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湖北省襄阳市枣阳市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案）
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这是一份湖北省襄阳市枣阳市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省襄阳市枣阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号填入题后的括号中。
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣＝3﹣2＝1
C． D．
3．我市某学校为庆祝中国共产党成立一百周年，开展了“学党史、颂党恩、跟党走”系列主题教育活动．其中，在演讲比赛活动中，参加决赛的所有15位选手的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否能进入前8名，只需要知道这15位选手成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm
5．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
6．如图，是一种古代计时器﹣﹣“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）
A． B．
C． D．
7．2002年国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是18，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．18 B．30 C．34 D．364
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
9．一次函数y＝5x﹣2的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
10．我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．24 D．
二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.把答案填在相应位置上.
11．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝．那么14※18＝ ．
12．每年五月第三个星期日是全国助残日．在今年助残日前夕，某班进行了公益捐款活动，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中捐100元的人数占全班总人数的10%，由统计图可得全班同学平均每人捐款 元．
13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿 的方向航行．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，则四边形CODE的周长是 ．
15．一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过第 象限．
16．已知一次函数y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），x与y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣1
0
1
2
3
4
那么，不等式mx+n＞0的解集是 ．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．请补充一个关于点E，F的条件，使四边形DEBF是平行四边形．补充的条件是 ．
18．直线a：y＝x+2分别与x轴、y轴相交于点B和点D．直线b：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点C和点E，直线a与直线b相交于点A，则四边形ADOC的面积为 ．
19．如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为 ．
20．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点A落到EF上的点G处，并使折痕经过点B，交EF于点H，交CD于点M．已知AB＝2，则线段HG的长度为 ．
三、解答题：本大题共9个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内.
21．（6分）计算：
（1）﹣3﹣+；
（2）（4﹣3）÷．
22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，F是CD上一点且CF＝BC，连接AF，EF．求证：∠AEF＝90°．
23．（6分）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）2x2+3xy．
24．（6分）我市在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A，B两小区分别有300名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】A小区50名居民成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：
75
75
79
79
79
79
80
80
81
82
82
83
83
84
84
84
【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
方差
A
75.1
x
79
40%
277
B
75.1
77
76
45%
211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：x＝ ；
（2）请估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数．
（3）请从两个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．
25．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是斜边AB的中点．
（1）过点C作CD⊥AB于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）若∠BCD＝3∠ACD，求∠ECD的度数．
26．（7分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开宿舍的时间/min
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/km
0.2
0.7
0.7
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 km；
②小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min；
③当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为 min．
（3）当0≤x≤7和23≤x≤28时，请分别直接写出y关于x的函数解析式．
27．（7分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．
28．（7分）为提高学生的身体素质，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，让更多的学生以更大的兴趣、更多的时间积极投入到运动之中．学校现计划从某体育用品专卖店购进足球和篮球共100个，足球的售价为每个80元．购买篮球所需费用y（元）与购买数量x（个）之间存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出当0≤x≤40和x＞40时，y与x之间的函数关系式；
（2）若在购买计划中，篮球的数量不超过60个，但不少于35个．学校如何分配篮球和足球的购买数量，可使得购买总费用最低，并求出最低费用．
29．（8分）在正方形ABCD中，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）发现问题：如图1，当点E在线段AC上时．
①求证：四边形DEFG是正方形；
②猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．
（2）类比探究：当点E运动到如图2所示的位置时，求∠DCG的度数．
（3）拓展运用：如图3，当点E在线段AC的延长线上时，若正方形ABCD的边长为4，CE＝，求GE的长．
2020-2021学年湖北省襄阳市枣阳市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号填入题后的括号中。
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据负数没有平方根判断即可确定出x的范围．
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则需x+1≥0，即x≥﹣1，
则x的取值范围是x≥﹣1，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣＝3﹣2＝1
C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质和二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、与无法合并，故此选项错误；
B、＝＝，故此选项错误；
C、÷＝3÷＝3，故此选项正确；
D、3+＝3+3＝6，故此选项错误；
故选：C．
3．我市某学校为庆祝中国共产党成立一百周年，开展了“学党史、颂党恩、跟党走”系列主题教育活动．其中，在演讲比赛活动中，参加决赛的所有15位选手的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否能进入前8名，只需要知道这15位选手成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有15个人，且他们的成绩各不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较，
故选：C．
4．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm
【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，
设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，
即（9﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝5，
即DE长为5cm，
故选：D．
5．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE＝∠OBA，
∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，
∴∠OBE≠∠OCE，
∴选项D错误；
故选：D．
6．如图，是一种古代计时器﹣﹣“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．
【解答】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；
由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；
所以B选项正确．
故选：B．
7．2002年国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是18，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．18 B．30 C．34 D．364
【分析】先由勾股定理得出a2+b2＝18，再由题意得出（b﹣a）2＝2，即可求出（a+b）2的值．
【解答】解：由勾股定理可知a2+b2＝18，
又∵小正方形的面积为2，
∴（b﹣a）2＝2，即b2+a2﹣2ab＝2，
∴ab＝（18﹣2）÷2＝8，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝18+2×8＝34，
故选：C．
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
【分析】根据一次比例函数图象的性质可知．
【解答】解：A、将点（﹣1，3）代入原函数，得y＝﹣3×（﹣1）+1＝4≠3，故A错误；
B、因为k＝﹣3＜0，b＝1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误；
C、当x＞1时，函数图象在第四象限，故y＜0，故C正确；
故选：C．
9．一次函数y＝5x﹣2的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据k＞0，得到y随x的增大而增大，再利用x1＜x1+1＜x1+2，可得y1＜y2＜y3．
【解答】解：∵一次函数y＝5x﹣2中，5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x1＜x1+1＜x1+2，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
10．我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．24 D．
【分析】根据题意套入公式即可求解．
【解答】解：∵a＝7，b＝8，c＝9，
∴p＝＝＝12，
∴S△ABC＝＝＝＝12，
故选：A．
二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.把答案填在相应位置上.
