河南省南阳市南召县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份河南省南阳市南召县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．若式子有意义，则x的值可以为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．0
2．下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．水滴石穿 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．守株待兔
3．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3
4．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（　　）

A． B． C．4 D．
6．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角的度数为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
8．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B、D的对应点为A、C，那么需要添加的一个条件是（　　）

A．CE＝ B．CE＝ C．AC＝BD D．AC∥BD
9．A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．化简：﹣＝　 　．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．

13．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝3，BC＝4，∠DAO＝60°，则点C的坐标　 　．

15．如图，在等边△ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过M的直线折叠，折痕与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC＝1：4，设折痕为MN，则AN的值为　 　．

三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11＝75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°﹣tan45°．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
18．（9分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等，《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图1是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图1中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　 　亿元；
（2）青年技术工人小明根据图1统计图中的数据，从五大细分领域中选择了“5G基站建设”作为自己的就业方向，请简要说明他选择就业方向的理由：　 　；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标（如图2），依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．

19．（9分）如图1是某体育看台侧面的示意图，观众区AC的坡度i＝1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15，活动顶棚外沿处的点E恰好在点A的正上方，从D处看E处的仰角α＝30°，竖直的立杆上C，D两点间的距离为5．

（1）直接写出观众区的水平宽度AB＝　 　，DE＝　 　；点E离水平地面的高度EA＝　 　．
（2）为了看台遮阳的需要，现将活动顶棚ED绕D点向下转动11°30ʹ，此时E点在地面上的铅直投影恰好落在点F处（如图2），求AF的长．（sin11°30′≈0.20，cos11°30′≈0.98，tan11°30′≈0.20；sin18°30′≈0.32，cos18°30ʹ≈0.95，tan18°30ʹ≈0.33，结果精确到0.1）
20．（9分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　，可求这条抛物线的解析式为　 　．
当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为　 　．
当取y＝　 　时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为　 　，解决了这个问题．

21．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交直线AD于点D（3，），过点D作DC⊥x轴于点C．
（1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　；
（2）点P为x轴正半轴上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线AD于点M，交抛物线于点N；若点P在线段OC上（不与O、C重合），连接CM，求△PCM面积的最大值．

23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．

（1）如图1，当BD＝2时，AN＝　 　，NM与AB的位置关系是　 　；
（2）当4＜BD＜8时，
①依题意补全图2；
②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．

2020-2021学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．若式子有意义，则x的值可以为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：根据题意知x﹣1≥0，
解得x≥1，
所以x的值可以为2．
故选：A．
2．下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．水滴石穿 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．守株待兔
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、水滴石穿，是必然事件；
B、瓮中捉鳖，是必然事件；
C、水中捞月，是不可能事件；
D、守株待兔，是随机事件；
故选：C．
3．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3
【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
x﹣2＝0，x+3＝0，
x1＝2，x2＝﹣3，
故选：D．
4．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件设m＝2k，n＝3k，再代入求出答案即可．
【解答】解：设m＝2k，n＝3k，
则
＝
＝
＝，
故选：B．
5．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝＝4，
故选：C．
6．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用“Ⅳ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．
【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是＝＝．
故选：D．
7．如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角的度数为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】由A（3，0），B（0，），得出OA＝3，OB＝，利用tan∠OAB求出∠OAB＝30°，得出∠BCO＝30°，最后利用三角形内角和求出答案．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，），
∴OA＝3，OB＝，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°，
∠BCO＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故选：D．
8．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B、D的对应点为A、C，那么需要添加的一个条件是（　　）

A．CE＝ B．CE＝ C．AC＝BD D．AC∥BD
【分析】根据对顶角相等得到∠AEC＝∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当△BDE∽△ACE时，得到，然后利用比例性质计算CE的长．
【解答】解：∵∠AEC＝∠BED，△BDE∽△ACE
∴，
即＝，
∴CE＝．
∴需要添加的一个条件是CE＝．
故选：B．
9．A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】抛物线的对称性，增减性，以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，得出y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（﹣，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2，
由x＝﹣，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2，
故选：B．
10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．
∴正确的有①②③④，
故选：C．
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．化简：﹣＝　　．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣
＝．
故答案为：．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　﹣3＜x＜1　．

【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
13．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为　3或4　．
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝3符合题意；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式Δ＝0，解之可得出k值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝4符合题意．
【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故答案是：3或4．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝3，BC＝4，∠DAO＝60°，则点C的坐标　（，+2）　．

