_四川省达州市开江县2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份_四川省达州市开江县2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共30页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答題等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省达州市开江县八年级（下）期末数学试卷
一、单项选择题（下面每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号填在答题卡内.本题10个小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2
3．若a＞b，则下列不等式不成立的是（　　）
A．2﹣a＜2﹣b B．＞ C．﹣3a＞﹣3b D．a﹣8＞b﹣8
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
5．根据下列表格信息，y可能为（　　）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
*
﹣1
*
无意义
*
…
A． B． C． D．
6．有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形．正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（　　）

A．28° B．30° C．33° D．36°
8．如果关于x的分式方程+＝1无解，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为（　　）

A．180 B．183 C．186 D．190
10．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（　　）

A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②④
二、填空题（共有6个小題，每小题3分，共计18分，把最后答案直接填在题中的横线上）
11．因式分解：2x2﹣18＝　 　．
12．若分式＝2，则分式＝　 　．
13．如图，经过点（3，0）的直线：y＝﹣x+b与直线：y＝ax交于点P（n，2），则不等式组0＜ax≤﹣x+b的解集是 　 　．

14．已知关于x的不等式组的解集为x＜a+2，则实数a的取值范围是 　 　．
15．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是 　 　．

16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 　 　．

三、解答題（共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上；
（2）解方程．
18．（6分）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
19．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线；
（2）若△ABC的面积等于16，AB+AC＝8，求ED．

20．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．

（1）画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A2B2C2能看作是△A1B1C1经过一次平移后形成的图形吗？若能，说明平移方向和距离；若不能，请简单说明理由．
21．（8分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的长．

22．（8分）在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．
（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了b个后．因当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医院．请问药店捐赠口罩至少有多少个？（销售收入＝售价×数量）
23．（8分）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则x＝a或x＝b．
因为，所以关于x的方程x+＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b．
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4．则p＝　 　，q＝　 　；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）．求的值．
24．（9分）如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4，∠AOC＝45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．

（1）求出点C，B的坐标；
（2）设△APQ的面积是y，求y关于t的关系式；
（3）当为何值时，AP⊥CB？此时，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．

（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明．

2020-2021学年四川省达州市开江县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（下面每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确答案的字母代号填在答题卡内.本题10个小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
2．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
C、左边的多项式不能用完全平方公式分解，因式分解错误，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．若a＞b，则下列不等式不成立的是（　　）
A．2﹣a＜2﹣b B．＞ C．﹣3a＞﹣3b D．a﹣8＞b﹣8
【分析】利用不等式的性质分析判断．
【解答】解：A、由a＞b，不等式的左右两边同时乘以﹣1，可得﹣a＜﹣b，不等式的两边同时加上2，可得2﹣a＜2﹣b，故此选项不符合题意；
B、由a＞b，不等式的左右两边同时乘以，可得，故此选项不符合题意；
C、由a＞b，不等式的左右两边同时乘以﹣3，可得﹣3a＜﹣3b，故此选项符合题意；
D、由a＞b，不等式的左右两边同时减去8，可得a﹣8＞b﹣8，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】依据旋转的性质可求得AB＝AB′，∠AB′C′的度数，依据等边对等角的性质可得到∠B＝∠BB′A，于是可得到∠CB′C′的度数．
【解答】解：由旋转的性质可知：AB＝AB′，∠BAB′＝80°，
∴∠B＝∠AB′C′，
∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠BB′A＝50°．
∴∠BB′C′＝50°+50°＝100°．
∴∠CB′C′＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
5．根据下列表格信息，y可能为（　　）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
*
﹣1
*
无意义
*
…
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件解答．
【解答】解：∵当x＝1时，分式无意义，
∴排除A，B两个选项，
∵x＝﹣1时，y＝﹣1，
代入C，D时，只有分式＝﹣1，
故选：C．
6．有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形．正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用等边三角形、平行四边形的判定和性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
②三边长为，，的三角形不是直角三角形，原命题是假命题；
③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；
④平行四边形的对角线平分，不一定相等，原命题是假命题；
⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形，是真命题；
故选：B．
7．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（　　）

