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江西省萍乡市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案）
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这是一份江西省萍乡市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江西省萍乡市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案）
1．（3分）“实数x不小于6”是指（ ）
A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6
2．（3分）在平面直角坐标系内，把点P（﹣2，4）沿x轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣2，5） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
3．（3分）计算：的结果为（ ）
A．m B．m﹣2 C．1 D．
4．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
5．（3分）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．x2+3xy+9y2＝（x+3y）2
B．2x2﹣4xy+9y2＝（2x﹣3y）2
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
D．2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2y）
6．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，则BD的长是（ ）
A．12 B．8 C．4 D．6
9．（3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
10．（3分）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡上）
11．（3分）用反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步应假设 ．
12．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ．
13．（3分）如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 ．
14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O；E、F分别为AD，CD的中点，若AC＝6，▱ABCD的周长为28，则△OEF的周长为 ．
15．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ．
16．（3分）如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别在AB、AE的边上．∠1+∠2＝100°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
17．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来计划的1.5倍速度生产，结果比原计划提前一周完成任务，则原计划每周生产 万个口罩．
18．（3分）如图，O为等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝135°，OA＝1，OB＝2，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，则OC的长为 ．
三、（本大题共3个题，其中第19题8分，第20，21题各5分，共18分）
19．（8分）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，并从0，1，2、3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（5分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
22．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接MN，EF．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AD＝4cm，求MN的长．
23．（5分）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
五、（本大题共2小题，其中第24题5分，第25题6分，共11分）
24．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，AC与DE交于点M．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段DE的垂直平分线．
25．（6分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从A、B两地同时出发匀速前往C地（B在A、C两地的之间），设甲、乙两人距A地的路程分别为y甲、y乙（千米），行驶的时间为x（小时），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x之间的函数表达式；
（2）在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，分别交y甲、y乙的图象于点M、N，当线段MN长为40千米时，求a的值；
（3）在甲追上乙后，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，求x的取值范围．
六、（本大题共1小题，共7分）
26．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是D，E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角α的度数是 ；
（2）如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，当B，D，E三点不在同一直线上时，连接BD，AE，若△BCD的面积为cm2，求此时四边形ABDE的面积．
2020-2021学年江西省萍乡市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案）
1．（3分）“实数x不小于6”是指（ ）
A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6
【分析】实数x不小于6，即x大于或等于6，据此判断即可．
【解答】解：“实数x不小于6”是指x≥6．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系内，把点P（﹣2，4）沿x轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣2，5） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
【分析】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．
【解答】解：将点P（﹣2，4）向右平移1个单位长度，得到点′（﹣1，4），
故选：A．
3．（3分）计算：的结果为（ ）
A．m B．m﹣2 C．1 D．
【分析】利用同分母分式的加减法运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝＝1，
故选：C．
4．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
故选：B．
5．（3分）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．x2+3xy+9y2＝（x+3y）2
B．2x2﹣4xy+9y2＝（2x﹣3y）2
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
D．2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2y）
【分析】根据提公因式法与公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．
【解答】解：A．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2，因此选项A不符合题意；
B.4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2，因此选项B不符合题意；