11．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝．那么14※18＝ ﹣ ．
【分析】按照定义计算即可得到答案．
【解答】解：∵a※b＝，
∴14※18
＝
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
12．每年五月第三个星期日是全国助残日．在今年助残日前夕，某班进行了公益捐款活动，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中捐100元的人数占全班总人数的10%，由统计图可得全班同学平均每人捐款 30 元．
【分析】先根据捐100元的人数占全班总人数的10%求得总人数，然后确定捐款20元的人数，然后求出平均数即可．
【解答】解：∵捐100元的有5人占全班总人数的10%，
∴全班总人数为5÷10%＝50（人），
∴捐款20元的有50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
∴全班同学平均每人捐款＝30（元）．
故答案为：30．
13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿 北偏西40° 的方向航行．
【分析】由题意先求出线段PQ，PR的长度，根据勾股定理的逆定理得到∠RPQ＝90°，即可解决．
【解答】解：由题意可得，PQ＝2×12＝24海里，PR＝2×9＝18海里，QR＝30海里，
∵PQ2+PR2＝QR2，
∴∠RPQ＝90°，
∵∠SPQ＝50°，
∴∠SPR＝90°﹣∠SPQ＝40°
∴海天”号沿北偏西40°的方向航行，
故答案为：北偏西40°．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，则四边形CODE的周长是 6 ．
【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝，再证四边形ODEC是菱形，得OD＝DE＝CE＝OC＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝3，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OD＝DE＝CE＝OC＝，
∴四边形CODE的周长＝4OC＝6，
故答案为：6．
15．一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过第 一 象限．
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，可以得到k＜0，再根据b＜0，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵b＜0，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
16．已知一次函数y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），x与y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣1
0
1
2
3
4
那么，不等式mx+n＞0的解集是 x＞﹣1 ．
【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以得到y随x的增大如何变化，然后即可写出不等式mx+n＞0的解集．
【解答】解：由表格可得，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝0，
∵﹣2＜﹣1，﹣1＜0，
∴一次函数y＝mx+n中y随x的增大而增大，
∴当y＞0时，x＞﹣1，
即mx+n＞0时，x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．请补充一个关于点E，F的条件，使四边形DEBF是平行四边形．补充的条件是 OE＝OF（答案不唯一） ．
【分析】由平行四边形的性质得OB＝OD，再由OE＝OF，即可得出结论．
【解答】解：补充的条件为：OE＝OF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故答案为：OE＝OF（答案不唯一）．
18．直线a：y＝x+2分别与x轴、y轴相交于点B和点D．直线b：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点C和点E，直线a与直线b相交于点A，则四边形ADOC的面积为 7 ．
【分析】首先求得两直线与坐标轴的交点坐标和两直线的交点坐标，作AE⊥x轴于点E，利用S四边形ADOC＝S梯形DOEA+S△AFC求解．
【解答】解：令y＝x+2＝0，解得：x＝﹣2，
令x＝0，解得：x＝2，
∴B（﹣2，0），D（0，2）；
令y＝﹣x+4＝0，解得：x＝4，
令x＝0，解得：y＝4，
∴C（4，0），E（0，4），
由，
解得：，
∴A（1，3）
∴CF＝4﹣3＝1，
作AF⊥x轴于点F，
S四边形ADOC＝S梯形DOFA+S△AFC＝（DO+AF）•OF+AF•FC＝（2+3）×1+×3×3＝7，
故答案为：7．
19．如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为 21 ．
【分析】在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的长，由CD+BD求出BC的长即可．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝10，AD＝8，
根据勾股定理得：CD＝＝6，
在Rt△ABD中，AB＝17，AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝＝15，
则BC＝6+15＝21，
故答案为：21
20．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点A落到EF上的点G处，并使折痕经过点B，交EF于点H，交CD于点M．已知AB＝2，则线段HG的长度为 ．
【分析】连接AG，可证出△ABG是等边三角形，设EH＝x，则BH＝2x，在Rt△BEH中，由勾股定理列出方程即可．
【解答】解：连接AG，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，
∴AG＝BG，BE＝AE＝1，
由第二次折叠知：AB＝BG，∠ABM＝∠MBG，
∴AG＝BG＝AB，
∴△ABG是等边三角形，
∴∠ABG＝60°，
∴∠ABM＝∠MBG＝30°，∠EGB＝30°，
∴BH＝HG，
设EH＝x，则BH＝2x，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
x2+12＝（2x）2，
∴x＝，
∴BH＝HG＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共9个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内.