A．28° B．30° C．33° D．36°
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，
根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，
故选：B．
8．如果关于x的分式方程+＝1无解，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】解方程得x＝6﹣m，由方程无解，则x＝5，即可求m的值．
【解答】解：+＝1，
方程两边同时乘以x﹣5得，
2﹣（m+1）＝x﹣5，
去括号得，2﹣m﹣1＝x﹣5，
解得x＝6﹣m，
∵原分式方程无解，
∴x＝5，
∴m＝1，
故选：B．
9．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成…按照此规律，第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为（　　）

A．180 B．183 C．186 D．190
【分析】根据图形的变化规律可总结出第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为9n+3，即可得出．
【解答】解：由题知，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，
正方形和等边三角形的和为：6+6＝12＝9+3；
第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成，
正方形和等边三角形的和为：11+10＝21＝9×2+3；
第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成，
正方形和等边三角形的和为：16+14＝30＝9×3+3；
…
第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为9n+3，
故第20个图中正方形和等边三角形的个数之和为9×20+3＝183，
故选：B．
10．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（　　）

A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②④
【分析】由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①，然后由三角形三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴BF∥AB，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故③错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
∴S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
∴＝＝，故④正确；
故选：D．
二、填空题（共有6个小題，每小题3分，共计18分，把最后答案直接填在题中的横线上）
11．因式分解：2x2﹣18＝　2（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解．
【解答】解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
12．若分式＝2，则分式＝　　．
【分析】根据题意可得出y﹣x＝2xy，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：y﹣x＝2xy，
原式＝
＝
＝，
故答案为：．
13．如图，经过点（3，0）的直线：y＝﹣x+b与直线：y＝ax交于点P（n，2），则不等式组0＜ax≤﹣x+b的解集是 　0＜x≤1　．

【分析】将点（3，0）和点P的坐标代入一次函数的解析式求得n的值，然后根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
【解答】解：∵经过点（3，0）的直线：y＝﹣x+b与直线：y＝ax交于点P（n，2），
∴﹣3+b＝0，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
∴2＝﹣n+3，
∴n＝1，
∴P（1，2），
由图象得：不等式组0＜ax≤﹣x+b的解集是0＜x≤1，
故答案为0＜x≤1．
14．已知关于x的不等式组的解集为x＜a+2，则实数a的取值范围是 　a≤﹣1　．
【分析】根据求出不等式组解集的规律和已知条件得出答案即可．
【解答】解：解不等式2x+1≤3得x≤1，
∵关于x的不等式组的解集为x＜a+2，
∴a+2≤1，
解得a≤﹣1，
故答案为：a≤﹣1．
15．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是 　　．

【分析】通过A点B点分别作垂线，因为四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝，AM＝BN，又因为AF⊥DC，AB∥CD，可得∠ABH＝90°，利用勾股定理可求BH＝＝3，用等面积法可求得AM＝，由AE＝AB＝，即可求出△ABE的面积．
【解答】解：如图，过A点作AM⊥BC交BC于点M，过B点作BN⊥EN交EA的延长线点N，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝，AM＝BN，
∵AF⊥DC，AB∥CD，
∴∠ABH＝90°，
∴BH＝＝3，
∵S△ABH＝×AB•AH＝×BH•AM，
∴AM＝，
∴BN＝AM＝，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝，
∴S△ABE＝×AE•BN＝××＝，
故答案为：．
16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 　+1　．

【分析】将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，可将△AB′C不动，将点B在直线AC上平移，将线段和最值问题转化为典型的将军饮马问题来解决，从而作B'关于点B的对称点E，B'B交AC于点O，连接EC，利用勾股定理求出CE的长度即可得出答案．
【解答】解：作B'关于点B的对称点E，B'B交AC于点O，连接EC，

