江西省景德镇市乐平市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版含答案）

2020-2021学年江西省景德镇市乐平市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题只有一个选项正确，每小题3分，共18分）

1．下列一元二次方程中无实数根的是（　　）

A．x2＝2x B．（x+1）（x+3）＝0 

C．（x﹣2）2＝5 D．x2﹣x+1＝0

2．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，若△POA的面积为2，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

5．如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，AA′＝2A′O，则△A′B′C′和△ABC的位似比为（　　）

A． B． C． D．

6．已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，若x1＞0＞x2，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．y1＞y2＞0 B．y2＞0＞y1 C．0＞y1＞y2 D．y1＞0＞y2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为　              　．

8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则x12+x22的值为　 　．

9．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（分）与骑车速度v（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是　    　千米/分．

10．一个长方体主视图和俯视图如图所示，则这个长方体左视图的面积为　 　cm2．

11．如图，在矩形ABCD纸片中，点E是BC边的中点，沿直线AE折叠，点B落在矩形内部的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F．已知CF＝4，DF＝5，则AD的长为　   　．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为　                　．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）如图，直线y＝x+1与双曲线y＝交于A（m，3）、B（﹣3，n）两点．

（1）点C坐标为 　      　，m＝　      　，n＝　      　，k＝　      　．

（2）直接写出关于x的不等式x+1＜的解集．

14．（6分）在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小宇同学（用线段BC表示）的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段DE表示）的影长DF为12.1米．

（1）请你在图中画出影长DF；

（2）求教学楼DE的高度．

15．（6分）如图是一个电路图，随机闭合k1、k2、k3、k4的两个开关，用列表或画树状图的方法求灯泡S能发光的概率．

16．（6分）已知矩形ABCD中，点F在AD边上，四边形EDCF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．

（1）在图1画出△BCD中DC边上的中线BG；

（2）在图2中画出线段AF的垂直平分线．

17．（6分）如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm．求点A与点B之间的距离．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若x1，x2满足x12+x22＝x1x2+16，求实数m的值．

19．（8分）在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G．

（1）求证：CE＝CF；

（2）若等边△AEF边长为2，求AC的长．

20．（8分）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且∠EDF＝60°．

（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）若点D移至BC的中点，如图2，求证：FD平分∠EFC．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．

（1）当10≤x≤30时，求y与x的关系式；

（2）当x＝30时，求y的值．并求x＞30时，y与x的关系式；

（3）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？

22．（9分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，沿对角线AC剪开，再把△ACD沿AB方向平移得到图2，其中A′D交AC于E，A′C′交BC于F．

（1）在图2中，除△ABC与△C′DA′外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；

（2）设AA′＝x．

①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？

②设四边形A'ECF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y最大值．

六、（本大题共12分）

23．（12分）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度后，与△ADE构成位似图形，则称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解

①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 　 　（填：是或不是）“旋转位似图形”．

如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”

②若α＝26°，∠B＝100°，∠E＝29°，则∠BAE的度数为 　 　；

③若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC的长度为 　 　；

（2）知识运用

如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AE⊥BD于E，∠1＝∠2．求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．

（3）拓展提高

如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为斜边AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2，求DE和BD的长．

2020-2021学年江西省景德镇市乐平市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题只有一个选项正确，每小题3分，共18分）

1．下列一元二次方程中无实数根的是（　　）

A．x2＝2x B．（x+1）（x+3）＝0 

C．（x﹣2）2＝5 D．x2﹣x+1＝0

【分析】根据根的判别式公式符号来解答．

【解答】解：A．方程x2＝2x的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根，不符合题意；

B．方程（x+1）（x+3）＝0的一般形式是x²+4x+3＝0，根的判别式Δ＝42﹣4×1×3＝4＞0，有两个不相等实数根，不符合题意；

C．方程（x﹣2）2＝5的一般形式是x²﹣4x﹣1＝0，根的判别式Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，有两个不相等实数根，不符合题意；

D．方程x2﹣x+1＝0的判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×4×1＝﹣17＜0，无实数根，符合题意；

故选：D．

2．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定即可．

【解答】解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线．

故选：B．

3．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，若△POA的面积为2，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】由反比例函数的比例系数k的几何意义求k．