21．（6分）计算：
（1）﹣3﹣+；
（2）（4﹣3）÷．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把化简，然后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣﹣2+
＝；
（2）原式＝（4﹣3）÷2
＝2﹣．
22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，F是CD上一点且CF＝BC，连接AF，EF．求证：∠AEF＝90°．
【分析】根据正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，进而利用勾股定理解得即可．
【解答】证明：∵点E是BC的中点，
∴．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵，
∴，．
设CF＝a，则CE＝2a，AB＝BC＝CD＝DA＝4a，DF＝CD﹣CF＝3a．
根据勾股定理，得AF2＝AD2+FD2＝25a2，EF2＝CF2+CE2＝5a2，AE2＝EB2+AB2＝20a2．
∴EF2+AE2＝25a2，AF2＝25a2，
∴EF2+AE2＝AF2．
∴△AEF是直角三角形．
∴∠AEF＝90°．
23．（6分）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）2x2+3xy．
【分析】（1）利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，然后把x、y的值代入计算即可；
（2）把x、y的值代入得到2x2+3xy＝2（+2）2+3（+2）（﹣2），然后利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）∵x＝+2，y＝﹣2，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+2+﹣2）2＝＝12；
（2）2x2+3xy＝2（+2）2+3（+2）（﹣2）＝2（3+4+4）+3×（3﹣4）＝14+8﹣3＝11+8．
24．（6分）我市在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A，B两小区分别有300名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】A小区50名居民成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：
75
75
79
79
79
79
80
80
81
82
82
83
83
84
84
84
【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
方差
A
75.1
x
79
40%
277
B
75.1
77
76
45%
211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：x＝ 75 ；
（2）请估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数．
（3）请从两个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．
【分析】（1）根据中位数的意义，将50名居民成绩从小到大排列，找出处在中间位置的两个数的平均数即可；
（2）求出A区成绩高于平均数75.1分的人数所占的百分比即可求出相应的人数；
（3）从中位数、方差两个方面进行分析，得出结论．
【解答】解：（1）将这50名居民的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是75，因此中位数是75，即x＝75，
故答案为：75；
（2）300×＝144（人）．
答：估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数为144人；
（3）从中位数和方差两个方面，可得，
从方差看，，，，说明A小区的居民之间对垃圾分类知识的掌握差异比B小区居民大；
从中位数看，B小区的中位数是77，77＞75.1，说明B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
（答案不唯一）．
25．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是斜边AB的中点．
（1）过点C作CD⊥AB于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）若∠BCD＝3∠ACD，求∠ECD的度数．
【分析】（1）利用基本作图，过C点作AB的垂线；
（2）利用∠BCD＝3∠ACD可计算出∠BCD＝67.5°，再利用互余计算出∠B＝22.5°，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CE＝BE＝AE，所以∠ECB＝∠B＝22.5°，然后计算
∠BCD﹣∠B即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD为所求；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
又∠BCD＝3∠ACD，
∴∠BCD＝67.5°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°．
∴∠B＝22.5°．
∵点E是斜边AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠ECB＝∠B＝22.5°．
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠B＝67.5°﹣22.5°＝45°．
26．（7分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开宿舍的时间/min
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/km
0.2
0.5
0.7
0.7
1
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 0.3 km；
②小亮从图书馆返回宿舍的速度为 0.1 km/min；
③当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为 6或62 min．
（3）当0≤x≤7和23≤x≤28时，请分别直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（1）算出前7分钟的速度，即可得离开宿舍5分钟的距离，观察图象可得离开宿舍30分钟的距离；
（2）①用宿舍到图书馆的距离﹣宿舍到食堂的距离即可得食堂到图书馆的距离；
②用返回的距离÷返回的时间可得返回的速度；
③小亮离宿舍的距离为0.6km，可分为去时和返回两种情况，分别计算即可；
（3）直接利用待定系数法可得当0≤x≤7和23≤x≤28时y关于x的函数解析式．
【解答】解：（1）由图象可得，
前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），
∴当x＝5时，离宿舍的距离为0.1×5＝0.5（km），
在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，
∴当x＝30时，离宿舍的距离为1km，
故答案为：0.5，1；
（2）由图象可得，
①食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km），
故答案为：0.3；
②小亮从图书馆返回宿舍的速度为1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），
故答案为：0.1；
③当0≤x≤7时，
小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min），
当58≤x≤68时，
小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），