∵将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，
∴可将△AB′C不动，将点B在直线AC上平移，
∴△BB″C′的周长最小值转化为△BB'C周长的最小值，
∴当E、B、C三点共线时，BB'+BC最小为CE的长，
∵△ABC与△AB'C都是等边三角形，
∴AB＝BC＝CB'＝AB'，
∴四边形ABCB'是菱形，
∴BB'⊥AC，OC＝AC＝，
∴BO＝B'O＝，
∴OE＝BE+OB＝+＝，
在Rt△CEO中，由勾股定理得：
CE＝＝，
∴△BB'C周长的最小值为：+1，
即△BB″C′的周长最小值为：+1．
三、解答題（共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上；
（2）解方程．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
解不等式①，得：x≤﹣2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤﹣2，
不等式组的解集在数轴上表示如下：

（2）去分母，可得：1+（x﹣2）（x+1）＝x2﹣4，
去括号，得：1+x2+x﹣2x﹣2＝x2﹣4，
移项，合并同类项，得：﹣x＝﹣3，
系数化1，得：x＝3，
检验：当x＝3时，x2﹣4≠0，
∴x＝3是原分式方程的解．
18．（6分）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣x﹣1）÷
＝•
＝
＝
＝﹣x（x﹣1）
＝﹣x2+x，
当x＝+1时，原式＝﹣（+1）2+（+1）＝﹣（3+2+1）++1＝﹣3﹣2﹣1++1＝﹣3﹣．
19．（7分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线；
（2）若△ABC的面积等于16，AB+AC＝8，求ED．

【分析】（1）先利用角平分线的性质得到DE＝DF，则可根据“HL”判断Rt△AED≌Rt△AFD，所以AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到结论；
（2）根据三角形面积公式，利用S△ABD+S△ACD＝S△ABC得到•AB•DE+•AC•DF＝16，然后利用DE＝DF和AB+AC＝8可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD是EF的垂直平分线；
（2）解：∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴•AB•DE+•AC•DF＝16，
∵DE＝DF，AB+AC＝8，
∴×DE×8＝16，
∴DE＝4．
20．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．

（1）画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A2B2C2能看作是△A1B1C1经过一次平移后形成的图形吗？若能，说明平移方向和距离；若不能，请简单说明理由．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）利用平移变换的性质判断即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）△A2B2C2不能看作是△A1B1C1经过一次平移后形成的图形．因为找不到平移的方向和距离．

21．（8分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的长．

【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝6，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝12，
∴OB＝OD＝6，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE＝EF﹣CF，
∴AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝3．
22．（8分）在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．
（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了b个后．因当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医院．请问药店捐赠口罩至少有多少个？（销售收入＝售价×数量）
【分析】（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，根据题意给出的等量关系即可求出答案．
（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：4a+4.5b＝6400，所以a＝1600﹣，根据条件可求出b的最小值，从而可求出药店捐赠的口罩至少有多少个．
【解答】解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，
∴第二次购进医用口罩的数量为（x﹣200）个，
∴由题意可知：＝1.25×，
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解，
∴x﹣200＝800，
答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．
（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，
由题意可知：4a+4.5b＝6400，
∴a＝1600﹣，
∴1800﹣a﹣b＝1800﹣（1600﹣）﹣b＝200+，
∵a≤1000，
∴1600﹣≤1000，
∴b≥533，
∵a，b是整数，
∴b是8的倍数，
∴b的最小值是536，
∴1800﹣a﹣b≥267，
答：药店捐赠口罩至少有267个
23．（8分）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则x＝a或x＝b．
因为，所以关于x的方程x+＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b．
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4．则p＝　﹣4　，q＝　3　；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）．求的值．
【分析】（1）根据材料可得：p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3；
（2）将原方程变形后变为：2x+1+＝2n+1，未知数变为整体2x+1，根据材料中的结论可得x1，x2，代入原式化简即可．
【解答】解：（1）∵方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；

