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_河南省周口市鹿邑县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 (word版含答案)
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这是一份_河南省周口市鹿邑县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 (word版含答案)，共23页。
2020-2021学年河南省周口市鹿邑县九年级（上）期末数学试卷
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．（3分）sin60°的值为（ ）
A．12 B．33 C．22 D．32
2．（3分）如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）对于双曲线y=k−4x，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则常数c的值不可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C．4 D．5
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则AB的长是（ ）
A．12π B．23π C．43π D．2π
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
8．（3分）在反比例函数y=−2x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
9．（3分）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（ ）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题．（每题3分，共15分）
11．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，图象如图所示，则这个反比例函数解析式为 ．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．
13．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为 ．
14．（3分）在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为 ．
15．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ ．
三．解答题．（本大题8小题，共75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣3），B（﹣2，﹣3），C（2，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出△ABC放大2倍后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
17．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情，从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
18．（8分）浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图②），测量知，∠A＝30°，∠C＝49°，AB＝60m．请你利用以上数据，求出悬索AC和支架BC的长（结果取整数）．参考数据：3≈1.73，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15．
．
19．（9分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
20．（10分）如图，已知反比例函数y=k1x与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
21．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：
第x天
售价/（元/件）
日销售量/件
1≤x≤30
x+40
100﹣2x
已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
（1）y与x的函数关系式为 ；
（2）在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？
（3）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．
23．（12分）如图，已知抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B（1，0），与y轴相交于点C（0，﹣2），直线AC经过点A、C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）若在直线AC上方的抛物线上有一点Q，使△AQC的面积最大，求出△AQC的最大面积并求出此时点Q的坐标；
（3）若点M是抛物线上一动点，过M作MN⊥x轴于点N，是否存在点M，使得以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年河南省周口市鹿邑县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．（3分）sin60°的值为（ ）
A．12 B．33 C．22 D．32
【解答】解：sin60°=32，
故选：D．
2．（3分）如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．（3分）对于双曲线y=k−4x，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4
【解答】解：∵双曲线y=k−4x，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴k﹣4＞0
∴k＞4
故选：C．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则常数c的值不可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C．4 D．5
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，
解得c≤4．
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
即23=4BC，
解得：BC＝6，
故选：B．
6．（3分）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则AB的长是（ ）
A．12π B．23π C．43π D．2π
【解答】解：连接OB，OA，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△OBA是等边三角形，
∴OB＝BA，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴⊙O的半径是2，
∴弧AB的长为60π×2180=2π3，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵EC：DC＝1：3，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴C△DFE：C△BFA＝2：3．
故选：D．
8．（3分）在反比例函数y=−2x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵A（x1，y1）在反比例函数y=−2x图象上，x1＜0，
∴y1＞0，
对于反比例函数y=−2x，在第二象限，y随x的增大而增大，
∵0＜x2＜x3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
9．（3分）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（ ）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
【解答】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M或N时，其各边是6、213，210．与△ABC各边对应成比例，
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；c＞0，−b2a=−1＜0，即b＝2a＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
②∵抛物线对称轴为x＝﹣1，且x＝0时，y＞0，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，选项②错误；
③∵抛物线对称轴x＝﹣1，即−b2a=−1，
∴a=12b，
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c=3b2+c＜0，