【分析】过C作CE⊥y轴于E，由锐角三角函数定义求出OD、OA的长，再证△DCE∽△ADO，得＝＝，求出EC和OE即可得出点C的坐标．
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，
∵∠DOA＝60°，
∴OD＝AD•sin60°＝4×＝2，OA＝AD•cos60°＝4×＝2，
∵∠ECD＝90°﹣∠EDC＝∠ODA，∠CED＝∠DOA＝90°，
∴△DCE∽△ADO，
∴＝＝，即＝＝，
∴EC＝，ED＝，
∴OE＝ED+OD＝+2，
∴C（，+2），
故答案为：（，+2）．

15．如图，在等边△ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过M的直线折叠，折痕与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC＝1：4，设折痕为MN，则AN的值为　21或65　．

【分析】此题要分两种情况进行讨论：①当点A落在线段BC上时；②当A在CB的延长线上时，首先证明△BMD∽△CDN．根据相似三角形的性质可得＝＝，再设AN＝x，则CN＝30﹣x，然后利用含x的式子表示DM、BM，根据BM+DM＝30列出方程，解出x的值可得答案．
【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠MDN＝60°，
∵∠MDC＝∠B+∠BMD，∠B＝∠MDN，
∴∠BMD＝∠NDC，
∴△BMD∽△CDN．
∴＝＝，
∵DN＝AN，
∴＝＝，
∵BD：DC＝1：4，BC＝30，
∴DB＝6，CD＝24，
设AN＝x，则CN＝30﹣x，
∴＝＝，
∴DM＝，BM＝，
∵BM+DM＝30，
∴+＝30，
解得x＝21，
∴AN＝21；

②当A在CB的延长线上时，如图2，
与①同理可得△BMD∽△CDN．
∴＝＝，
∵BD：DC＝1：4，BC＝30，
∴DB＝10，CD＝40，
设AN＝x，则CN＝x﹣30，
∴＝＝，
∴DM＝，BM＝，
∵BM+DM＝30，
∴+＝30，
解得：x＝65，
∴AN＝65．
故答案为：21或65．

三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11＝75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°﹣tan45°．
【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝
当a＝2sin60°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1时，
原式＝＝．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）把x＝4代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根．
【解答】（1）证明：这里a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+1，
∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4≥4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝4代入方程得：16﹣4（k+3）+2k+1＝0，
解得：k＝2.5，即方程为x2﹣5.5x+6＝0，
设另一根为m，根据题意得：4m＝6，
解得：m＝1.5．
18．（9分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等，《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图1是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图1中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　300　亿元；
（2）青年技术工人小明根据图1统计图中的数据，从五大细分领域中选择了“5G基站建设”作为自己的就业方向，请简要说明他选择就业方向的理由：　在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高　；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标（如图2），依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．

【分析】（1）根据统计图，将2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列，再利用中位数定义求解可得；
（2）分别从2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率和2020年预计投资规模角度分析求解可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列为100、160、200、300、300、500、640，
∴图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元，
故答案为：300；

（2）5G基站建设”在线职位增长率最高，在“新基建”五大细分领域中，2020 年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；
故答案为：在“新基建”五大细分领域中，2020 年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；

（3）列表如下：
第一张 第二张
W
G
D
R
X
W

（W，G）
（W，D）
（W，R）
（W，R）
G
（G，W）

（G，D）
（G，R）
（G，X）
D
（D，W）
（D，G）

（D，R）
（D，X）
R
（R，W）
（R，G）
（R，D）

（R，X）
X
（X，W）
（X，G）
（X，D）
（X，R）

由表可知，共有20种等可能结果，其中抽到“W”和“R”的结果有2种，
则抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率是＝．
19．（9分）如图1是某体育看台侧面的示意图，观众区AC的坡度i＝1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15，活动顶棚外沿处的点E恰好在点A的正上方，从D处看E处的仰角α＝30°，竖直的立杆上C，D两点间的距离为5．

（1）直接写出观众区的水平宽度AB＝　30　，DE＝　20　；点E离水平地面的高度EA＝　10+20　．
（2）为了看台遮阳的需要，现将活动顶棚ED绕D点向下转动11°30ʹ，此时E点在地面上的铅直投影恰好落在点F处（如图2），求AF的长．（sin11°30′≈0.20，cos11°30′≈0.98，tan11°30′≈0.20；sin18°30′≈0.32，cos18°30ʹ≈0.95，tan18°30ʹ≈0.33，结果精确到0.1）
【分析】（1）根据题意得四边形ABDF是矩形，得AB＝DF，AF＝DB，根据AC的坡度i＝1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15，可得AB＝30，再根据特殊角三角函数即可求出结果；
（2）过点D作DG⊥EF于点G，结合（1）知DE＝20，根据题意可知：α＝18°30ʹ，根据锐角三角函数即可求解．
【解答】解：（1）如图1，根据题意可知：
四边形ABDF是矩形，
∴AB＝DF，AF＝DB，
∵AC的坡度i＝1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15，
∴AB＝30；
∴DF＝AB＝30，
∵α＝30°，
∴DE＝＝＝20，
∴EF＝DE＝10，
∵C，D两点间的距离为5．
∴DB＝DC+BC＝5+15＝20，
∴EA＝EF+AF＝10+20．
故答案为：30，20，10+20；

