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陕西省延安市富县2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版含答案）
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这是一份陕西省延安市富县2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年陕西省延安市富县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
4．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．0.99×10﹣8
5．下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x＝2x2 B．（﹣3x2）3＝﹣9x6
C．7ab﹣5a＝2b D．8x2y÷2xy＝4x
6．在平面直角坐标系中，点（﹣5，6）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
8．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为△BDE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
9．已知a2+＝2a﹣b﹣2，则b﹣3a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．若a，b互为相反数，则a2﹣b2＝ ．
12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 ．
13．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为 ．
14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C的度数为 ．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0+|﹣3|+（﹣1）2020．
16．（5分）解分式方程：﹣＝1．
17．（5分）如图，已知△ABC，AB＝AC，请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使点D到边AB，AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为xcm的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．
19．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC＞BD﹣CD．
20．（7分）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点．
求：（1）∠CBE的度数；
（2）∠BCD的度数．
22．（7分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a与2，3构成△ABC的三边长，且a为整数．
23．（8分）将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为x，y（x＞y＞0），图②中阴影部分的面积为S．
（1）用含x，y的代数式表示图②中阴影部分的面积；
（2）将（1）中的代数式因式分解；
（3）若AB＝a，CD＝b，用含a，b的式子表示图②中阴影部分的面积．
24．（10分）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
（1）乙商品的进价是多少？
（2）请你帮会计算出甲商品的进价及甲，乙商品的进货数量．
25．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
2020-2021学年陕西省延安市富县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：A、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
B、无论x为何值，x2+1≠0，则总有意义，故此选项正确；
C、当x＝0时，无意义，故此选项错误；
D、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用轴对称的性质得出符合题意答案．
【解答】解：从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走2，就可以成为一个轴对称图形．
故选：B．
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝＝，不合题意；
C、原式＝＝，不合题意；
D、原式＝＝，不合题意，
故选：A．
4．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．0.99×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x＝2x2 B．（﹣3x2）3＝﹣9x6
C．7ab﹣5a＝2b D．8x2y÷2xy＝4x
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2x2•x＝2x3，故选项A错误；
（﹣3x2）3＝﹣27x6，故选项B错误；
7ab﹣5a不能合并，故选项C错误；
8x2y÷2xy＝4x，故选项D正确；
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，点（﹣5，6）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质结合点的坐标分布特点得出答案．
【解答】解：点（﹣5，6）关于x轴对称的点坐标为：（﹣5，﹣6），
则点（﹣5，6）关于x轴对称的点在第三象限．
故选：C．
7．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3＝∠1，∠2＝∠4，再由等量代换得∠BAD＝∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．
【解答】解：连接AC并延长交EF于点M．
∵AB∥CF，
∴∠3＝∠1，
∵AD∥CE，
∴∠2＝∠4，
∴∠BAD＝∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠FCE，
∵∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠BAD＝∠FCE＝50°，
故选：B．
8．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为△BDE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【分析】依据∠C＝∠A＝90°，CD＝AB，∠AEB＝∠CED，即可得到△ABE≌△CDE；依据∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，BD＝DB，即可得出Rt△ABD≌Rt△CDB，进而得出结论．
【解答】解：由折叠可得，∠C＝∠A＝90°，CD＝AB，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE≌△CDE（AAS），
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，BD＝DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴图形中全等三角形有2对，
故选：C．
9．已知a2+＝2a﹣b﹣2，则b﹣3a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】将原方程进行变形，把含a的放一块，含b的放一块，配成完全平方公式的形式，进而求得a，b的值，最后求出代数式的值．
【解答】解：∵a2+＝2a﹣b﹣2，
∴（a2﹣2a+1）+（b2+b+1）＝0，
∴（a﹣1）2+（b+1）2＝0，
∵（a﹣1）2≥0，（b+1）2≥0，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴b﹣3a