故3b+2c＜0，选项③正确；
④∵由图象可知，当x＝﹣1时y取得最大值，
∵m≠﹣1，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm+b＜a，
∴m（am+b）+b＜a，选项④正确；
故选：A．
二．填空题．（每题3分，共15分）
11．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，图象如图所示，则这个反比例函数解析式为 I=48R ．
【解答】解：由图象经过（8，6），则IR＝48，即I=48R．
故答案为：I=48R．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 y＝x2 ．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y＝（x﹣2+2）2+1﹣1，即y＝x2．
故答案是：y＝x2．
13．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为 30° ．
【解答】解：∵∠BAC=12∠BOC=12×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC＝30°．
故答案为：30°．
14．（3分）在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为 6 ．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ADAC=S△AEDS△ABC=25−2125=25，
∴AC=52AD＝10，
∴DC＝AC﹣AD＝6．
故答案为：6．
15．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ 154或307 ．
【解答】解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴BQBA=PQAC，
∴10−x10=x6，
∴x=154，
∴AQ=154．
②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y．
∵△BQP∽△BCA，
∴PQAC=BQBC，
∴y6=10−y8，
∴y=307．
综上所述，满足条件的AQ的值为154或307．
三．解答题．（本大题8小题，共75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣3），B（﹣2，﹣3），C（2，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出△ABC放大2倍后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作．C1（﹣2，1）．
（2）如图，△A2B2C2，即为所求作．C2（﹣4，2）．
17．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情，从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
【解答】解：将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：
由图可知，共12种等可能情况，其中符合条件的有4种，
∴这2名医护人员来自同一所医院的概率为412=13．
18．（8分）浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图②），测量知，∠A＝30°，∠C＝49°，AB＝60m．请你利用以上数据，求出悬索AC和支架BC的长（结果取整数）．参考数据：3≈1.73，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15．
．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵∠A＝30°，AB＝60，
∴BD=12AB＝30，
∴AD=3BD＝303，
在Rt△CBD中，
tan49°=BDCD，sin49°=BDBC，
∴CD≈26，BC≈40，
∴AC＝AD+CD≈78．
19．（9分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DFCF=DECB，即2CF=13，
∴FC＝6．
20．（10分）如图，已知反比例函数y=k1x与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）点A（1，8）在反比例函数y=k1x的图像上，
代入得：k1＝8，
∴反比例函数的解析式为y=8x，
将B（﹣4，m）代入y=8x，得：m＝﹣2，
∴点B（﹣4，﹣2），
将A（1，8），B（﹣4，﹣2）代入y＝k2x+b得，
k2+b＝8，﹣4k2+b＝﹣2，
解得k2＝2，b＝6，
∴一次函数的解析式为y＝2x+6；
（2）当x＝0时，y＝6，
∴一次函数与与y轴的交点坐标为（0，6），
∴S△AOB=12×4×6+12×1×6=15，
答：△AOB的面积是15．
21．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：
第x天
售价/（元/件）
日销售量/件
1≤x≤30
x+40
100﹣2x
已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
（1）y与x的函数关系式为 y＝﹣2x2+60x+2000 ；
（2）在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？
（3）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）根据题意，得y＝（100﹣2x）（x+40﹣20），
即y＝﹣2x2+60x+2000；
故答案为：y＝﹣2x2+60x+2000；
（2）依题意得：﹣2x2+60x+2000＝2250，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解：x1＝25，x2＝5，
即第5天或第25天时，日销售利润为2250元；
（3）由y＝﹣2x2+60x+2000＝﹣2（x﹣15）2+2450，
即当x＝15时，日销售利润有最大值为2450元，
此时，售价应为15+40＝55元．
答：当售价为55元时，日销售利润最大，最大利润为2450．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB=35，
∴cosB=45，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB=325，
∴ED＝BE﹣BD=325−5=75．
23．（12分）如图，已知抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B（1，0），与y轴相交于点C（0，﹣2），直线AC经过点A、C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）若在直线AC上方的抛物线上有一点Q，使△AQC的面积最大，求出△AQC的最大面积并求出此时点Q的坐标；
（3）若点M是抛物线上一动点，过M作MN⊥x轴于点N，是否存在点M，使得以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将B（1，0）、C（0，﹣2）代入y=−12x2+bx+c中得：b=52，c=−2，
∴y=−12x2+52x−2，
∴该抛物线的对称轴为x=52，
∵B（1，0），
∴A（4，0），
令直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（4，0），C（0，﹣2），
代入得：k=12，b=−2，
∴y=12x−2，
（2）令Q(m，−12m2+52m−2)，连接OQ，
则S△AOQ=12|yQ|⋅OA=12×4(−12m2+52m−2)，S△AOC=12OA⋅OC=12×4×2=4，
∴S四边形OCAQ=S△AOC+S△AOQ=−m2+5m−4+4=−m2+5m，
∵S△AQC=S四边形△OCAQ=−m2+5m−12×2×m=−m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，△AQC的面积最大为4，
此时Q（2，1），
（3）存在点M使以A，M，N为顶点的三角形与△OAC相似，
设M(a，−12a2+52a−2)，则N（a，0），分两种情况，
①若△NMA∽△OAC，则MNOA=ANOC，
即|−12a2+52a−2|4=|4−a|2，
则|16﹣4a|＝|a2﹣5a+4|，
当a2﹣5a+4＝16﹣4a时，得a1＝4（舍），a2＝﹣3，
当a2﹣5a+4＝4a﹣16时，a1＝5，a2＝4（舍），
即M1（﹣3，﹣14），M2（5，﹣2），
②若△NAM∽△OAC，则MNOC=ANOA，
即|−12a2+52a−2|2=|4−a|4，
则|2a2﹣10a+8|＝|8﹣2a|，
当2a2﹣10a+8＝8﹣2a时，a1＝0，a2＝4（舍），即M3（0，﹣2），
当2a2﹣10a+8＝2a﹣8时，a1＝2，a2＝4（舍），即M4（2，1），
综上所述，M1（﹣3，﹣14），M2（5，﹣2），M3（0，﹣2），M4（2，1）．
