部分的圆心角是　　度；

（2）补全条形统计图；

（3）兴趣小组准备开展一次“家务共同承担”的主题班会，如果在不做家务的4名学生（3名男生，1名女生）中随机抽取2名学生担任主持人，请用树状图或列表法求这2名学生恰好是1男1女的概率．

【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有

【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）先求出调查的学生总人数，再由360°乘以A的人数所占的比例即可；

（2）求出条形统计图中D部分的学生人数，补全条形统计图即可；

（3）画树状图，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）∵调查的学生总人数为20÷40%＝50（人），

∴扇形统计图中A部分的圆心角是360°×＝108°，

故答案为：108；

（2）条形统计图中D部分的学生人数为：50﹣15﹣5﹣20﹣4＝6（人），

补全条形统计图如图：

（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2名学生恰好是1男1女的结果有6个，

∴抽取的2名学生恰好是1男1女的概率为＝．

21如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PO交⊙O于点C，PC＝OC，⊙O上有一点B且∠POB＝60°，连接PB．

（1）探究CO和CA的数量关系，并说明理由；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

【考点】全等三角形的判定与性质；切线的判定与性质．菁优网版权所有

【专题】证明题；与圆有关的位置关系；推理能力．

【答案】（1）CO＝CA；

（2）证明过程见解析．

【分析】（1）由切线的性质得出∠PAO＝90°，由直角三角形的性质可得出结论；

（2）证明△OAC为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠AOC＝60°，证明△POB≌△POA（SAS），由全等三角形的性质得出∠PAO＝∠PBO＝90°，则可得出结论．

【解答】（1）解：CO＝CA．

理由如下：∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥AO，

∴∠PAO＝90°，

∵PC＝OC，

∴AC＝PO，

∴PC＝CA＝OC；

（2）证明∵CO＝AC，OA＝OC，

∴OC＝OA＝AC，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠AOC＝60°，

在△POB和△POA中，

，

∴△POB≌△POA（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∴OB⊥BP，

∴PB是⊙O的切线．

22阅读材料：二次函数的应用

小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是8，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由．

81×89，82×88，83×87，…，87×83，88×82，89×81．

小明结合已学知识做了如下尝试：

设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为（10﹣x），

根据题意，得：

y＝（80+x）[80+（10﹣x）]＝（80+x）（90﹣x）＝﹣（x+80）（x﹣90）．

…

（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大，并求出这个最大的积；

（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．

701×799，702×798，703×797，…，797×703，798×702，799×701．

【考点】二次函数的最值．菁优网版权所有

【专题】二次函数的应用；应用意识．

【答案】（1）85×85最大，最大积为7225；

（2）750×750的积最大．

【分析】（1）由y＝﹣（x+80）（x﹣90），求得抛物线的对称轴，从而得到抛物线的顶点横坐标，即可求得函数最大值；

（2）设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为（100﹣a），

从而可得关系式为：w＝﹣（a+700）（a﹣800），再求解抛物线的对称轴，利用二次函数的性质可得答案．

【解答】解：（1）∵y＝﹣（x+80）（x﹣90），

∴抛物线的对称轴为：x＝＝5，

∴当x＝5时，y的最大值＝﹣（5+80）（5﹣90）＝852＝7225，

∴85×85最大，最大积为7225；

（2）设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为（100﹣a），

由题意得：w＝（700+a）[700+（100﹣a）]＝（700+a）（800﹣a）＝﹣（a+700）（a﹣800），

∴抛物线对称轴为：a＝＝50，

∴当a＝50时，w的最大值＝﹣（50+700）（50﹣800）＝7502，

∴当a＝50时，750×750的积最大．

23如图1，△ACD中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，CD＝6cm，过AC的中点O作OB⊥AC交AD于点B，连接BC、OD相交于点E．

（1）求BD的长；

（2）求证：BC垂直平分OD；

（3）如图2，若△ABO以每秒cm的速度沿射线AB向右平移，得到△A1B1O1，当点A1与点D重合时停止移动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，点O1关于直线BC的对称点为O'，问t为何值时，CD＝CO'．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有