＝×（﹣2）﹣3×1
＝﹣1﹣3
＝﹣4．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【解答】解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．若a，b互为相反数，则a2﹣b2＝ 0 ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝0．
故答案为：0．
12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．
【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故答案为：5．
13．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为 ．
【分析】首先表示S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，再约分化简即可．
【解答】解：∵S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，
∴＝＝＝，
故答案为：．
14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C的度数为 35° ．
【分析】连接OB，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝OB，OB＝OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB，OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，
∴∠A+∠C＝∠ABC，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，
∴∠DOE＝145°，
∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°，
∴∠A+∠C＝35°，
故答案为：35°．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0+|﹣3|+（﹣1）2020．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1+3+1
＝7．
16．（5分）解分式方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边乘（2﹣x），
得：6+3x＝2﹣x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2﹣x≠0，
所以，原方程的解为x＝﹣1．
17．（5分）如图，已知△ABC，AB＝AC，请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使点D到边AB，AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】直接利用等腰三角形的性质作出∠BAC的角平分线即可．
【解答】解：如图所示，点D即为所作．
18．（5分）如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为xcm的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．
【分析】根据题意和图形可以用代数式表示出这个盒子的容积，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意，得：
x（8﹣2x）（5﹣2x）
＝x（40﹣16x﹣10x+4x2）
＝x（4x2﹣26x+40）
＝4x3﹣26x2+40x，
答：盒子的容积是（4x3﹣26x2+40x）cm3．
19．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC＞BD﹣CD．
【分析】在AB上截取AE＝AC，连接DE，根据SAS证明△ADC≌△ADE，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD．
在△ADC和△ADE中，
∴△ADC≌△ADE（SAS）．
∴DC＝DE．
∵在△BDE中，BE＞BD﹣ED，
∵AB﹣AE＝BE，
∴AB﹣AC＞BD﹣CD．
20．（7分）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴，
同理可得，BF＝32cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，
∴32+8+32＝72（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为72cm．
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点．
求：（1）∠CBE的度数；
（2）∠BCD的度数．
【分析】（1）依据三角形外角的性质，即可得到∠CBE的度数；
（2）依据同角的余角相等证得BCD＝∠A，可求得结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝29°，∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE＝∠ACB+∠A＝90°+29°＝119°；
（2）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠A＝29°，
∴∠BCD＝∠A＝29°．
22．（7分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a与2，3构成△ABC的三边长，且a为整数．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由三角形三边关系确定整数a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝2a2﹣4a．
∵a与2，3构成△ABC的三边长，
∴3﹣2＜a＜3+2，即1＜a＜5．
∵a为整数，
∴a为2或3或4．
当a＝2时，分母a﹣2＝0（舍去）；
当a＝4时，分母a﹣4＝0（舍去）．
故a的值只能为3．
∴当a＝3时，2a2﹣4a＝2×32﹣4×3＝6．
23．（8分）将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为x，y（x＞y＞0），图②中阴影部分的面积为S．
（1）用含x，y的代数式表示图②中阴影部分的面积；
（2）将（1）中的代数式因式分解；
（3）若AB＝a，CD＝b，用含a，b的式子表示图②中阴影部分的面积．
【分析】（1）阴影部分面积＝大的三角形的面积﹣小的三角形的面积，根据三角形的面积公式不难求解；
（2）把（1）中的式子进行因式分解即可；
（3）结合图形，可得x+y＝a，x﹣y＝b，从而不难求解．
【解答】解：（1）由题意，得图②中阴影部分的面积为；
（2）；
（3）由图可知，x+y＝a，x﹣y＝b，
∴图②中阴影部分的面积为．
24．（10分）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
（1）乙商品的进价是多少？
（2）请你帮会计算出甲商品的进价及甲，乙商品的进货数量．
【分析】（1）设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值；
（2）将（1）中求得的x值分别代入（1+50%）x，，中即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙商品的进价为x元件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，
根据题意，得，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解．
答：乙商品的进价是40元/件；
（2）甲商品的进价：（1+50%）×40＝60（元/件），
甲商品的进货数量：（件），
乙商品的进货数量：（件）．
25．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】【问题解决】在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