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y），因此选项C不符合题意；
D.2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y），因此选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
7．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解集为3≤x＜m，
由不等式组的整数解共有4个，得到整数解为3，4，5，6，
∴6＜m≤7，
故选：D．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，则BD的长是（ ）
A．12 B．8 C．4 D．6
【分析】延长BA、CD交于点E，在Rt△ADE中，可得DE＝8，在Rt△BCE中，设BC＝x，则BE＝2x，由勾股定理得：x2+182＝（2x）2，求出BC＝6，再借助勾股定理求出BD的长即可．
【解答】解：延长BA、CD交于点E，
在Rt△BCE中，∵∠ABC＝60°，
∴∠E＝30°，
∵AD＝4，∠DAE＝90°，
∴DE＝8，
∴EC＝DE+CD＝18，
设BC＝x，则BE＝2x，
由勾股定理得：x2+182＝（2x）2，
∵x＞0，
解得x＝6，
∴BC＝6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD＝＝4，
故选：C．
9．（3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：等式的两边都乘以（x﹣2），得
x＝2（x﹣2）+m，
解得x＝4﹣m，
x＝4﹣m≠2，
由关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，得
m＝1，m＝3，
故选：C．
10．（3分）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡上）
11．（3分）用反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步应假设 a≠0，b≠0 ．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步，应假设a≠0，b≠0，
故答案为：a≠0，b≠0．
12．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】分式的值为0时：分子等于0，且分母不等于0．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（3分）如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 x＜4 ．
【分析】直线y＝kx﹣3落在直线y＝2x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：∵函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），
∴不等式kx﹣3＞2x+b的解集是x＜4．
故答案为x＜4．
14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O；E、F分别为AD，CD的中点，若AC＝6，▱ABCD的周长为28，则△OEF的周长为 10 ．
【分析】由三角形中位线定理可求解OE+OF，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的周长为28，
∴AB+BC＝14，OA＝OC，OB＝OD，
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O；E、F分别为AD，CD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，OF是△BCD的中位线，EF是△ADC的中位线，
∴AB＝2OE，BC＝2OF，AC＝2EF，
∴OE+OF+EF＝，
即△OEF的周长为10，
故答案为：10．
15．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ﹣1 ．
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1
16．（3分）如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别在AB、AE的边上．∠1+∠2＝100°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ 460° ．
【分析】先求出∠BMN+∠ENM＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣100°＝260°，再用六边形内角和减去∠BMN+∠ENM的和即可．
【解答】解：∠BMN+∠ENM＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣100°＝260°，
六边形BCDENM的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，
∠B+∠C+∠D+∠E＝720°﹣260°＝460°．
故答案为：460°．
17．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来计划的1.5倍速度生产，结果比原计划提前一周完成任务，则原计划每周生产 45 万个口罩．
【分析】设原计划每周生产x万个口罩，则一周后每周生产1.5x万个口罩，由题意：某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来计划的1.5倍速度生产，结果比原计划提前一周完成任务，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每周生产x万个口罩，则一周后以原来速度的1.5倍生产，每周生产1.5x万个口罩，
依题意，得：﹣＝1，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，
即原计划每周生产45万个口罩，
故答案为：45．
18．（3分）如图，O为等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝135°，OA＝1，OB＝2，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，则OC的长为 3 ．
【分析】根据邻补角的定义得到∠BOD＝45°，根据旋转的性质得到BO＝BD＝2，CD＝AO＝1，求得△OBD为等腰直角三角形，得到OD＝OB＝2 ，推出∠ODC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOB＝135°，
∴∠BOD＝45°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD＝2，CD＝AO＝1，
∴∠BDO＝∠BOD＝45°，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB＝2 ，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠AOB＝∠BDC＝135°，
∴∠ODC＝90°，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴OC＝＝3，
故答案为：3．
三、（本大题共3个题，其中第19题8分，第20，21题各5分，共18分）
19．（8分）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，并从0，1，2、3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】（1）根据解分式方程的方法可以解答此方程，注意分式方程要检验；
（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从0，1，2、3中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1），
方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得
2+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
解得x＝﹣3，
经验：当x＝﹣3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3；
（2）
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝
＝，
∵x（x﹣1）≠0，x﹣2≠0，
∴x≠0，1，2，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝＝＝﹣2．
20．（5分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤2，
∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
数轴表示如图所示：
．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
四、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
22．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接MN，EF．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AD＝4cm，求MN的长．
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ABFE为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得DN＝FN，AM＝MF，由三角形中位线定理可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵DE＝CF，
∴AE＝BF．
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）∵DE＝CF，AD∥BC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DN＝FN，
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AM＝MF，
∴MN∥AD，MN＝AD＝2cm．
23．（5分）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【分析】（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
（2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：+10＝，
解得x＝100．
经检验x＝100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：（100+200）a﹣11000﹣24000≥（11000+24000）×20%，
解得a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
五、（本大题共2小题，其中第24题5分，第25题6分，共11分）
24．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，AC与DE交于点M．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段DE的垂直平分线．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△BAD≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到BE＝AD；
（2）由平行线的性质推出∠7＝∠ACB＝45°，进而得到∠6＝∠7，再证得AD＝AE，根据等腰三角形的三线合一即可证得AC是线段DE的垂直平分线．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴BE＝AD；
（2）∵∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∴∠6＝∠DAB﹣∠7＝45°，
∴∠6＝∠7，
∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段DE的垂直平分线．
25．（6分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从A、B两地同时出发匀速前往C地（B在A、C两地的之间），设甲、乙两人距A地的路程分别为y甲、y乙（千米），行驶的时间为x（小时），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x之间的函数表达式；
（2）在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，分别交y甲、y乙的图象于点M、N，当线段MN长为40千米时，求a的值；
（3）在甲追上乙后，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，求x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出y甲、y乙与x之间的函数表达式；
（2）把x＝a代入（1）中的函数解析式，分别求出对应的y甲、y乙的值，则线段MN的长＝|y乙﹣y甲|，进而可得关于a的方程，解方程即可得a的值；
（3）分两种情况进行讨论：①3＜x≤5；②5＜x≤6．分别根据甲、乙两人距A地的路程差小于30千米列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设y甲＝kx，
把（3，180）代入，得3k＝180，解得k＝60，
则y甲＝60x；
设y乙＝mx+n，
把（0，60），（3，180）代入，
得，解得，
则y乙＝40x+60；
（2）当x＝a时，
y甲＝60a，y乙＝40a+60，
在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，当线段MN长为40千米时，MN＝y乙﹣y甲＝40a+60﹣60a＝40，
解得：a＝1，
∴a的值是1；
（3）分两种情况：
①当3＜x≤5时，
60x﹣（40x+60）＜30，解得x＜4.5；
②当5＜x≤6时，
300﹣（40x+60）＜30，解得x＞5.25．
综上所述，在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，x的取值范围是3＜x＜4.5或5.25＜x≤6．
六、（本大题共1小题，共7分）
26．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是D，E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角α的度数是 60° ；
（2）如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，当B，D，E三点不在同一直线上时，连接BD，AE，若△BCD的面积为cm2，求此时四边形ABDE的面积．
【分析】（1）由旋转的性质得到AC＝CD，∠CDE＝60°，故此可证明三角形ADC为等边三角形，于是得到∠DCA＝60°，故此可证明∠DCA＝∠CDE＝60°，最后依据平行线的判断定理可得到DE与AC的位置关系；
（2）延长EC交AB于点F．由旋转的性质可知：CB＝CE，依据等腰三角形的性质可求得∠CBE＝∠E＝30°，然后依据三角形的内角和定理可得到∠BCE＝120°，接下来，在△FBE中证明∠BFE＝90°，可得到EF与AB的关系；
（3）过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．先证明△AGC≌△DHC，由全等三角形的性质可得到AG＝DH，然后依据三角形的面积公式可证明△BCD与△ACE面积相等，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠A＝∠CDE，AC＝DC，
∵∠BAC＝60°，AC＝DC，
∴△DAC是等边三角形，
∴∠DCA＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠DCA＝∠CDE＝60°．
故答案为：60°．
（2）结论：CE⊥AB．
理由：如图1所示：延长EC交AB于点F．
∵由旋转的性质可知：CB＝CE，
∴∠CBE＝∠E＝30°，
∴∠BCE＝120°，即旋转角α＝120°，
∵∠ABC＝30°，∠CBE＝30°，
∴∠FBE＝60°，
∴∠E+∠FBE＝30°+60°＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴EC⊥AB．
（3）如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．
∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC＝∠DHC＝90°，
∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝DC，BC＝CE，
∵∠ACE+∠BCD＝180°，∠GCA+∠ECA＝180°，
∴∠ACG＝∠DCH，
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴AG＝DH，
∴EC•AF＝CB•DG，
∴S△ACE＝S△BCD＝（cm2），
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝2，
∴S四边形ABDE＝S△ABC+2S△ABC＝3+2××2×2＝7．