故答案为：6或62；
（3）由图象可得，
当0≤x≤7时，y＝0.1x，
当23＜x≤28时，设y＝kx+b（k≠0），
，
解得，
∴当23＜x≤28时，y＝0.06x﹣0.68．
27．（7分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，可证BC∥EF，可得结论；
（2）由面积法可求BH的长，利用勾股定理可求CH的长，即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）当时，四边形BCEF是菱形．
理由如下：
连接BE，交CF与点H，
∵AC＝DF，
∴AC﹣FC＝DF﹣FC，
即AF＝CD，
若四边形BCEF是菱形时，
∴BE⊥CF，，EF＝BC＝3．
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴．
∵，
即．
在Rt△BCH中，，BC＝3，
∴．
∴，
∴，
∴当时，四边形BCEF是菱形．
28．（7分）为提高学生的身体素质，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，让更多的学生以更大的兴趣、更多的时间积极投入到运动之中．学校现计划从某体育用品专卖店购进足球和篮球共100个，足球的售价为每个80元．购买篮球所需费用y（元）与购买数量x（个）之间存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出当0≤x≤40和x＞40时，y与x之间的函数关系式；
（2）若在购买计划中，篮球的数量不超过60个，但不少于35个．学校如何分配篮球和足球的购买数量，可使得购买总费用最低，并求出最低费用．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以得到费用与购买篮球数量的函数关系，由篮球的数量不超过60个，但不少于35个，可以求得购买篮球数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设当0≤x≤40时，y与x的函数关系式为y＝kx，
4000＝40k，得k＝100，
即当0≤x≤40时，y与x的函数关系式为y＝100x，
设当x＞40时，y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当x＞40时，y与x的函数关系式为y＝70x+1200，
由上可得，y与x的函数关系式为；
（2）设学校购买足球和篮球的总费用为w元，
由题意知35≤x≤60，
当35≤a≤40时，w1＝80（100﹣x）+100x＝20x+8000．
因为20＞0，所以w随x的增大而增大，
因此，当x＝35时．w＝8700．
当40＜a≤60时，w2＝80（100﹣x）+70x+1200＝﹣10x+9200．
因为﹣10＜0，所以w随x的增大而减少，
当x＝60时，w＝8600元，
∵8700＞8600，
∴当x＝60时，总费用最少，最少总费用为8600元．
∴100﹣x＝100﹣60＝40（个）．
答：当学校购买篮球60个，购买足球40个时，可使得购买总费用最低，最低费用为8600元．
29．（8分）在正方形ABCD中，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）发现问题：如图1，当点E在线段AC上时．
①求证：四边形DEFG是正方形；
②猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．
（2）类比探究：当点E运动到如图2所示的位置时，求∠DCG的度数．
（3）拓展运用：如图3，当点E在线段AC的延长线上时，若正方形ABCD的边长为4，CE＝，求GE的长．
【分析】（1）①过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
②根据三角形全等的判定定理证明△AED≌△CGD，得到AE＝CG，证明结论；
（2）过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．证明△ADE≌△CDG，由全等三角形的性质得出∠DCG＝∠DAC＝45°．
（3）证明△ADE≌△CDG，由全等三角形的性质得出AE＝CG，∠DCG＝∠DAC＝45°，证出∠ACG＝90°，由勾股定理求出AG和CG的长，则可求出答案．
【解答】证明：（1）①过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．
∴∠EPD＝∠EQC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°，
∴EQ＝EP，∠QEC＝∠PEC＝45°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠QEF+∠PEF＝90°，
又四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEP+∠PEF＝90°，
∴∠DEP＝∠QEF，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②AE＝CG，理由如下：
∵四边形DEFG是正方形
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
（2）解：过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．
由（1）知，矩形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAC＝45°．
（3）由（1）知，四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDG．
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DCG＝∠DAC＝45°，
∴∠ACG＝90°，
即∠GCE＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝DC＝4，
∴，
∴，
∴，
在Rt△GCE中，
∴．
2020-2021学年湖北省襄阳市枣阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号填入题后的括号中。
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣＝3﹣2＝1
C． D．
3．我市某学校为庆祝中国共产党成立一百周年，开展了“学党史、颂党恩、跟党走”系列主题教育活动．其中，在演讲比赛活动中，参加决赛的所有15位选手的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否能进入前8名，只需要知道这15位选手成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm
5．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
6．如图，是一种古代计时器﹣﹣“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）
A． B．
C． D．
7．2002年国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是18，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．18 B．30 C．34 D．364
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
9．一次函数y＝5x﹣2的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
10．我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．24 D．
二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.把答案填在相应位置上.