2020-2021学年河南省周口市鹿邑县九年级（上）期末数学试卷
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．（3分）sin60°的值为（ ）
A．12 B．33 C．22 D．32
2．（3分）如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）对于双曲线y=k−4x，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则常数c的值不可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C．4 D．5
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则AB的长是（ ）
A．12π B．23π C．43π D．2π
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
8．（3分）在反比例函数y=−2x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
9．（3分）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（ ）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题．（每题3分，共15分）
11．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，图象如图所示，则这个反比例函数解析式为 ．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．
13．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为 ．
14．（3分）在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为 ．
15．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ ．
三．解答题．（本大题8小题，共75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣3），B（﹣2，﹣3），C（2，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出△ABC放大2倍后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
17．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情，从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
18．（8分）浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图②），测量知，∠A＝30°，∠C＝49°，AB＝60m．请你利用以上数据，求出悬索AC和支架BC的长（结果取整数）．参考数据：3≈1.73，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15．
．
19．（9分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
20．（10分）如图，已知反比例函数y=k1x与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
21．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：
第x天
售价/（元/件）
日销售量/件
1≤x≤30
x+40
100﹣2x
已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
（1）y与x的函数关系式为 ；
（2）在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？
（3）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．
23．（12分）如图，已知抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B（1，0），与y轴相交于点C（0，﹣2），直线AC经过点A、C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）若在直线AC上方的抛物线上有一点Q，使△AQC的面积最大，求出△AQC的最大面积并求出此时点Q的坐标；
（3）若点M是抛物线上一动点，过M作MN⊥x轴于点N，是否存在点M，使得以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年河南省周口市鹿邑县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．（3分）sin60°的值为（ ）
A．12 B．33 C．22 D．32
【解答】解：sin60°=32，
故选：D．
2．（3分）如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．（3分）对于双曲线y=k−4x，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4
【解答】解：∵双曲线y=k−4x，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴k﹣4＞0
∴k＞4
故选：C．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则常数c的值不可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C．4 D．5
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，
解得c≤4．
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
即23=4BC，
解得：BC＝6，
故选：B．
6．（3分）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则AB的长是（ ）
A．12π B．23π C．43π D．2π
【解答】解：连接OB，OA，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△OBA是等边三角形，
∴OB＝BA，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴⊙O的半径是2，
∴弧AB的长为60π×2180=2π3，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在CD上，EC：DC＝1：3，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵EC：DC＝1：3，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴C△DFE：C△BFA＝2：3．
故选：D．
8．（3分）在反比例函数y=−2x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵A（x1，y1）在反比例函数y=−2x图象上，x1＜0，
∴y1＞0，
对于反比例函数y=−2x，在第二象限，y随x的增大而增大，
∵0＜x2＜x3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
9．（3分）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（ ）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
【解答】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M或N时，其各边是6、213，210．与△ABC各边对应成比例，
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，现有以下结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论序号为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；c＞0，−b2a=−1＜0，即b＝2a＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
②∵抛物线对称轴为x＝﹣1，且x＝0时，y＞0，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，选项②错误；
③∵抛物线对称轴x＝﹣1，即−b2a=−1，
∴a=12b，
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c=3b2+c＜0，
故3b+2c＜0，选项③正确；
④∵由图象可知，当x＝﹣1时y取得最大值，