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日期：2021/8/19 5:06:36；用户：老师；邮箱：13844932936；学号：32350959
2020-2021学年江西省萍乡市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案）
1．（3分）“实数x不小于6”是指（ ）
A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6
2．（3分）在平面直角坐标系内，把点P（﹣2，4）沿x轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣2，5） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
3．（3分）计算：的结果为（ ）
A．m B．m﹣2 C．1 D．
4．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
5．（3分）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．x2+3xy+9y2＝（x+3y）2
B．2x2﹣4xy+9y2＝（2x﹣3y）2
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
D．2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2y）
6．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，则BD的长是（ ）
A．12 B．8 C．4 D．6
9．（3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
10．（3分）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡上）
11．（3分）用反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步应假设 ．
12．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ．
13．（3分）如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 ．
14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O；E、F分别为AD，CD的中点，若AC＝6，▱ABCD的周长为28，则△OEF的周长为 ．
15．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ．
16．（3分）如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别在AB、AE的边上．∠1+∠2＝100°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
17．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来计划的1.5倍速度生产，结果比原计划提前一周完成任务，则原计划每周生产 万个口罩．
18．（3分）如图，O为等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝135°，OA＝1，OB＝2，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，则OC的长为 ．
三、（本大题共3个题，其中第19题8分，第20，21题各5分，共18分）
19．（8分）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，并从0，1，2、3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（5分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
22．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接MN，EF．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AD＝4cm，求MN的长．
23．（5分）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
五、（本大题共2小题，其中第24题5分，第25题6分，共11分）
24．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，AC与DE交于点M．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段DE的垂直平分线．
25．（6分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从A、B两地同时出发匀速前往C地（B在A、C两地的之间），设甲、乙两人距A地的路程分别为y甲、y乙（千米），行驶的时间为x（小时），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x之间的函数表达式；
（2）在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，分别交y甲、y乙的图象于点M、N，当线段MN长为40千米时，求a的值；
（3）在甲追上乙后，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，求x的取值范围．
六、（本大题共1小题，共7分）
26．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是D，E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角α的度数是 ；
（2）如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，当B，D，E三点不在同一直线上时，连接BD，AE，若△BCD的面积为cm2，求此时四边形ABDE的面积．
2020-2021学年江西省萍乡市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案）
1．（3分）“实数x不小于6”是指（ ）
A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6
【分析】实数x不小于6，即x大于或等于6，据此判断即可．
【解答】解：“实数x不小于6”是指x≥6．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系内，把点P（﹣2，4）沿x轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣2，5） C．（﹣3，4） D．（﹣2，3）
【分析】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．
【解答】解：将点P（﹣2，4）向右平移1个单位长度，得到点′（﹣1，4），
故选：A．
3．（3分）计算：的结果为（ ）
A．m B．m﹣2 C．1 D．
【分析】利用同分母分式的加减法运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝＝1，
故选：C．
4．（3分）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
故选：B．
5．（3分）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．x2+3xy+9y2＝（x+3y）2
B．2x2﹣4xy+9y2＝（2x﹣3y）2
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
D．2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2y）
【分析】根据提公因式法与公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．
【解答】解：A．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2，因此选项A不符合题意；
B.4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2，因此选项B不符合题意；
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y），因此选项C不符合题意；
D.2x2﹣8y2＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y），因此选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
