2021年全国中考数学真题分类汇编--函数：反比例函数（解析卷）

这是一份2021年全国中考数学真题分类汇编--函数：反比例函数（解析卷），共64页。试卷主要包含了选择题，四象限，等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编（函数）
----反比例函数
一、选择题
1. （2021•怀化市）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（　　）

A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
【分析】过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，证明四边形NGOH是矩形，设N（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab＝，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠CDO＝30°，再根据菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝2∠CDO＝60°，∠ACD＝60°，进而即可证得△ABC是等边三角形，得出AE＝OB＝2,由∠BAE＝30°＝∠ABO,得出AM＝BM,则EM＝OM,从而得到3EM＝OB＝2,进而可得EM长．
【解答】解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，
设N（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点N，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，
∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，
∴四边形NGOH是矩形，
∴NG∥x轴，NH∥y轴，
∵N为CD的中点，
∴DO•CO＝2a•2b＝4ab＝，
∴CO＝，
∴tan∠CDO＝＝．
∴∠CDO＝30°，
∴∠DCO＝60°,
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°,
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥BC，BO⊥AC,
∴AE＝BO＝2,∠BAE＝30°＝∠ABO,
∴AM＝BM,
∴OM＝EM,
∵∠MBE＝30°,
∴BM＝2EM＝2OM,
∴3EM＝OB＝2,
∴ME＝，
故选：D．


2. （2021•宿迁市）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵
∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；
∵0＜1＜3，-2＜0
∴y2＜y1＜0，y3＞0
∴．
故选A．
江苏省扬州）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①
【答案】B
【解析】
【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．
【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，
设P（m，），
则C（m，），A（m，0），B（0，），令，
则，即D（，），
∴PC==，PD==，
∵，，即，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积===，故③正确；

=
=
=
=
=，故②错误；
故选B．
4．（2021•山西）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（D ）
A.图象位于第一、第三象限 B.图象必经过点（4，）
C.图象不可能与坐标轴相交 D. y 随 x 的增大而减小


5. （2021•湖北省宜昌市）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．
【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝（V，p都大于零），
∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．
故选：B．

6.（2021•四川省达州市）在反比例函数y＝（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用x1＜0＜x2＜x3得到y1＜0，0＜y3＜y2．
【解答】解：∵k2+1＞5，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∵x1＜0＜x8＜x3，
∴y1＜4，0＜y3＜y5，
∴y1＜y3＜y8．
故选：C．

7. （2021•四川省乐山市）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）

A. B. 3或 C. 或 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得，，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，得，；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，，即，
∵直线过原点和点
∴直线：
∵在直线上
∴
∴
连接，，

∴，线段的中点为点
∴，
过点作轴的垂线，垂足为点
∴
∴，，
∴
∴
∴点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心
∴
∵，
∴
∵，且
∴
∴
∴
∴或
当时，和位于直线两侧，即
∴不符合题意
∴，且
∴，
∴
∴
∴
故选：A．

8. （2021•天津市）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案．
【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：
、、．
则．
故选B．
9. （2021•浙江省嘉兴市）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B两点在第三象限，C点在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：A．
10、（2021•浙江省温州市）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．2
【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．
【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD＝OE＝1，
把y＝1代入y＝，求得x＝k，
∴B（k，7），
∴OD＝k，
∵OC＝OD，
∴OC＝k，
∵AC⊥x轴于点C，
把x＝k代入y＝得，
∴AE＝AC＝，
∵OC＝EF＝k，AF＝，
在Rt△AEF中，AE2＝EF5+AF2，
∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，
∵在第一象限，
∴k＝，
故选：B．


11. （2021•湖北省荆门市）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．

12. （2021•湖北省十堰市）如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴直线OA的解析式为，
∵，
∴设直线CD的解析式为，
则，
设点B关于直线的对称点，
则①，
且，
即，解得，
代入①可得，
故选：A．
13. （2021•重庆市A）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）

A. B. C. 7 D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．
【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=AD=AB，CD∥AB
∵AB∥x轴，AE⊥CD
∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD
∴∠DAE+∠GAO=90゜
∴∠GAO=∠D
∵OA=OD
∴△DEA≌△AGO(AAS)
∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a
∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a
∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴
∴四边形AGHF是矩形
∴FH=AG=3a，AF=GH

∵E点在双曲线上
∴
即
∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a
∴
即
∴
∵
∴
解得：
∴
故选：A．

