2020-2021学年福建省高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题本大共6小题，共70分等内容，欢迎下载使用。

1. 椭圆x2m+y24=1的焦距为2，则m的值等于（ ）
A.5或3B.8C.5D.5或3

2. 一束光线从A(1, 0)点处射到y轴上一点B(0, 2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A.x+2y−2=0B.2x−y+2=0C.x−2y+2=0D.2x+y−2=0

3. 如图，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且OM＝2MA，BN＝NC，则MN→等于（ ）

A.23a→+23b→+12c→B.12a→+12b→−12c→
C.−23a→+12b→+12c→D.12a→−23b→+12c→

4. 已知直线(a+2)x+2ay−1＝0与直线3ax−y+2＝0垂直，则实数a的值是（ ）
A.0B.−43C.0或−43D.−12或23

5. 已知A(4, 1, 3)，B(2, 3, 1)，C(3, 7, −5)，点P(x, −1, 3)在平面ABC内，则x的值为（ ）
A.−4B.1C.10D.11

6. 已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，过点(4, 0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB中点坐标为(2, −1)，则椭圆E的离心率为（ ）
A.12B.32C.13D.233

7. 设集合A={(x, y)|(x−4)2+y2=1}，B={(x, y)|(x−t)2+(y−at+2)2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠⌀”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.[1, 4]B.[0, 43]
C.[0, 12]D.(−∞, 0]∪(43, +∞]

8. 已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点（设点A在第一象限），分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，若△AFA1为等边三角形，△BFB1的面积为S1，四边形A1B1BF的面积为S2，则S1S2=( )
A.13B.14C.16D.17
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分。在答题卷上相应题目的答题区域内作答。

给出如下四个命题，其中正确的命题是（ ）
A.命题P:∃x0∈R，使得x02+x0+12”是“1x0)焦点F，交抛物线于A，B两点，点P(x0, y0)为AB中点，作OQ⊥AB，垂足为Q，则下列结论中正确的是（ ）
A.ky0为定值B.OA¯⋅OB¯为定值
C.点P的轨迹方程为y2=2p(x−p2)D.点Q的轨迹是圆的一部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

直线l:x−ysin2π3+1＝0的斜率为________．

由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a, +∞)，则实数a的值是________．

设点P是函数y=−4−(x−1)2图象上任意一点，点Q(2a, a−3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．

已知双曲线M:x2a2−y2b2=1(b>0, a>0)的焦距为2c，若M的渐近线上存在点T，使得经过点T所作的圆(x−c)2+y2=a的两条切线互相垂直，则双曲线M的离心率的取值范围是________．
四、解答题本大共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答。

已知p:−x2−x+6≤0，q:|1−x+32|≤m．
（1）若￢p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；

（2）当m=1时，若(￢p)∨q为真，(￢p)∧q为假，求实数x的取值范围．

已知直线l1的方程为x+2y−4=0，若l2在x轴上的截距为12，且l1⊥l2．
（1）求直线l1和l2的交点坐标；

（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．

已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线3x−4y+15=0相切．
（1）若直线l:y=−2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；

（2）已知A(−9, 0)，B(−1, 0)，设P为圆O上任意一点，证明：|PA||PB|为定值

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，点(2, 1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与圆O:x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点，求证：∠POQ是定值．

在平面直角坐标系中，有定点F(0, 1)，M(−5, −1)，动点P满足|PF→|=|PM→∗OF→|．

（1）求动点P的轨迹Γ的方程；

（2）过点D(0, 4)作直线，交曲线Γ于两点A，B，以A，B为切点作曲线Γ的切线，交于点P，连接OA，OB，OP．
(i)证明：点P在一条定直线上；
(ii)记S1，S2分别为△AOP，△BOP的面积，求S1+S2的最小值．

已知点P是圆Q：(x+2)2+y2=32上任意一点，定点R(2, 0)，线段PR的垂直平分线l与半径PQ相交于M点，当P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为Γ．
（1）求点M的轨迹Γ的方程；