7．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解集为3≤x＜m，
由不等式组的整数解共有4个，得到整数解为3，4，5，6，
∴6＜m≤7，
故选：D．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，则BD的长是（ ）
A．12 B．8 C．4 D．6
【分析】延长BA、CD交于点E，在Rt△ADE中，可得DE＝8，在Rt△BCE中，设BC＝x，则BE＝2x，由勾股定理得：x2+182＝（2x）2，求出BC＝6，再借助勾股定理求出BD的长即可．
【解答】解：延长BA、CD交于点E，
在Rt△BCE中，∵∠ABC＝60°，
∴∠E＝30°，
∵AD＝4，∠DAE＝90°，
∴DE＝8，
∴EC＝DE+CD＝18，
设BC＝x，则BE＝2x，
由勾股定理得：x2+182＝（2x）2，
∵x＞0，
解得x＝6，
∴BC＝6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD＝＝4，
故选：C．
9．（3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：等式的两边都乘以（x﹣2），得
x＝2（x﹣2）+m，
解得x＝4﹣m，
x＝4﹣m≠2，
由关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，得
m＝1，m＝3，
故选：C．
10．（3分）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡上）
11．（3分）用反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步应假设 a≠0，b≠0 ．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步，应假设a≠0，b≠0，
故答案为：a≠0，b≠0．
12．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】分式的值为0时：分子等于0，且分母不等于0．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（3分）如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 x＜4 ．
【分析】直线y＝kx﹣3落在直线y＝2x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：∵函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），
∴不等式kx﹣3＞2x+b的解集是x＜4．
故答案为x＜4．
14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O；E、F分别为AD，CD的中点，若AC＝6，▱ABCD的周长为28，则△OEF的周长为 10 ．
【分析】由三角形中位线定理可求解OE+OF，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的周长为28，
∴AB+BC＝14，OA＝OC，OB＝OD，
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O；E、F分别为AD，CD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，OF是△BCD的中位线，EF是△ADC的中位线，
∴AB＝2OE，BC＝2OF，AC＝2EF，
∴OE+OF+EF＝，
即△OEF的周长为10，
故答案为：10．
15．（3分）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ﹣1 ．
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1
16．（3分）如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别在AB、AE的边上．∠1+∠2＝100°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ 460° ．
【分析】先求出∠BMN+∠ENM＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣100°＝260°，再用六边形内角和减去∠BMN+∠ENM的和即可．
【解答】解：∠BMN+∠ENM＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣100°＝260°，
六边形BCDENM的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，
∠B+∠C+∠D+∠E＝720°﹣260°＝460°．
故答案为：460°．
17．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来计划的1.5倍速度生产，结果比原计划提前一周完成任务，则原计划每周生产 45 万个口罩．
【分析】设原计划每周生产x万个口罩，则一周后每周生产1.5x万个口罩，由题意：某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来计划的1.5倍速度生产，结果比原计划提前一周完成任务，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每周生产x万个口罩，则一周后以原来速度的1.5倍生产，每周生产1.5x万个口罩，
依题意，得：﹣＝1，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，
即原计划每周生产45万个口罩，
故答案为：45．
18．（3分）如图，O为等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝135°，OA＝1，OB＝2，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，则OC的长为 3 ．
【分析】根据邻补角的定义得到∠BOD＝45°，根据旋转的性质得到BO＝BD＝2，CD＝AO＝1，求得△OBD为等腰直角三角形，得到OD＝OB＝2 ，推出∠ODC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOB＝135°，
∴∠BOD＝45°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD＝2，CD＝AO＝1，
∴∠BDO＝∠BOD＝45°，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB＝2 ，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠AOB＝∠BDC＝135°，
∴∠ODC＝90°，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴OC＝＝3，
故答案为：3．
三、（本大题共3个题，其中第19题8分，第20，21题各5分，共18分）
19．（8分）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，并从0，1，2、3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】（1）根据解分式方程的方法可以解答此方程，注意分式方程要检验；
（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从0，1，2、3中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1），
方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得
2+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
解得x＝﹣3，
经验：当x＝﹣3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3；
（2）
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝
＝，
∵x（x﹣1）≠0，x﹣2≠0，
∴x≠0，1，2，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝＝＝﹣2．
20．（5分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤2，
∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
数轴表示如图所示：
．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