11．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝．那么14※18＝ ．
12．每年五月第三个星期日是全国助残日．在今年助残日前夕，某班进行了公益捐款活动，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中捐100元的人数占全班总人数的10%，由统计图可得全班同学平均每人捐款 元．
13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿 的方向航行．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，则四边形CODE的周长是 ．
15．一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过第 象限．
16．已知一次函数y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），x与y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣1
0
1
2
3
4
那么，不等式mx+n＞0的解集是 ．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．请补充一个关于点E，F的条件，使四边形DEBF是平行四边形．补充的条件是 ．
18．直线a：y＝x+2分别与x轴、y轴相交于点B和点D．直线b：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点C和点E，直线a与直线b相交于点A，则四边形ADOC的面积为 ．
19．如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为 ．
20．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点A落到EF上的点G处，并使折痕经过点B，交EF于点H，交CD于点M．已知AB＝2，则线段HG的长度为 ．
三、解答题：本大题共9个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内.
21．（6分）计算：
（1）﹣3﹣+；
（2）（4﹣3）÷．
22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，F是CD上一点且CF＝BC，连接AF，EF．求证：∠AEF＝90°．
23．（6分）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）2x2+3xy．
24．（6分）我市在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A，B两小区分别有300名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】A小区50名居民成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：
75
75
79
79
79
79
80
80
81
82
82
83
83
84
84
84
【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
方差
A
75.1
x
79
40%
277
B
75.1
77
76
45%
211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：x＝ ；
（2）请估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数．
（3）请从两个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．
25．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是斜边AB的中点．
（1）过点C作CD⊥AB于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）若∠BCD＝3∠ACD，求∠ECD的度数．
26．（7分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开宿舍的时间/min
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/km
0.2
0.7
0.7
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 km；
②小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min；
③当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为 min．
（3）当0≤x≤7和23≤x≤28时，请分别直接写出y关于x的函数解析式．
27．（7分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．
28．（7分）为提高学生的身体素质，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，让更多的学生以更大的兴趣、更多的时间积极投入到运动之中．学校现计划从某体育用品专卖店购进足球和篮球共100个，足球的售价为每个80元．购买篮球所需费用y（元）与购买数量x（个）之间存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出当0≤x≤40和x＞40时，y与x之间的函数关系式；
（2）若在购买计划中，篮球的数量不超过60个，但不少于35个．学校如何分配篮球和足球的购买数量，可使得购买总费用最低，并求出最低费用．
29．（8分）在正方形ABCD中，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）发现问题：如图1，当点E在线段AC上时．
①求证：四边形DEFG是正方形；
②猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．
（2）类比探究：当点E运动到如图2所示的位置时，求∠DCG的度数．
（3）拓展运用：如图3，当点E在线段AC的延长线上时，若正方形ABCD的边长为4，CE＝，求GE的长．
2020-2021学年湖北省襄阳市枣阳市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号填入题后的括号中。
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≠﹣1
【分析】根据负数没有平方根判断即可确定出x的范围．
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则需x+1≥0，即x≥﹣1，
则x的取值范围是x≥﹣1，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣＝3﹣2＝1
C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质和二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、与无法合并，故此选项错误；
B、＝＝，故此选项错误；
C、÷＝3÷＝3，故此选项正确；
D、3+＝3+3＝6，故此选项错误；
故选：C．
3．我市某学校为庆祝中国共产党成立一百周年，开展了“学党史、颂党恩、跟党走”系列主题教育活动．其中，在演讲比赛活动中，参加决赛的所有15位选手的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否能进入前8名，只需要知道这15位选手成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有15个人，且他们的成绩各不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较，
故选：C．
4．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（ ）
A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm
【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，
设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，
即（9﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝5，
即DE长为5cm，
故选：D．
5．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE＝∠OBA，
∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，
∴∠OBE≠∠OCE，
∴选项D错误；
故选：D．
6．如图，是一种古代计时器﹣﹣“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．
【解答】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；
由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；
所以B选项正确．
故选：B．
7．2002年国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是18，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．18 B．30 C．34 D．364
【分析】先由勾股定理得出a2+b2＝18，再由题意得出（b﹣a）2＝2，即可求出（a+b）2的值．
【解答】解：由勾股定理可知a2+b2＝18，
又∵小正方形的面积为2，
∴（b﹣a）2＝2，即b2+a2﹣2ab＝2，
∴ab＝（18﹣2）÷2＝8，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝18+2×8＝34，
故选：C．
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
【分析】根据一次比例函数图象的性质可知．
【解答】解：A、将点（﹣1，3）代入原函数，得y＝﹣3×（﹣1）+1＝4≠3，故A错误；
B、因为k＝﹣3＜0，b＝1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误；
C、当x＞1时，函数图象在第四象限，故y＜0，故C正确；
故选：C．
9．一次函数y＝5x﹣2的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据k＞0，得到y随x的增大而增大，再利用x1＜x1+1＜x1+2，可得y1＜y2＜y3．
【解答】解：∵一次函数y＝5x﹣2中，5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x1＜x1+1＜x1+2，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
10．我国宋代数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．24 D．
【分析】根据题意套入公式即可求解．
【解答】解：∵a＝7，b＝8，c＝9，
∴p＝＝＝12，
∴S△ABC＝＝＝＝12，
故选：A．
二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.把答案填在相应位置上.