【专题】几何综合题；推理能力．

【答案】（1）2cm．

（2）证明见解析部分．

（3）t的值为0或6．

【分析】（1）证明∠BCD＝30°，根据BD＝CD•tan30°，求解即可；

（2）证明△CBO≌△CBD（AAS），推出CO＝CD，BO＝BD，可得结论；

（3）当t＝0时，O1与D重合，此时CD＝CO1．如图2中，当点A1与D重合时，△CDO1是等边三角形，此时CD＝CO1＝CO′，求出AD的长，可得结论．

【解答】（1）解：如图1中，

∵AO＝OC，BO⊥AC，

∴BA＝BC，

∴∠A＝∠ACB＝30°，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，

∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝60°﹣30°＝30°，

∴BD＝CD•tan30°＝6×＝2（cm）；

（2）证明：在△CBO和△CBD中，

，

∴△CBO≌△CBD（AAS），

∴CO＝CD，BO＝BD，

∴BC垂直平分线段OD．

（3）解：当t＝0时，O1与D重合，此时CD＝CO1．

如图2中，当点A1与D重合时，△CDO1是等边三角形，此时CD＝CO1＝CO′，

∴AD＝CD•tan60°＝6（cm），

∴t＝6时，满足条件．

综上所述，满足条件的t的值为0或6．

24如图，抛物线与y轴的交点为C（0，﹣1），顶点D的坐标为（2，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与直线y＝kx+2（k≠0且k为常数）相交于点A、B（点A在点B的左侧），当△ABC的面积为时，求k的值；

（3）在x轴上是否存在点P，使得∠CPD＝45°，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有

【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；推理能力．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1；

（2）﹣7或3；

（3）存在点P，其坐标为（2+，0）或（2﹣，0）．

【分析】（1）根据题意设出抛物线的顶点式，从而利用待定系数法求抛物线的解析式即可；

（2）联立一次函数及二次函数的表达式得到x2﹣（2+k）x﹣3＝0，并根据根与系数的关系推出xA+xB＝＝2+k，xA•xB＝＝﹣6，进而结合图形根据三角形的面积公式求解即可；

（3）根据题意过点D作DN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥DN于点M，根据点的坐标特征得到CM＝DM＝2，并以点M为圆心，DM为半径画圆，与x轴交于点P、点P'，从而根据圆周角定理得到∠CPD＝∠CP'D＝∠CMD＝45°，再结合图形利用勾股定理推出PN＝＝，P'N＝＝，进而得到点P的坐标．

【解答】解：（1）根据题意顶点D的坐标为（2，﹣3），可设抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2﹣3，

将点C（0，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2﹣3，

得﹣1＝a（0﹣2）2﹣3，解得a＝，

∴抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣1；

（2）如图1，

根据题意将y＝kx+2代入y＝x2﹣2x﹣1，

整理得x2﹣（2+k）x﹣3＝0，

∴xA+xB＝＝2+k，

xA•xB＝＝﹣6，

∴（xB﹣xA）2＝（xB﹣xA）2﹣4xA•xB＝（2+k）2+24＝k2+4k+28，

∵S△ABC＝，

∴×3×（xB﹣xA）＝，即•＝，

解得k＝﹣7或k＝3，

故k的值为﹣7或3；

（3）假设存在点P，使得∠CPD＝45°，如图2，

过点D作DN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥DN于点M，

∵点C、D坐标分别是（0，﹣1），（2，﹣3），

∴CM＝DM＝2，

不妨以点M为圆心，DM为半径画圆，与x轴交于点P、点P'，

∵∠CMD＝90°，

∴∠CPD＝∠CP'D＝45°，

又PM＝P'M＝DM＝2，MN＝1，

∴PN＝＝，P'N＝＝，

∴点P（2+，0），点P'（2﹣，0），

故满足条件的点P坐标为（2+，0），（2﹣，0）．

日期：2021/8/19 6:25:43；用户：木讷；邮箱：cao168@xyh.com；学号：29163119