四、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
22．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接MN，EF．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AD＝4cm，求MN的长．
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ABFE为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得DN＝FN，AM＝MF，由三角形中位线定理可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵DE＝CF，
∴AE＝BF．
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）∵DE＝CF，AD∥BC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DN＝FN，
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AM＝MF，
∴MN∥AD，MN＝AD＝2cm．
23．（5分）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【分析】（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
（2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：+10＝，
解得x＝100．
经检验x＝100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：（100+200）a﹣11000﹣24000≥（11000+24000）×20%，
解得a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
五、（本大题共2小题，其中第24题5分，第25题6分，共11分）
24．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，AC与DE交于点M．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段DE的垂直平分线．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△BAD≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到BE＝AD；
（2）由平行线的性质推出∠7＝∠ACB＝45°，进而得到∠6＝∠7，再证得AD＝AE，根据等腰三角形的三线合一即可证得AC是线段DE的垂直平分线．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴BE＝AD；
（2）∵∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∴∠6＝∠DAB﹣∠7＝45°，
∴∠6＝∠7，
∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段DE的垂直平分线．
25．（6分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从A、B两地同时出发匀速前往C地（B在A、C两地的之间），设甲、乙两人距A地的路程分别为y甲、y乙（千米），行驶的时间为x（小时），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x之间的函数表达式；
（2）在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，分别交y甲、y乙的图象于点M、N，当线段MN长为40千米时，求a的值；
（3）在甲追上乙后，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，求x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出y甲、y乙与x之间的函数表达式；
（2）把x＝a代入（1）中的函数解析式，分别求出对应的y甲、y乙的值，则线段MN的长＝|y乙﹣y甲|，进而可得关于a的方程，解方程即可得a的值；
（3）分两种情况进行讨论：①3＜x≤5；②5＜x≤6．分别根据甲、乙两人距A地的路程差小于30千米列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设y甲＝kx，
把（3，180）代入，得3k＝180，解得k＝60，
则y甲＝60x；
设y乙＝mx+n，
把（0，60），（3，180）代入，
得，解得，
则y乙＝40x+60；
（2）当x＝a时，
y甲＝60a，y乙＝40a+60，
在甲追上乙前，过点（a，0）作x轴的垂线，当线段MN长为40千米时，MN＝y乙﹣y甲＝40a+60﹣60a＝40，
解得：a＝1，
∴a的值是1；
（3）分两种情况：
①当3＜x≤5时，
60x﹣（40x+60）＜30，解得x＜4.5；
②当5＜x≤6时，
300﹣（40x+60）＜30，解得x＞5.25．
综上所述，在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距A地的路程差小于30千米时，x的取值范围是3＜x＜4.5或5.25＜x≤6．
六、（本大题共1小题，共7分）
26．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是D，E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，旋转角α的度数是 60° ；
（2）如图2，当点B，D，E三点恰好在同一直线上时，判断此时直线CE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，当B，D，E三点不在同一直线上时，连接BD，AE，若△BCD的面积为cm2，求此时四边形ABDE的面积．
【分析】（1）由旋转的性质得到AC＝CD，∠CDE＝60°，故此可证明三角形ADC为等边三角形，于是得到∠DCA＝60°，故此可证明∠DCA＝∠CDE＝60°，最后依据平行线的判断定理可得到DE与AC的位置关系；
（2）延长EC交AB于点F．由旋转的性质可知：CB＝CE，依据等腰三角形的性质可求得∠CBE＝∠E＝30°，然后依据三角形的内角和定理可得到∠BCE＝120°，接下来，在△FBE中证明∠BFE＝90°，可得到EF与AB的关系；
（3）过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．先证明△AGC≌△DHC，由全等三角形的性质可得到AG＝DH，然后依据三角形的面积公式可证明△BCD与△ACE面积相等，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠A＝∠CDE，AC＝DC，
∵∠BAC＝60°，AC＝DC，
∴△DAC是等边三角形，
∴∠DCA＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠DCA＝∠CDE＝60°．
故答案为：60°．
（2）结论：CE⊥AB．
理由：如图1所示：延长EC交AB于点F．
∵由旋转的性质可知：CB＝CE，
∴∠CBE＝∠E＝30°，
∴∠BCE＝120°，即旋转角α＝120°，
∵∠ABC＝30°，∠CBE＝30°，
∴∠FBE＝60°，
∴∠E+∠FBE＝30°+60°＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴EC⊥AB．
（3）如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．
∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC＝∠DHC＝90°，
∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝DC，BC＝CE，
∵∠ACE+∠BCD＝180°，∠GCA+∠ECA＝180°，
∴∠ACG＝∠DCH，
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴AG＝DH，
∴EC•AF＝CB•DG，
∴S△ACE＝S△BCD＝（cm2），
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝2，
∴S四边形ABDE＝S△ABC+2S△ABC＝3+2××2×2＝7．
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日期：2021/8/19 5:06:36；用户：老师；邮箱：13844932936；学号：32350959
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