【类比探究】过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
2020-2021学年陕西省延安市富县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
4．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．0.99×10﹣8
5．下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x＝2x2 B．（﹣3x2）3＝﹣9x6
C．7ab﹣5a＝2b D．8x2y÷2xy＝4x
6．在平面直角坐标系中，点（﹣5，6）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
8．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为△BDE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
9．已知a2+＝2a﹣b﹣2，则b﹣3a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．若a，b互为相反数，则a2﹣b2＝ ．
12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 ．
13．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为 ．
14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C的度数为 ．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0+|﹣3|+（﹣1）2020．
16．（5分）解分式方程：﹣＝1．
17．（5分）如图，已知△ABC，AB＝AC，请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使点D到边AB，AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为xcm的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．
19．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC＞BD﹣CD．
20．（7分）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点．
求：（1）∠CBE的度数；
（2）∠BCD的度数．
22．（7分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a与2，3构成△ABC的三边长，且a为整数．
23．（8分）将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为x，y（x＞y＞0），图②中阴影部分的面积为S．
（1）用含x，y的代数式表示图②中阴影部分的面积；
（2）将（1）中的代数式因式分解；
（3）若AB＝a，CD＝b，用含a，b的式子表示图②中阴影部分的面积．
24．（10分）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
（1）乙商品的进价是多少？
（2）请你帮会计算出甲商品的进价及甲，乙商品的进货数量．
25．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
2020-2021学年陕西省延安市富县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．对于任意的实数x，总有意义的分式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：A、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
B、无论x为何值，x2+1≠0，则总有意义，故此选项正确；
C、当x＝0时，无意义，故此选项错误；
D、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用轴对称的性质得出符合题意答案．
【解答】解：从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走2，就可以成为一个轴对称图形．
故选：B．
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝＝，不合题意；
C、原式＝＝，不合题意；
D、原式＝＝，不合题意，
故选：A．
4．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．0.99×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x＝2x2 B．（﹣3x2）3＝﹣9x6
C．7ab﹣5a＝2b D．8x2y÷2xy＝4x
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2x2•x＝2x3，故选项A错误；
（﹣3x2）3＝﹣27x6，故选项B错误；
7ab﹣5a不能合并，故选项C错误；
8x2y÷2xy＝4x，故选项D正确；
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，点（﹣5，6）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质结合点的坐标分布特点得出答案．
【解答】解：点（﹣5，6）关于x轴对称的点坐标为：（﹣5，﹣6），
则点（﹣5，6）关于x轴对称的点在第三象限．
故选：C．
7．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3＝∠1，∠2＝∠4，再由等量代换得∠BAD＝∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．
【解答】解：连接AC并延长交EF于点M．
∵AB∥CF，
∴∠3＝∠1，
∵AD∥CE，
∴∠2＝∠4，
∴∠BAD＝∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠FCE，
∵∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠BAD＝∠FCE＝50°，
故选：B．
8．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为△BDE，则图中全等三角形共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【分析】依据∠C＝∠A＝90°，CD＝AB，∠AEB＝∠CED，即可得到△ABE≌△CDE；依据∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，BD＝DB，即可得出Rt△ABD≌Rt△CDB，进而得出结论．
【解答】解：由折叠可得，∠C＝∠A＝90°，CD＝AB，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE≌△CDE（AAS），
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，BD＝DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴图形中全等三角形有2对，
故选：C．
9．已知a2+＝2a﹣b﹣2，则b﹣3a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】将原方程进行变形，把含a的放一块，含b的放一块，配成完全平方公式的形式，进而求得a，b的值，最后求出代数式的值．
【解答】解：∵a2+＝2a﹣b﹣2，
∴（a2﹣2a+1）+（b2+b+1）＝0，
∴（a﹣1）2+（b+1）2＝0，
∵（a﹣1）2≥0，（b+1）2≥0，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴b﹣3a
＝×（﹣2）﹣3×1
＝﹣1﹣3
＝﹣4．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【解答】解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．若a，b互为相反数，则a2﹣b2＝ 0 ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝0．