14. （2021•重庆市B）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
故选：D．

15. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点．若点的横坐标为5，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得，求解x，进而可得点，则，最后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵点的横坐标为5，
∴点，，
∵，
∴设DE=x，BE=2x，则，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴点，
∴，
解得：；
故选A．
16. （2021•贵州省贵阳市）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是（1，2），
∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
17. （2021•江苏省无锡市）8．一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知得B（﹣n，0），而A（1，m）在一次函数y＝x+n的图象上，可得n＝m﹣1，即B（1﹣m，0），根据△AOB的面积为1，可列方程|1﹣m|•m＝1，即可解得m＝2．
【解答】解：在y＝x+n中，令y＝0，得x＝﹣n，
∴B（﹣n，0），
∵A（1，m）在一次函数y＝x+n的图象上，
∴m＝1+n，即n＝m﹣1，
∴B（1﹣m，0），
∵△AOB的面积为1，m＞0，
∴OB•|yA|＝1，即|1﹣m|•m＝1，
解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴m＝2，
故选：B．
18 . (2021•内蒙古包头市)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A

19. （2021•内蒙古通辽市）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（　　）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]
【分析】将一次函数y＝﹣2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y＝﹣2x+m+3，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A（x1，0），B（x2，0），所以x1与x2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又A，B两点关于原点对称，所以x1+x2＝0，则，得到m＝﹣3，根据定义，得到一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，
设A（x1，0），B（x2，0），
联立，
∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，
∵x1和x2是方程的两根，
∴，
又∵A，B两点关于原点对称，
∴x1+x2＝0，
∴，
∴m＝﹣3，
根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，
故选：D．

二．填空题
1. （2021•甘肃省定西市）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】反比例函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
2. （2021•湖北省武汉市）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是 　﹣1＜a＜0　．
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限时，②当点A（a，y1），B（a+1，y2）在不同象限时．
【解答】解：∵k＝m2+1＞5，
∴反比例函数y＝（m是常数）的图象在一，在每个象限，
①当A（a，y4），B（a+1，y2）在同一象限，
∵y3＜y2，
∴a＞a+1，
此不等式无解；
②当点A（a，y8）、B（a+1，y2）在不同象限，
∵y2＜y2，
∴a＜0，a+5＞0，
解得：﹣1＜a＜6，
故答案为﹣1＜a＜0．

3. （2021•株洲市）点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是__________．
【答案】k0）过点C（1，2）和D（2，n），
∴，解得，．
∴反比例函数的解析式为．
∵直线过点C（1，2）和D（2，1），
∴，解得，．
∴一次函数的解析式为．
（2）当x=0时，y1=3，即B（0，3）．
∴．
如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E．

∵D（2，1），
∴DE=2．
∴
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键．
11.
9. （2021•山东省菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　（，0）　．

【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式后令y＝0，即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝kx+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．


10. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．

【分析】（1）根据一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），求出点A的坐标，再代入y＝，即可求得答案；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式，联立直线AD解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点C的坐标．
【解答】（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．


11. （2021•广东省）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数图象的一个交点为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】
解：（1）为反比例函数上一点，
代入得，
．…………………………2分


（2）令，即，
，，
令，，，
．
由图象得，可分为以下两种情况，

①在轴正半轴时，，
，
过作轴交轴于点，又，，
，，
，
，
，
，．…………………………5分
②的轴负半轴时，，过作轴，
，，，
，
，
，，
，
，…………………………7分

综上，或．…………………………8分

12. （2021•四川省广元市）如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，

（1）求直线的解析式及点B的坐标；
（2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为．
【解析】
【分析】（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A坐标，代入可求出直线解析式，联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标；
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，根据点A、B坐标可求出AB的长，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=，根据两点间距离个数求出m、n的值即可得点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案．
【详解】（1）∵点A在双曲线上，点A的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线与双曲线相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线的解析式为y=-0.5x+2，
联立反比例函数与一次函数解析式得，
解得：，（舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴点C坐标为（，2），
把点C坐标代入双曲线解析式得：，
解得：，
∴过点C的双曲线解析式为．
13. （2021•四川省乐山市） 如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4

（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
【答案】（1）-6；（2）8
【解析】
【分析】（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．
（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．
【详解】（1）过作垂直于轴，垂足为，

∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∴，，即．
（2）由（1）知，∴．
∵，∴，∴，．
设直线的解析式为，
将点、代入，得．
解得．
∴直线的解析式为．
联立方程组，解得，，
∴．
∴．
14. （2021•四川省凉山州）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．

