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2020-2021学年河北省高二（上）12月月考数学试卷 (2)人教A版
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这是一份2020-2021学年河北省高二（上）12月月考数学试卷 (2)人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 方程(x+y−1)x2+y2−4=0所表示的曲线是( )
A.B.
C.D.
2. 已知方程x23+k+y22−k=1表示椭圆，则k的取值范围为( )
A.k>−3且k≠−12B.−3C.k>2D.k<−3
3. 若双曲线x24−y212=1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( )
A.4B.12C.4或12D.6
4. 抛物线y2=x的焦点坐标是( )
A.(12,0)B.(14,0)C.(0, 12)D.(0, 14)
5. 已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=4，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
A.12B.10C.9D.16
6. 双曲线x23−y2=1的焦点坐标是( )
A.(−2, 0)，(2, 0)B.(−2, 0)，(2, 0)C.(0, −2)，(0, 2)D.(0, −2)，(0, 2)
7. 椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，MF1→⋅MF2→=0，则M到y轴的距离为（ ）
A.233B.263C.33D.3
8. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±32x
9. 过点A0,1与抛物线y2=2pxp>0只有一个公共点的直线的条数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
10. 方程x2m+y22m−1=1为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ）
A.m>12B.m>12且m≠1C.m>1D.m>0
11. 若动圆与圆x−22+y2=1相外切，又与直线x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A.直线B.抛物线C.线段D.椭圆
12. 椭圆x236+y29=1的一条弦被A(4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是( )
A.x−2y=0B.2x+y−10=0C.2x−y−2=0D.x+2y−8=0
二、填空题
双曲线C： x22−y2=1的左右焦点分别为F1,F2，P是双曲线右支上一点，则|PF1|−|PF2|=________，双曲线C的离心率e=________.
已知椭圆C:x225+y216=1内有一点M2,3,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，则|PM|+|PF1|的最大值和最小值分别为________.
设点F，B分别为椭圆C：x2a2+y23=1a>3的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3+3，则实数a的值为________.
图中共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1,e2,e3,e4，其大小关系为________.
三、解答题
在△ABC中，C−4,0,B4,0，动点A满足sinB−sinC=12sinA，求点A的轨迹方程．
求适合下面条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点P−5,0,Q0,−3；
(2)长轴的长为10，离心率等于35.
椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若l的倾斜角为π4，求△ABF2的面积．
河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问水面上涨到与抛物线型拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
如图，等腰直角三角形直角顶点位于原点O，另外两个顶点M，N在抛物线C:y2=2pxp>0上，若三角形OMN的面积为16.
(1)求C的方程；
(2)若抛物线C的焦点为F，直线l:y=2x−1与C交于A，B两点，求△ABF的周长．
设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：
(1)求曲线C1，C2的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C1交于不同两点M，N，且OM→⋅ON→=0，请问是否存在直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
曲线与方程
【解析】
原方程等价于：x+y−1=0x2+y2≥4，或x2+y2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．
【解答】
解：原方程等价于：x+y−1=0，x2+y2≥4，或x2+y2=4，
其中当x+y−1=0需x2+y2−4有意义，等式才成立，
即x2+y2≥4，此时它表示直线x−y−1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，
而x2+y2=4表示的是圆.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据题意，方程x23+k+y22−k=1表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．
【解答】
解：∵ 方程x23+k+y22−k=1表示椭圆，
∴ 3+k>0,2−k>0,3+k≠2−k,
解得：−3故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的定义，结合P到它的右焦点的距离为8，可求点P到它的左焦点的距离．
【解答】
解：∵ a2=4，∴ a=2，
设点P到它的左焦点的距离是m，
则由双曲线的定义可得|m−8|=2×2，
∴ m=4或m=12.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的标准方程，直接写出焦点坐标即可．
【解答】
解：由y2=x知p=12，
∴ 焦点坐标为14,0.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义和性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a=4，∴ 2a=8，
由椭圆的定义知，
|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，
∴ |AF1|+|BF1|=4a−|AF2|+|BF2|
=16−|AB|=12.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=a2+b2=2，即可得到双曲线的焦点坐标．
【解答】
解：∵ 双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，
由此可得c=a2+b2=2，
∴ 该双曲线的焦点坐标为(±2, 0).
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
M(ℎ, t)，则 由MF1→⋅MF2→=0 得 ℎ2−3+t2=0 ①，把M(ℎ, t)代入椭圆方程得
t2=1−ℎ24 ②，把②代入①可得|ℎ|即为所求．
【解答】
解：由题意得 a=2，b=1，c=3，F1(−3, 0)，F2(3, 0)．
∵ MF1→⋅MF2→=0，
∴ MF1→⊥MF2→．
设M(ℎ, t)，则 由MF1→⋅MF2→=0得
(−3−ℎ, −t)⋅(3−ℎ, −t)=ℎ2−3+t2=0①．
把M(ℎ, t)代入椭圆方程得 t2=1−ℎ24 ②，
把②代入①可得ℎ2=83，|ℎ|=263．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．
【解答】
解：∵ 双曲线的离心率为e=ca=3，
则ba=b2a2=c2−a2a2=(ca)2−1=3−1=2，
即双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
抛物线的应用
【解析】
暂无
【解答】
解：如图，
过点A0,1与抛物线的轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，
过A及抛物线顶点O的直线（即y轴）与抛物线只有一个公共点，
过点A与抛物线相切于点B2p,2的直线y=p2x+1与抛物线只有一个公共点．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
椭圆的标准方程
【解析】
暂无
【解答】
解：方程x2m+y22m−1=1表示椭圆的充要条件是m>0,2m−1>0,m≠2m−1,
即m>12且m≠1，所以方程x2m+y22m−1=1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m>1.