（2）如图2，过点D作DG⊥EF于点G，
由（1）知：DE＝20，
根据题意可知：α＝18°30ʹ，
∴DG＝DE×cos18°30′≈20×0.95≈32.9，
∴AF＝BF﹣AB＝DG﹣AB≈32.9﹣30≈2.9．
20．（9分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为　（12，0）　，抛物线的顶点坐标为　（6，8）　，可求这条抛物线的解析式为　y＝﹣x2+x　．
当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为　y＝﹣x2　．
当取y＝　﹣2　时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为　6　，解决了这个问题．

【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
【解答】解：方法一：B（12，0），O（6，8），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，
把B点的坐标代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；
方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，
把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；
y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，
即可求出此时拱桥内的水面宽度为6，
故答案为：（12，0）；（6，8）；；；﹣2；6．
21．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　26　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交直线AD于点D（3，），过点D作DC⊥x轴于点C．
（1）直接写出：a＝　﹣　，b＝　　；
（2）点P为x轴正半轴上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线AD于点M，交抛物线于点N；若点P在线段OC上（不与O、C重合），连接CM，求△PCM面积的最大值．

【分析】（1）将点B、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）由△PCM的面积＝PC•PM，即可求解．
【解答】解：（1）将点B、D的坐标代入二次函数表达式得：，解得，
则函数的表达式为：y＝﹣x2+x+1，
故答案为﹣，；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+1，与y轴交于点A，
∴可知A点坐标为（0，1），
∴可设直线AD的解析式为y＝mx+1．
把点D的坐标（3，）代入y＝mx+1中，得＝3m+1，
∴m＝．
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
∵DC⊥x轴，
∴OC＝3．
设OP＝k，则PC＝3﹣k，且0＜k＜3．
∴点M（k，k+1），
∴PM＝k+1，
∴△PCM的面积＝PC•PM＝（3﹣k）（k+1）＝﹣（k﹣）2+，
∴当k＝时，△PCM的面积最大，最大值为．
23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．

（1）如图1，当BD＝2时，AN＝　　，NM与AB的位置关系是　垂直　；
（2）当4＜BD＜8时，
①依题意补全图2；
②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．
【分析】（1）根据已知条件得到CD＝2，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE＝AD＝2，根据直角三角形的性质得到AN＝DE＝，AM＝AB＝2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，求得∠CAN+∠NAM＝45°根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN＝∠ACD，即可得到结论；
（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠K＝45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC＝4，AB＝4，MB＝2，由ME≥MG，于是得到当ME＝MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，BD＝2，
∴CD＝2，
∴AD＝＝2，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝2，
∵N为ED的中点，
∴AN＝DE＝，
∵M为AB的中点，
∴AM＝AB＝2，
∵＝，＝＝，
∴，
∵∠CAB＝∠DAN＝45°，
∴∠CAD＝∠MAN，
∴△ACD∽△AMN，
∴∠AMN＝∠C＝90°，
∴MN⊥AB，
故答案为：，垂直；

（2）①补全图形如图2所示，
②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，
理由：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠CAN+∠NAM＝45°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵N为ED的中点，
∴，AN⊥DE，
∴∠CAN+∠DAC＝45°，
∴∠NAM＝∠DAC，在Rt△AND中，DAN＝cos45°＝，
同理＝，
∴，
∵∠DAC＝45°﹣∠CAN＝∠MAN，
∴△ANM∽△ADC，
∴∠AMN＝∠ACD，
∵D在BC的延长线上，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠AMN＝90°，
∴MN⊥AB；


（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，
则△AKB等腰直角三角形，
在△ADK与△ABE中，
，
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE＝∠K＝45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴AB＝4，MB＝2，
∴MG＝2，
∵∠G＝90°，
∴ME≥MG，
∴当ME＝MG时，ME的值最小，
∴ME＝BE＝2，
∴DK＝BE＝2，
∵CK＝BC＝4，
∴CD＝2，
∴BD＝6，
∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．