【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，

∴△OPA是直角三角形，

∵S△OPA＝2，

∴＝2，

∴k＝4，

故选：C．

4．在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长，即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，从而可对四个选项进行判断．

【解答】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长．

故选：C．

5．如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，AA′＝2A′O，则△A′B′C′和△ABC的位似比为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据位似比的定义，计算出OA′：OA即可．

【解答】解：∵AA′＝2A′O，

∴OA′：OA＝1：3，

∵△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，

∴△A′B′C′和△ABC的位似比为OA′：OA＝1：3．

故选：B．

6．已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，若x1＞0＞x2，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．y1＞y2＞0 B．y2＞0＞y1 C．0＞y1＞y2 D．y1＞0＞y2

【分析】反比例函数y＝中，当k＞0时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小判定则可．

【解答】解：∵k＝1＞0，

∴双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，

又∵x1＞0＞x2，

∴A，B两点不在同一象限内，

∴y1＞0＞y2；

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为　　．

【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，

∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率＝＝，

故答案为：．

8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则x12+x22的值为　7　．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，

所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．

故答案为7．

9．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（分）与骑车速度v（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是　0.2　千米/分．

【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案．

【解答】解：设t＝，当v＝0.15时，t＝20，

解得：k＝0.15×20＝3，

故t与v的函数表达式为：t＝，

∵为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，

∴≤15，

解得：v≥0.2，

∴他骑车的速度至少是0.2千米/分．

故答案为：0.2．

10．一个长方体主视图和俯视图如图所示，则这个长方体左视图的面积为　6　cm2．

【分析】根据主视图与俯视图的长度，得到左视图的长与宽，即可求出面积．

【解答】解：根据题意得：左视图的长为3cm，宽为2cm，

则左视图的面积为2×3＝6（cm2）．

故答案为：6．

11．如图，在矩形ABCD纸片中，点E是BC边的中点，沿直线AE折叠，点B落在矩形内部的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F．已知CF＝4，DF＝5，则AD的长为　12　．

【分析】连接EF，根据矩形的性质可得AB＝CD＝9，∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质可得AB'＝AB＝9，B'E＝BE，∠AB'E＝∠B＝90°，利用HL证出Rt△FB'E≌Rt△FCE，从而求出B'F，即可求出AF，最后利用勾股定理即可求出结论．

【解答】解：连接EF，

∵CF＝4，DF＝5，

∴CD＝CF+DF＝9，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD＝9，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

由折叠的性质可得AB'＝AB＝9，B'E＝BE，∠AB'E＝∠B＝90°，

∴∠FB'E＝90°＝∠C，

∵点E为BC的中点，

∴BE＝CE，

∴B'E＝CE，

在Rt△FB'E和Rt△FCE中，

，

∴Rt△FB'E≌Rt△FCE（HL），

∴B'F＝CF＝4，

∴AF＝AB'+B'F＝13，

在Rt△AFD中，AD＝＝12．

故答案为：12．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为　（0，3）、（4，0）、（，0）　．

【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP＝∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．

【解答】解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，

由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，

此时P点坐标为（0，3）；

当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，

由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，

此时P点坐标为（4，0）；

当PC⊥AB时，如图，

∵∠CBP＝∠OBA，

∴Rt△BPC∽Rt△BAO，

∴＝，

∵点B（8，0）和点A（0，6），

∴AB＝＝10，

∵点C是AB的中点，

∴BC＝5，

∴＝，

∴BP＝，

∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，

此时P点坐标为（，0），

综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．

故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）如图，直线y＝x+1与双曲线y＝交于A（m，3）、B（﹣3，n）两点．

（1）点C坐标为 　（0，1）　，m＝　2　，n＝　﹣2　，k＝　6　．

（2）直接写出关于x的不等式x+1＜的解集．

【分析】（1）根据一次函数的关系式可求出与y轴交点坐标，将点A、B坐标代入可求出m、n的值，再将A坐标代入反比例函数关系式可求出k的值；

（2）根据两个函数图象以及交点坐标得出答案．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+1＝1，

∴点C（0，1），

把A（m，3）、B（﹣3，n）两点坐标代入y＝x+1得，

3＝m+1，n＝﹣3+1，

即m＝2，n＝﹣2，

∴A（2，3）、B（﹣3，﹣2），

把A（2，3）代入反比例函数y＝得，

k＝2×3＝6，

故答案为：（0，1），2，﹣2，6；

（2）由直线y＝x+1与双曲线y＝交于A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点可得．

关于x的不等式x+1＜的解集为0＜x＜2或x＜﹣3．

14．（6分）在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小宇同学（用线段BC表示）的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段DE表示）的影长DF为12.1米．