11．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝．那么14※18＝ ﹣ ．
【分析】按照定义计算即可得到答案．
【解答】解：∵a※b＝，
∴14※18
＝
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
12．每年五月第三个星期日是全国助残日．在今年助残日前夕，某班进行了公益捐款活动，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图，其中捐100元的人数占全班总人数的10%，由统计图可得全班同学平均每人捐款 30 元．
【分析】先根据捐100元的人数占全班总人数的10%求得总人数，然后确定捐款20元的人数，然后求出平均数即可．
【解答】解：∵捐100元的有5人占全班总人数的10%，
∴全班总人数为5÷10%＝50（人），
∴捐款20元的有50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
∴全班同学平均每人捐款＝30（元）．
故答案为：30．
13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿 北偏西40° 的方向航行．
【分析】由题意先求出线段PQ，PR的长度，根据勾股定理的逆定理得到∠RPQ＝90°，即可解决．
【解答】解：由题意可得，PQ＝2×12＝24海里，PR＝2×9＝18海里，QR＝30海里，
∵PQ2+PR2＝QR2，
∴∠RPQ＝90°，
∵∠SPQ＝50°，
∴∠SPR＝90°﹣∠SPQ＝40°
∴海天”号沿北偏西40°的方向航行，
故答案为：北偏西40°．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，则四边形CODE的周长是 6 ．
【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝，再证四边形ODEC是菱形，得OD＝DE＝CE＝OC＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝3，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝AC＝，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OD＝DE＝CE＝OC＝，
∴四边形CODE的周长＝4OC＝6，
故答案为：6．
15．一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过第 一 象限．
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，可以得到k＜0，再根据b＜0，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵b＜0，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
16．已知一次函数y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），x与y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
﹣1
0
1
2
3
4
那么，不等式mx+n＞0的解集是 x＞﹣1 ．
【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以得到y随x的增大如何变化，然后即可写出不等式mx+n＞0的解集．
【解答】解：由表格可得，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝0，
∵﹣2＜﹣1，﹣1＜0，
∴一次函数y＝mx+n中y随x的增大而增大，
∴当y＞0时，x＞﹣1，
即mx+n＞0时，x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．请补充一个关于点E，F的条件，使四边形DEBF是平行四边形．补充的条件是 OE＝OF（答案不唯一） ．
【分析】由平行四边形的性质得OB＝OD，再由OE＝OF，即可得出结论．
【解答】解：补充的条件为：OE＝OF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
又∵OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故答案为：OE＝OF（答案不唯一）．
18．直线a：y＝x+2分别与x轴、y轴相交于点B和点D．直线b：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点C和点E，直线a与直线b相交于点A，则四边形ADOC的面积为 7 ．
【分析】首先求得两直线与坐标轴的交点坐标和两直线的交点坐标，作AE⊥x轴于点E，利用S四边形ADOC＝S梯形DOEA+S△AFC求解．
【解答】解：令y＝x+2＝0，解得：x＝﹣2，
令x＝0，解得：x＝2，
∴B（﹣2，0），D（0，2）；
令y＝﹣x+4＝0，解得：x＝4，
令x＝0，解得：y＝4，
∴C（4，0），E（0，4），
由，
解得：，
∴A（1，3）
∴CF＝4﹣3＝1，
作AF⊥x轴于点F，
S四边形ADOC＝S梯形DOFA+S△AFC＝（DO+AF）•OF+AF•FC＝（2+3）×1+×3×3＝7，
故答案为：7．
19．如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为 21 ．
【分析】在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的长，由CD+BD求出BC的长即可．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝10，AD＝8，
根据勾股定理得：CD＝＝6，
在Rt△ABD中，AB＝17，AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝＝15，
则BC＝6+15＝21，
故答案为：21
20．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点A落到EF上的点G处，并使折痕经过点B，交EF于点H，交CD于点M．已知AB＝2，则线段HG的长度为 ．
【分析】连接AG，可证出△ABG是等边三角形，设EH＝x，则BH＝2x，在Rt△BEH中，由勾股定理列出方程即可．
【解答】解：连接AG，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到折痕EF，
∴AG＝BG，BE＝AE＝1，
由第二次折叠知：AB＝BG，∠ABM＝∠MBG，
∴AG＝BG＝AB，
∴△ABG是等边三角形，
∴∠ABG＝60°，
∴∠ABM＝∠MBG＝30°，∠EGB＝30°，
∴BH＝HG，
设EH＝x，则BH＝2x，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
x2+12＝（2x）2，
∴x＝，
∴BH＝HG＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共9个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内.