（2））∵2x+＝2n，
∴2x+1+＝2n+1，
2x+1+＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝或，
∵x1＜x2，
∴x1＝，x2＝，
∴原式＝
＝
＝1．
24．（9分）如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4，∠AOC＝45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．

（1）求出点C，B的坐标；
（2）设△APQ的面积是y，求y关于t的关系式；
（3）当为何值时，AP⊥CB？此时，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作CD⊥OA于点D，则△OCD是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标；
（2）过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，根据行程问题中速度、时间与距离之间的关系，用含t的代数式表示线段EQ、FQ、PC、PB的长，再由S△APQ＝S平行四边形OABC﹣S△OAQ﹣S△CPQ﹣S△APB，将△APQ的面积用含t的代数式表示并进行整理，即得到y关于t的关系式；
（3）当AP⊥CB时，则PA＝PB＝4，可求出此时t的值，再求出OE、QE的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以AP、AQ、PQ为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可．
【解答】解：（1）如图1，作CD⊥OA于点D，则∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠DOC＝∠DCO＝45°，
∴OD＝CD，
∵OD2+CD2＝OC2，OC＝，
∴2CD2＝（）2，
∴OD＝CD＝4，
∴D（4，0），C（4，4），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝8，
∴xB＝4+8＝12，
∴B（12，4）.
（2）如图2，过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，则EF＝4，
∵∠OEQ＝90°，∠AOC＝45°，
∴∠EOQ＝∠EQO＝45°，
∴OE＝QE，
∵OE2+QE2＝OQ2，OQ＝t，
∴2QE2＝（t）2，
∴OE＝QE＝t，
∴QF＝4﹣t，
∵S△APQ＝S平行四边形OABC﹣S△OAQ﹣S△CPQ﹣S△APB，CP＝2t，BP＝8﹣2t，
∴y＝8×4﹣×8t﹣×2t（4﹣t）﹣×4（8﹣2t），
∴y＝t2﹣4t+16（0≤t≤4）．
（3）如图3，当AP⊥CB时，则PA＝4，∠OAP＝∠APB＝90°，
∵∠ABC＝∠AOC＝45°，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴PB＝PA＝4，
∴2t＝8﹣4，
解得，t＝2，
当平行四边形APQM1以AQ为对角线，设QM1交x轴于点E，
∵QM1∥PA，
∴∠OEQ＝∠OAP＝90°，
∴OE＝QE＝t＝1×2＝2，
∵QM1＝PA＝4，
∴EM1＝4﹣2＝2，
∴M1（2，﹣2）；
当平行四边形PAQM2以PQ为对角线，则QM2∥PA，QM2＝PA＝4，
∴EM2＝2+4＝6，
∴M2（2，6）；
当平行四边形AQPM3以AP为对角线，作M3G⊥CB交CB的延长线于点G，
∵PM3∥AQ，
∴∠APM3＝∠PAQ，
∴∠APB﹣∠APM3＝∠OAP﹣∠PAQ，
∴∠GPM3＝∠EAQ，
∵∠G＝∠AEQ＝90°，PM3＝AQ，
∴△PGM3≌△AEQ（AAS），
∴PG＝AE＝8﹣2＝6，GM3＝QE＝2，
∵xP＝12﹣4＝8，
∴xG＝8+6＝14，
∴M3（14，2），
综上所述，点M的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）．



25．（12分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．

（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明．
【分析】（1）先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论；
（2）先求出∠CDA＝∠ADE＝30°，进而求出∠BED＝90°，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）连接BE，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由勾股定理可得2AC2＝CD2+CE2．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）如图②，连接BE，

∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝5，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD＝＝＝．
（3）2AC2＝CD2+CE2，
理由如下：连接BE，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AC2＝CD2+CE2．