（1）请你在图中画出影长DF；

（2）求教学楼DE的高度．

【分析】（1）连接AC，过点E作EF∥AC交AD于F即可．

（2）利用相似三角形的性质求解即可．

【解答】解：（1）如图，线段DF即为所求作．

（2）∵△CAB∽△EFD，

∴，，

∴DE＝17.6（米）．

15．（6分）如图是一个电路图，随机闭合k1、k2、k3、k4的两个开关，用列表或画树状图的方法求灯泡S能发光的概率．

【分析】画树状图，得出共有12种等可能结果，符合题意的有6种结果，再由概率公式求解即可．

【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能结果，符合题意的有6种结果，

∴P（灯泡S能发光）＝．

16．（6分）已知矩形ABCD中，点F在AD边上，四边形EDCF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．

（1）在图1画出△BCD中DC边上的中线BG；

（2）在图2中画出线段AF的垂直平分线．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和矩形的性质可得点G，进而可以画出△BCD中DC边上的中线BG；

（2）根据平行四边形的性质和矩形的性质即可画出线段AF的垂直平分线．

【解答】解：（1）如图1，线段BG即为所求作；

（2）如图2，直线l即为所求作．

17．（6分）如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm．求点A与点B之间的距离．

【分析】连接AB，延长OC交AB于E，如图，Rt△OCD中，根据勾股定理计算出OC＝26，再根据轴对称图形的性质得CE⊥AB，AE＝BE，接着证明OCD∽△OAE，然后利用相似比计算出AE＝15，从而可得AB的长．

【解答】解：连接AB交直线OC于点E，得AB⊥OC，AE＝BE，

∴（mm）．

∵这个侧面图是轴对称图形，

∴∠AOE＝∠COD，

∵∠OEA＝∠ODC＝90°，

∴△OAE∽△OCD．

∴，

即，

∴AE＝15（ mm），

∴AB＝2AE＝30 （mm）．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若x1，x2满足x12+x22＝x1x2+16，求实数m的值．

【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系找出x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2﹣1，结合x12+x22＝x1x2+16即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，结合（1）的结论即可得出m的值．

【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个实数根x1和x2．

∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝﹣4m+5≥0，

∴m≤．

（2）∵x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2﹣1，x12+x22＝x1x2+16，

∴（1﹣2m）2＝3（m2﹣1）+16，即m2﹣4m﹣12＝0，

解得：m＝6或m＝﹣2，

∵m≤，

∴m＝﹣2．

19．（8分）在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G．

（1）求证：CE＝CF；

（2）若等边△AEF边长为2，求AC的长．

【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△ADF，可得BE＝DF，可得结论；

（2）可证AC垂直平分EF，可得EG＝FG＝1．由直角三角形的性质和勾股定理可求AG，CG的长，即可求解．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE＝AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（ HL），

∴BE＝DF，

∴CE＝CF．

（2）∵AE＝AF，CE＝CF，

∴AC垂直平分EF，

∴EG＝FG＝1．

∴，，

∴．

20．（8分）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且∠EDF＝60°．

（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）若点D移至BC的中点，如图2，求证：FD平分∠EFC．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形外角性质得到∠BED＝∠CDF，即可证明△BDE∽△CFD；

（2）根据△BDE∽△CFD，得到对应边成比例，等量代换得到，证明△DFE∽△CFD，再根据相似三角形的性质，即可得到FD平分∠EFC．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠BED+∠B＝∠EDF+∠FDC，∠EDF＝60°，