∵m≠﹣1，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm+b＜a，
∴m（am+b）+b＜a，选项④正确；
故选：A．
二．填空题．（每题3分，共15分）
11．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，图象如图所示，则这个反比例函数解析式为 I=48R ．
【解答】解：由图象经过（8，6），则IR＝48，即I=48R．
故答案为：I=48R．
12．（3分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 y＝x2 ．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y＝（x﹣2+2）2+1﹣1，即y＝x2．
故答案是：y＝x2．
13．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为 30° ．
【解答】解：∵∠BAC=12∠BOC=12×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC＝30°．
故答案为：30°．
14．（3分）在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为 6 ．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ADAC=S△AEDS△ABC=25−2125=25，
∴AC=52AD＝10，
∴DC＝AC﹣AD＝6．
故答案为：6．
15．（3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝ 154或307 ．
【解答】解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴BQBA=PQAC，
∴10−x10=x6，
∴x=154，
∴AQ=154．
②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y．
∵△BQP∽△BCA，
∴PQAC=BQBC，
∴y6=10−y8，
∴y=307．
综上所述，满足条件的AQ的值为154或307．
三．解答题．（本大题8小题，共75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣3），B（﹣2，﹣3），C（2，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出△ABC放大2倍后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作．C1（﹣2，1）．
（2）如图，△A2B2C2，即为所求作．C2（﹣4，2）．
17．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情，从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
【解答】解：将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：
由图可知，共12种等可能情况，其中符合条件的有4种，
∴这2名医护人员来自同一所医院的概率为412=13．
18．（8分）浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图②），测量知，∠A＝30°，∠C＝49°，AB＝60m．请你利用以上数据，求出悬索AC和支架BC的长（结果取整数）．参考数据：3≈1.73，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15．
．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵∠A＝30°，AB＝60，
∴BD=12AB＝30，
∴AD=3BD＝303，
在Rt△CBD中，
tan49°=BDCD，sin49°=BDBC，
∴CD≈26，BC≈40，
∴AC＝AD+CD≈78．
19．（9分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DFCF=DECB，即2CF=13，
∴FC＝6．
20．（10分）如图，已知反比例函数y=k1x与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）点A（1，8）在反比例函数y=k1x的图像上，
代入得：k1＝8，
∴反比例函数的解析式为y=8x，
将B（﹣4，m）代入y=8x，得：m＝﹣2，
∴点B（﹣4，﹣2），
将A（1，8），B（﹣4，﹣2）代入y＝k2x+b得，
k2+b＝8，﹣4k2+b＝﹣2，
解得k2＝2，b＝6，
∴一次函数的解析式为y＝2x+6；
（2）当x＝0时，y＝6，
∴一次函数与与y轴的交点坐标为（0，6），
∴S△AOB=12×4×6+12×1×6=15，
答：△AOB的面积是15．
21．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：
第x天
售价/（元/件）
日销售量/件
1≤x≤30
x+40
100﹣2x
已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元．
（1）y与x的函数关系式为 y＝﹣2x2+60x+2000 ；
（2）在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？
（3）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）根据题意，得y＝（100﹣2x）（x+40﹣20），
即y＝﹣2x2+60x+2000；
故答案为：y＝﹣2x2+60x+2000；
（2）依题意得：﹣2x2+60x+2000＝2250，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解：x1＝25，x2＝5，
即第5天或第25天时，日销售利润为2250元；
（3）由y＝﹣2x2+60x+2000＝﹣2（x﹣15）2+2450，
即当x＝15时，日销售利润有最大值为2450元，
此时，售价应为15+40＝55元．
答：当售价为55元时，日销售利润最大，最大利润为2450．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB=35，
∴cosB=45，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB=325，
∴ED＝BE﹣BD=325−5=75．
23．（12分）如图，已知抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B（1，0），与y轴相交于点C（0，﹣2），直线AC经过点A、C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）若在直线AC上方的抛物线上有一点Q，使△AQC的面积最大，求出△AQC的最大面积并求出此时点Q的坐标；
（3）若点M是抛物线上一动点，过M作MN⊥x轴于点N，是否存在点M，使得以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将B（1，0）、C（0，﹣2）代入y=−12x2+bx+c中得：b=52，c=−2，
∴y=−12x2+52x−2，
∴该抛物线的对称轴为x=52，
∵B（1，0），
∴A（4，0），
令直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（4，0），C（0，﹣2），
代入得：k=12，b=−2，
∴y=12x−2，
（2）令Q(m，−12m2+52m−2)，连接OQ，
则S△AOQ=12|yQ|⋅OA=12×4(−12m2+52m−2)，S△AOC=12OA⋅OC=12×4×2=4，
∴S四边形OCAQ=S△AOC+S△AOQ=−m2+5m−4+4=−m2+5m，
∵S△AQC=S四边形△OCAQ=−m2+5m−12×2×m=−m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，△AQC的面积最大为4，
此时Q（2，1），
（3）存在点M使以A，M，N为顶点的三角形与△OAC相似，
设M(a，−12a2+52a−2)，则N（a，0），分两种情况，
①若△NMA∽△OAC，则MNOA=ANOC，
即|−12a2+52a−2|4=|4−a|2，
则|16﹣4a|＝|a2﹣5a+4|，
当a2﹣5a+4＝16﹣4a时，得a1＝4（舍），a2＝﹣3，
当a2﹣5a+4＝4a﹣16时，a1＝5，a2＝4（舍），
即M1（﹣3，﹣14），M2（5，﹣2），
②若△NAM∽△OAC，则MNOC=ANOA，
即|−12a2+52a−2|2=|4−a|4，
则|2a2﹣10a+8|＝|8﹣2a|，
当2a2﹣10a+8＝8﹣2a时，a1＝0，a2＝4（舍），即M3（0，﹣2），
当2a2﹣10a+8＝2a﹣8时，a1＝2，a2＝4（舍），即M4（2，1），
综上所述，M1（﹣3，﹣14），M2（5，﹣2），M3（0，﹣2），M4（2，1）．
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