（2）若点N在双曲线x24−y22＝1（顶点除外）上运动，过点N、R的直线与曲线Γ相交于A、B，过点N，Q的直线与曲线Γ相交于C、D，试探究|AB|+|CD|是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本大共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，在答题卷上相应题目的答题区域内作答。
1.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据椭圆方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得焦距 2c 的值列出方程，从而求得n的值．
【解答】
由椭圆 x2m+y24=1得：
2c＝2得c＝1．
依题意得4−m＝1或m−4＝1
解得m＝3或m＝5
∴ m的值为3或5
2.
【答案】
B
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
由反射定律可得点A(−1, 0)关于y轴的对称点A′(1, 0)在反射光线所在的直线上，再根据点b(0, 1)也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．
【解答】
由反射定律可得点A(1, 0)关于y轴的对称点A′(−1, 0)在反射光线所在的直线上，
再根据点B(0, 2)也在反射光线所在的直线上，
用两点式求得反射光线所在的直线方程为x−1+y2=1，即2x−y+2=0，
3.
【答案】
C
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据空间向量的线性表示，用OA→、OB→和OC→表示出MN→即可．
【解答】
由题意知，MN→=MA→+AC→+CN→
=13OA→+(OC→−OA→)+12CB→
=−23OA→+OC→+12(OB→−OC→)
=−23OA→+12OB→+12OC→
=−23a→+12b→+12c→．
4.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
利用一般式下两直线垂直的判定方法即：L1:A1x+B1y+C1＝0，L2:A2x+B2y+C2＝0，若L1⊥L2，则A1A2+B1B2＝0，带入求解即可．
【解答】
因为直线(a+2)x+2ay−1＝0与直线3ax−y+2＝0垂直，则(a+2)⋅3a+2a⋅(−1)＝0，解得：a=0a=−43．
5.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
利用平面向量的共面定理即可得出．
【解答】
解：∵ 点P(x, −1, 3)在平面ABC内，∴ 存在实数λ，μ使得等式AP→=λAB→+μAC→成立，
∴ (x−4, −2, 0)=λ(−2, 2, −2)+μ(−1, 6, −8)，
∴ x−4=−2λ−μ−2=2λ+6μ0=−2λ−8μ，消去λ，μ解得x=11．
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(2, −1)，求出斜率，得到a，b关系，即可求得椭圆E的离心率．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x12a2+y12b2＝1x22a2+y22b2＝1，
两式相减得：(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
∵ 线段AB的中点坐标为(2, −1)，
∴ x1+x2=4，y1+y2=−2，
∴ y1−y2x1−x2=2b2a2，
由AB斜率kAB=0+14−2=12，
∴ 2b2a2=12，即a=2b，
e=ca=1−b2a2=32．
7.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
首先要将条件进行转化，即命题P:A∩B≠⌀为假命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答．
【解答】
解：∵ A={(x, y)|(x−4)2+y2=1}，表示平面坐标系中以M(4, 0)为圆心，半径为1的圆，
B={(x, y)|(x−t)2+(y−at+2)2=1}，表示以N(t, at−2)为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax−y−2=0上，如图．
如果命题“∃t∈R，A∩B≠⌀”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax−y−2=0的距离不大于2，
即|4a−2|a2+1≤2，解得0≤a≤43．
∴ 实数a的取值范围是[0, 43]；
故选：B．
8.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
直线AB的方程为y=3(x−p2)，代入到y2=2px，求出A，B的坐标，分别求出，△BFB1的面积为S1，四边形A1B1BF的面积为S2，即可求出答案．
【解答】
∵ △AFA1为等边三角形，
∴ ∠AFx=∠AFA1=∠A1FO=60∘，∠BFB1=∠OFB1=30∘，
直线AB的方程为y=3(x−p2)，代入到y2=2px，消y可得3x2−5px+3p24=0，
解得x=p6或x=p2，
∴ A(32p, 3p)，B(p6, −3p3)，
∴ |BF|=|BB1|=p6+p2=2p3，
∴ △BFB1的面积为S1=12×2p3×3p3=3p29，
∴ 四边形A1B1BF的面积为S2=3p29+12×|3p−(−3p3)|⋅p=73p29，
∴ S1S2=17，
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分。在答题卷上相应题目的答题区域内作答。
【答案】
B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
利用命题的发的性质判断A；逆否命题的真假判断B；充要条件判断C；充要条件判断D．
【解答】
命题P:∃x0∈R，使得x02+x0+12”推出“1x2”是“1x0”是真命题，由二次函数的性质得△0”是真命题，
∴ △=4−4m1，
故a的值是1．
故答案为：1．
【答案】
5−2
【考点】
直线与圆的位置关系
两点间的距离公式
【解析】
将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．
【解答】
解：由函数y=−4−(x−1)2，得(x−1)2+y2=4，(y≤0)，
对应的曲线为圆心在C(1, 0)，半径为2的圆的下部分，
∵ 点Q(2a, a−3)，
∴ x=2a，y=a−3，消去a得x−2y−6=0，
即Q(2a, a−3)在直线x−2y−6=0上，
过圆心C作直线的垂线，垂足为A，
则|PQ|min=|CA|−2=|1−0−6|1+4−2=5−2．
故答案为：5−2．
【答案】
(1, 3]
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，必有|TF→|=2a，而焦点F(c, 0)到双曲线渐近线的距离为b，故|TF→|=2a≥b，利用双曲线的离心率的计算公式解答．
【解答】
∵ b>0，a>0，所以离心率e=ca=1+(ba)2>1，
圆(x−c)2+y2=a2是以F(c, 0)为圆心，半径r=a的圆，
要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直，
必有|TF→|=2a，而焦点F(c, 0)到双曲线渐近线的距离为b，
所以|TF→|=2a≥b，
即ba≤2，所以e=ca=1+(ba)2≤3，所以双曲线M的离心率的取值范围是(1, 3]．
四、解答题本大共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答。
【答案】
因为命题p:−x2−x+6≤0，所以x≤−3或x≥2，
所以￢P为：{x|−3