∴∠BED＝∠CDF，

∴△BDE∽△CFD；

（2）证明：∵△BDE∽△CFD，

∴，

∵BD＝CD，

∴，

∵∠EDF＝∠C＝60°，

∴△DFE∽△CFD，

∴∠EFD＝∠CFD，

∴FD平分∠CFE．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．

（1）当10≤x≤30时，求y与x的关系式；

（2）当x＝30时，求y的值．并求x＞30时，y与x的关系式；

（3）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？

【分析】（1）设关系为y＝，将（10，6）代入求k；

（2）将x＝30℃代入关系式中求y，再利用温度每上升1℃，电阻增加kΩ，得出图象上点的坐标，再求出函数关系即可；

（3）将y＝5代入函数关系式求出x的值．

【解答】解：（1）设．

∵过点（10，6），

∵k＝xy＝10×6＝60．

∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：；

（2）∵，

∴当x＝30时，．

x＞30时，设y＝kx+b，

∵过点（30，2），

∵温度每上升1℃，电阻增加．

∴过点，

∴，

解得：，

故y与x的关系式为：；

（3），当y＝5时，得x＝12；

，当y＝5时，得；

答：温度x取值范围是．

22．（9分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，沿对角线AC剪开，再把△ACD沿AB方向平移得到图2，其中A′D交AC于E，A′C′交BC于F．

（1）在图2中，除△ABC与△C′DA′外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；

（2）设AA′＝x．

①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？

②设四边形A'ECF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y最大值．

【分析】（1）由∠A＝∠C'，∠AA'E＝∠C'CF＝90°，AA'＝C'C可判定△AA'E≌△C'CF；

（2）①由△AA'E∽△ABC知即，据此得，A'B＝8﹣x，再根据△ABC∽△A'BF得，即，据此知，而A'E＝A'F时四边形A'ECF是菱形，据此得出关于x的方程，解之即可；

②由，并将其配成顶点式即可得出答案．

【解答】解：（1）△AA'E≌△C'CF，△A'BF≌△CDE．

证明：△AA'E≌△C'CF．

∵∠A＝∠C'，∠AA'E＝∠C'CF＝90°，AA'＝C'C（平移距离相等），

∴△AA'E≌△C'CF（ASA）；

（2）①∵△AA'E∽△ABC，

∴即，

∴，A'B＝8﹣x，

∵△ABC∽△A'BF，

∴即，

∴，

当A'E＝A'F时，四边形A'ECF是菱形．

∴，

解得x＝5；

②，

即，

∴，

则y的最大值为12．

六、（本大题共12分）

23．（12分）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度后，与△ADE构成位似图形，则称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解

①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 　是　（填：是或不是）“旋转位似图形”．

如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”

②若α＝26°，∠B＝100°，∠E＝29°，则∠BAE的度数为 　25　；

③若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC的长度为 　　；

（2）知识运用

如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AE⊥BD于E，∠1＝∠2．求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．

（3）拓展提高

如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为斜边AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2，求DE和BD的长．

【分析】（1）利用旋转位似图形的定义，逐一进行计算即可；

（2）通过两个角相等可证△AEB∽△ADC．且△AEB和△ADC有一个公共顶点A．则可证△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”；

（3））根据△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，得△ABD∽△AGE．利用对应边成比例可得AE的长，作DE'⊥AE交直线AE于点E'，则证明△ADE'为等腰直角三角形．求出AE'＝AE，知点E'和点E重合，则∠AED＝90°．得∠AEG＝90°．利用勾股定理即可求出答案．

【解答】解：（1）①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，将其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”，

②∵△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠D＝∠B＝100°，

又∵α＝26°，∠E＝29°，

∴∠BAE＝180°﹣100°﹣29°﹣26°＝25°，

③∵△ABC∽△ADE，

∴，

∴，

∴BC＝，

故答案为：是；25°；．

（2）∵∠1+∠ACD＝∠2+∠ABE＝90°，

∴∠ACD＝∠ABE．

∵∠AEB＝∠ADC，

∴△AEB∽△ADC．

∵△AEB和△ADC有一个公共顶点A．

∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．

（3）∵△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，

∴△ABD∽△AGE．

∴，∠DAB＝∠EAG，

∴，

∴；

作DE'⊥AE交直线AE于点E'，

∵∠DAB+∠BAE＝∠EAG+∠BAE＝45°．

∴△ADE'为等腰直角三角形．

∵，

∴．

∴AE'＝AE，

∴点E'和点E重合，

∴∠AED＝90°．

∴∠AEG＝90°．

∴∠ADB＝∠AEG＝90°．

由勾股定理可得：

DE＝，

BD＝，