21．（6分）计算：
（1）﹣3﹣+；
（2）（4﹣3）÷．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把化简，然后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣﹣2+
＝；
（2）原式＝（4﹣3）÷2
＝2﹣．
22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，F是CD上一点且CF＝BC，连接AF，EF．求证：∠AEF＝90°．
【分析】根据正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，进而利用勾股定理解得即可．
【解答】证明：∵点E是BC的中点，
∴．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵，
∴，．
设CF＝a，则CE＝2a，AB＝BC＝CD＝DA＝4a，DF＝CD﹣CF＝3a．
根据勾股定理，得AF2＝AD2+FD2＝25a2，EF2＝CF2+CE2＝5a2，AE2＝EB2+AB2＝20a2．
∴EF2+AE2＝25a2，AF2＝25a2，
∴EF2+AE2＝AF2．
∴△AEF是直角三角形．
∴∠AEF＝90°．
23．（6分）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）2x2+3xy．
【分析】（1）利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，然后把x、y的值代入计算即可；
（2）把x、y的值代入得到2x2+3xy＝2（+2）2+3（+2）（﹣2），然后利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）∵x＝+2，y＝﹣2，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+2+﹣2）2＝＝12；
（2）2x2+3xy＝2（+2）2+3（+2）（﹣2）＝2（3+4+4）+3×（3﹣4）＝14+8﹣3＝11+8．
24．（6分）我市在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A，B两小区分别有300名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】A小区50名居民成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：
75
75
79
79
79
79
80
80
81
82
82
83
83
84
84
84
【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
方差
A
75.1
x
79
40%
277
B
75.1
77
76
45%
211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：x＝ 75 ；
（2）请估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数．
（3）请从两个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．
【分析】（1）根据中位数的意义，将50名居民成绩从小到大排列，找出处在中间位置的两个数的平均数即可；
（2）求出A区成绩高于平均数75.1分的人数所占的百分比即可求出相应的人数；
（3）从中位数、方差两个方面进行分析，得出结论．
【解答】解：（1）将这50名居民的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是75，因此中位数是75，即x＝75，
故答案为：75；
（2）300×＝144（人）．
答：估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数为144人；
（3）从中位数和方差两个方面，可得，
从方差看，，，，说明A小区的居民之间对垃圾分类知识的掌握差异比B小区居民大；
从中位数看，B小区的中位数是77，77＞75.1，说明B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
（答案不唯一）．
25．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是斜边AB的中点．
（1）过点C作CD⊥AB于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）若∠BCD＝3∠ACD，求∠ECD的度数．
【分析】（1）利用基本作图，过C点作AB的垂线；
（2）利用∠BCD＝3∠ACD可计算出∠BCD＝67.5°，再利用互余计算出∠B＝22.5°，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CE＝BE＝AE，所以∠ECB＝∠B＝22.5°，然后计算
∠BCD﹣∠B即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD为所求；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
又∠BCD＝3∠ACD，
∴∠BCD＝67.5°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°．
∴∠B＝22.5°．
∵点E是斜边AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠ECB＝∠B＝22.5°．
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠B＝67.5°﹣22.5°＝45°．
26．（7分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开宿舍的时间/min
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/km
0.2
0.5
0.7
0.7
1
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 0.3 km；
②小亮从图书馆返回宿舍的速度为 0.1 km/min；
③当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为 6或62 min．
（3）当0≤x≤7和23≤x≤28时，请分别直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（1）算出前7分钟的速度，即可得离开宿舍5分钟的距离，观察图象可得离开宿舍30分钟的距离；
（2）①用宿舍到图书馆的距离﹣宿舍到食堂的距离即可得食堂到图书馆的距离；
②用返回的距离÷返回的时间可得返回的速度；
③小亮离宿舍的距离为0.6km，可分为去时和返回两种情况，分别计算即可；
（3）直接利用待定系数法可得当0≤x≤7和23≤x≤28时y关于x的函数解析式．
【解答】解：（1）由图象可得，
前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），