（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．
【详解】解：（1）设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN=，
∴N（m，），
∵△AOB的面积为12，
∴，即，
∵M为OA中点，
∴M（，），
∵M和N在反比例函数图像上，
∴，化简可得：，又，
∴，解得：，
∴，
∴M（2，3），代入，
得；
（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线MN的表达式为．
15. （2021•四川省南充市）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积．

【分析】(1)根据待定系数法求得即可；
（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得E的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得△BCE的面积．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝,直线AB解析式为y＝ax+b,
∵反比例函数的图象过点B（4，1）,
∴k＝4×1＝4,
把点A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝ax+b得,
解得,
∴直线AB为y＝,反比例函数的解析式为y＝；
(2)解得或,
∴C(﹣2,﹣2),
设直线CD为y＝mx+n,
把C(﹣2,﹣2),D(﹣1,0)代入得,
解得,
∴直线CD为y＝2x+2,
由得或,
∴E(1,4),
∴S△BCE＝6×6﹣×3﹣﹣＝．


16. （2021•遂宁市）如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围．

【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2
【解析】
【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可；
（2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可；
（3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果．
【详解】解：（1）∵过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
即反比例函数：，
当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1）
y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1）
代入得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x＋1，
（2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）
∵S△AMN＝1
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，－5），
（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点
∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1
∴y3＝x－1，
联立得解得或
∴C（－1，－2），D（2，1），
在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3，
∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．


17. （2021•湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．

【分析】（1）作AH⊥BC于H，求出AH的长和OH的长确定A点坐标即可；
（2）求出直线AD的解析式，确定D点坐标，再根据三角形ABD的面积等于三角形ABC面积加三角形BCD面积即可求出．
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，
∵Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴OC＝BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，
∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，
∴∠HAC＝∠ABC＝30°，
∴CH＝AC×sin30°＝1，OH＝AC×cos30°＝，
∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，
∴A（1，），
∵双曲线y＝经过点A，
∴1＝，
即k＝；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，），C（2，0），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，
∴，
解得或，
∵D在第四象限，
∴D（3，﹣），
∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝BC•BH+BC•（﹣yD）＝＝4．


18. （2021•浙江省湖州市）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数(x＞0)图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数(k＞0，x＜0)的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．

【答案】（1）①略；②1；（2）不变．
【解析】解：（1）①证明 设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，
，
轴，
，
∴四边形是平行四边形．
②解 过点作轴于点，
轴，
，
，
，
∴当时，，即．
．

（2）解：不改变．
理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，
由题意，可知，四边形是平行四边形，
，
即，

，
解得，
异号，，
，
．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．


19. （2021•山东省济宁市）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．

【分析】（1）过A作AD⊥x轴于D，证明△BOC≌△CDA，可得OB＝CD，OC＝AD，根据C（2，0），B（0，4），得A（6，2），而反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，故2＝，解得k＝12，即可得反比例函数的解析式为y＝；
（2）求出直线OA解析式为y＝x，可得将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，再由点（1，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，得n＝12，即直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），即可求出m＝．
【解答】解：（1）过A作AD⊥x轴于D，如图：

∵∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD，
在△BOC和△CDA中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OB＝CD，OC＝AD，
∵C（2，0），B（0，4），
∴AD＝2，CD＝4，
∴A（6，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴2＝，解得k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）得A（6，2），
设直线OA解析式为y＝tx，
则2＝6t，解得t＝，
∴直线OA解析式为y＝x，
将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，
∵点（1，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴n＝＝12，
∴直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），
∴12＝+m，
∴m＝．
20. 2021•贵州省贵阳市）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m﹣1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC＝3．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝2，求一次函数的表达式．

【分析】（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，所以x＝2，得到A（2，0），设C（a，b），因为BC⊥y轴，所以B（0，b），BC＝﹣a，因为△ABC的面积为3，列出方程得到ab＝﹣6，所以m﹣1＝﹣6，所以m＝﹣5；
（2）因为AB＝2，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出方程，得到b2+4＝8，得到b＝2，从而C（﹣3，2），将C坐标代入到一次函数中即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
设C（a，b），
∵CB⊥y轴，
∴B（0，b），
∴BC＝﹣a，
∵S△ABC＝3，
∴，
∴ab＝﹣6，
∴m﹣1＝ab＝﹣6，
∴m＝﹣5，
即A（2，0），m＝﹣5；
（2）在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∵，
∴b2+4＝8，
∴b2＝4，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2，
∴a＝﹣3，
∴C（﹣3，2），
将C代入到直线解析式中得k＝，
∴一次函数的表达式为．