故答案为：0．
12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．
【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故答案为：5．
13．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形．记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为 ．
【分析】首先表示S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，再约分化简即可．
【解答】解：∵S1＝a2﹣1，S2＝（a﹣1）2，
∴＝＝＝，
故答案为：．
14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C的度数为 35° ．
【分析】连接OB，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝OB，OB＝OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB，OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，
∴∠A+∠C＝∠ABC，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，
∴∠DOE＝145°，
∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°，
∴∠A+∠C＝35°，
故答案为：35°．
三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0+|﹣3|+（﹣1）2020．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1+3+1
＝7．
16．（5分）解分式方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边乘（2﹣x），
得：6+3x＝2﹣x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2﹣x≠0，
所以，原方程的解为x＝﹣1．
17．（5分）如图，已知△ABC，AB＝AC，请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使点D到边AB，AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】直接利用等腰三角形的性质作出∠BAC的角平分线即可．
【解答】解：如图所示，点D即为所作．
18．（5分）如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为xcm的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．
【分析】根据题意和图形可以用代数式表示出这个盒子的容积，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意，得：
x（8﹣2x）（5﹣2x）
＝x（40﹣16x﹣10x+4x2）
＝x（4x2﹣26x+40）
＝4x3﹣26x2+40x，
答：盒子的容积是（4x3﹣26x2+40x）cm3．
19．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC＞BD﹣CD．
【分析】在AB上截取AE＝AC，连接DE，根据SAS证明△ADC≌△ADE，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD．
在△ADC和△ADE中，
∴△ADC≌△ADE（SAS）．
∴DC＝DE．
∵在△BDE中，BE＞BD﹣ED，
∵AB﹣AE＝BE，
∴AB﹣AC＞BD﹣CD．
20．（7分）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴，
同理可得，BF＝32cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，
∴32+8+32＝72（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为72cm．
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点．
求：（1）∠CBE的度数；
（2）∠BCD的度数．
【分析】（1）依据三角形外角的性质，即可得到∠CBE的度数；
（2）依据同角的余角相等证得BCD＝∠A，可求得结果．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝29°，∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE＝∠ACB+∠A＝90°+29°＝119°；
（2）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠A＝29°，
∴∠BCD＝∠A＝29°．
22．（7分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a与2，3构成△ABC的三边长，且a为整数．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由三角形三边关系确定整数a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝2a2﹣4a．
∵a与2，3构成△ABC的三边长，
∴3﹣2＜a＜3+2，即1＜a＜5．
∵a为整数，
∴a为2或3或4．
当a＝2时，分母a﹣2＝0（舍去）；
当a＝4时，分母a﹣4＝0（舍去）．
故a的值只能为3．
∴当a＝3时，2a2﹣4a＝2×32﹣4×3＝6．
23．（8分）将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为x，y（x＞y＞0），图②中阴影部分的面积为S．
（1）用含x，y的代数式表示图②中阴影部分的面积；
（2）将（1）中的代数式因式分解；
（3）若AB＝a，CD＝b，用含a，b的式子表示图②中阴影部分的面积．
【分析】（1）阴影部分面积＝大的三角形的面积﹣小的三角形的面积，根据三角形的面积公式不难求解；
（2）把（1）中的式子进行因式分解即可；
（3）结合图形，可得x+y＝a，x﹣y＝b，从而不难求解．
【解答】解：（1）由题意，得图②中阴影部分的面积为；
（2）；
（3）由图可知，x+y＝a，x﹣y＝b，
∴图②中阴影部分的面积为．
24．（10分）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
（1）乙商品的进价是多少？
（2）请你帮会计算出甲商品的进价及甲，乙商品的进货数量．
【分析】（1）设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值；
（2）将（1）中求得的x值分别代入（1+50%）x，，中即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙商品的进价为x元件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，
根据题意，得，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解．
答：乙商品的进价是40元/件；
（2）甲商品的进价：（1+50%）×40＝60（元/件），
甲商品的进货数量：（件），
乙商品的进货数量：（件）．
25．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】【问题解决】在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
【类比探究】过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
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