∴当x＝5时，离宿舍的距离为0.1×5＝0.5（km），
在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，
∴当x＝30时，离宿舍的距离为1km，
故答案为：0.5，1；
（2）由图象可得，
①食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km），
故答案为：0.3；
②小亮从图书馆返回宿舍的速度为1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），
故答案为：0.1；
③当0≤x≤7时，
小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min），
当58≤x≤68时，
小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），
故答案为：6或62；
（3）由图象可得，
当0≤x≤7时，y＝0.1x，
当23＜x≤28时，设y＝kx+b（k≠0），
，
解得，
∴当23＜x≤28时，y＝0.06x﹣0.68．
27．（7分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，可证BC∥EF，可得结论；
（2）由面积法可求BH的长，利用勾股定理可求CH的长，即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）当时，四边形BCEF是菱形．
理由如下：
连接BE，交CF与点H，
∵AC＝DF，
∴AC﹣FC＝DF﹣FC，
即AF＝CD，
若四边形BCEF是菱形时，
∴BE⊥CF，，EF＝BC＝3．
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴．
∵，
即．
在Rt△BCH中，，BC＝3，
∴．
∴，
∴，
∴当时，四边形BCEF是菱形．
28．（7分）为提高学生的身体素质，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，让更多的学生以更大的兴趣、更多的时间积极投入到运动之中．学校现计划从某体育用品专卖店购进足球和篮球共100个，足球的售价为每个80元．购买篮球所需费用y（元）与购买数量x（个）之间存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出当0≤x≤40和x＞40时，y与x之间的函数关系式；
（2）若在购买计划中，篮球的数量不超过60个，但不少于35个．学校如何分配篮球和足球的购买数量，可使得购买总费用最低，并求出最低费用．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以得到费用与购买篮球数量的函数关系，由篮球的数量不超过60个，但不少于35个，可以求得购买篮球数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设当0≤x≤40时，y与x的函数关系式为y＝kx，
4000＝40k，得k＝100，
即当0≤x≤40时，y与x的函数关系式为y＝100x，
设当x＞40时，y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当x＞40时，y与x的函数关系式为y＝70x+1200，
由上可得，y与x的函数关系式为；
（2）设学校购买足球和篮球的总费用为w元，
由题意知35≤x≤60，
当35≤a≤40时，w1＝80（100﹣x）+100x＝20x+8000．
因为20＞0，所以w随x的增大而增大，
因此，当x＝35时．w＝8700．
当40＜a≤60时，w2＝80（100﹣x）+70x+1200＝﹣10x+9200．
因为﹣10＜0，所以w随x的增大而减少，
当x＝60时，w＝8600元，
∵8700＞8600，
∴当x＝60时，总费用最少，最少总费用为8600元．
∴100﹣x＝100﹣60＝40（个）．
答：当学校购买篮球60个，购买足球40个时，可使得购买总费用最低，最低费用为8600元．
29．（8分）在正方形ABCD中，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）发现问题：如图1，当点E在线段AC上时．
①求证：四边形DEFG是正方形；
②猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．
（2）类比探究：当点E运动到如图2所示的位置时，求∠DCG的度数．
（3）拓展运用：如图3，当点E在线段AC的延长线上时，若正方形ABCD的边长为4，CE＝，求GE的长．
【分析】（1）①过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
②根据三角形全等的判定定理证明△AED≌△CGD，得到AE＝CG，证明结论；
（2）过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．证明△ADE≌△CDG，由全等三角形的性质得出∠DCG＝∠DAC＝45°．
（3）证明△ADE≌△CDG，由全等三角形的性质得出AE＝CG，∠DCG＝∠DAC＝45°，证出∠ACG＝90°，由勾股定理求出AG和CG的长，则可求出答案．
【解答】证明：（1）①过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．
∴∠EPD＝∠EQC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°，
∴EQ＝EP，∠QEC＝∠PEC＝45°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠QEF+∠PEF＝90°，
又四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEP+∠PEF＝90°，
∴∠DEP＝∠QEF，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②AE＝CG，理由如下：
∵四边形DEFG是正方形
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
（2）解：过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．
由（1）知，矩形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAC＝45°．
（3）由（1）知，四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDG．
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DCG＝∠DAC＝45°，
∴∠ACG＝90°，
即∠GCE＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝DC＝4，
∴，
∴，
∴，
在Rt△GCE中，
∴．
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