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
轨迹方程
圆锥曲线的轨迹问题
抛物线的定义
【解析】
暂无
【解答】
解：设动圆半径为r，动圆圆心为O′x,y，
则O′到点2,0的距离为r+1，
O′到直线x+1=0，即直线x=−1的距离为r，
所以O′到点2,0的距离与到直线x=−2的距离相等．
由抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹为抛物线．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
设这条弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1236+y129=1x2236+y229=1，两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k=−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．
【解答】
解：设这条弦的两端点为M(x1, y1)，N(x2, y2)，斜率为k，
则x1236+y129=1，x2236+y229=1，
两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0,
又弦中点为A(4, 2)，故k=−12，
故这条弦所在的直线方程y−2=−12(x−4)，
整理得x+2y−8=0.
故选D．
二、填空题
【答案】
22,62
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的定义以及几何性质得PF1−PF2=2a=22，e=ca得解.
【解答】
解：由题设C:x22−y2=1，
得a=2,b=1,c2=a2+b2=3，
利用双曲线定义得PF1−PF2=2a=22，
e=ca=c2a2=32=62.
故答案为：22；62.
【答案】
10+10，10−10
【考点】
椭圆的定义和性质
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
暂无
【解答】
解：由圆锥曲线的定义得|PF1|=2a−|PF2|，
即|PF1|=10−|PF2|，
所以|PF1|+|PM|=10+|PM|−|PF2|
由三角形的性质“两边之差小于第三边”可知，
当P，M，F2三点共线时|PM|−|PF2|取得最大值|MF2|，最小值−|MF2|．
由椭圆的标准方程x225+y216=1可得F23,0，
又|MF2|=2−32+3−02=10，
所以|PF1|+|PM|的最大值是10+10，最小值是10−10.
故答案为：10+10，10−10．
【答案】
2
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
暂无
【解答】
解：根据题意可知△OFB的周长为a+b+c=3+3，
又b=3，可知a+c=3，
结合a2−c2=b2=3，
可以解得a=2,c=1,
故实数a的值为2．
故答案为：2．
【答案】
e1【考点】
椭圆的离心率
双曲线的离心率
【解析】
暂无
【解答】
解：因为椭圆离心率的变化反映了椭圆的扁平程度，
又由椭圆②较椭圆①更“扁平”，可知椭圆②的离心率大于椭圆①的离心率，即e2>e1，
又因为双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据，
由e=ca>1可推出，e越大双曲线的“开口”就越开阔，即e4故答案为：e1三、解答题
【答案】
解：在△ABC中，由sinB−sinC=12sinA及正弦定理，得
|AC|−|AB|=12|BC|，
又∵ 点C−4,0，B4,0，
∴ |BC|=8，
∴ |AC|−|AB|=4，
∴ 点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的一支（靠近B点，剔除点2,0)，
∴ 2a=4，2c=|BC|=8，即a=2，c=4，
∴ b2=c2−a2=12．
∴ 点A的轨迹方程为x24−212=1（x>2）．
【考点】
轨迹方程
正弦定理
圆锥曲线的轨迹问题
双曲线的定义
【解析】
无
【解答】
解：在△ABC中，由sinB−sinC=12sinA及正弦定理，得
|AC|−|AB|=12|BC|，
又∵ 点C−4,0，B4,0，
∴ |BC|=8，
∴ |AC|−|AB|=4，
∴ 点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的一支（靠近B点，剔除点2,0)，
∴ 2a=4，2c=|BC|=8，即a=2，c=4，
∴ b2=c2−a2=12．
∴ 点A的轨迹方程为x24−212=1（x>2）．
【答案】
解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得a=5，b=3．
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225+y29=1．
(2)由已知，2a=10，e=ca=35，
所以a=5，c=3，则b2=52−32=16．
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以所求的椭圆标准方程为x225+y216=1或y225+x216=1．
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得a=5，b=3．
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225+y29=1．
(2)由已知，2a=10，e=ca=35，
所以a=5，c=3，则b2=52−32=16．
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以所求的椭圆标准方程为x225+y216=1或y225+x216=1．
【答案】
解：(1)由椭圆的定义，
得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以，△ABF2的周长|AF2|+|BF2|+|AB|=4a．
又因为a2=4，
所以a=2，
故△ABF2的周长为8．
(2)由条件，得F1(−1, 0)，
因为AB的倾斜角为π4，所以AB斜率为1，
故直线AB的方程为y=x+1．
由y=x+1，x24+y23=1，
消去x，得7y2−6y−9=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
解得,y1+y2=67，y1⋅y2=−97．
所以S△ABF2=12|F1F2|⋅|y1−y2|
=12×2×(y1+y2)2−4y1y2=1227.
【考点】
椭圆的定义
直线与椭圆的位置关系
【解析】
(1)由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．再由a2=4，能导出△ABF2的周长．
(2)由F1(−1, 0)，AB的倾斜角为π4，知直线AB的方程为y=x+1．由y=x+1x24+y23=1消去x，得7y2−6y−9=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，借助韦达定理能够求出△ABF2的面积．
【解答】
解：(1)由椭圆的定义，
得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以，△ABF2的周长|AF2|+|BF2|+|AB|=4a．
又因为a2=4，
所以a=2，
故△ABF2的周长为8．
(2)由条件，得F1(−1, 0)，
因为AB的倾斜角为π4，所以AB斜率为1，
故直线AB的方程为y=x+1．
由y=x+1，x24+y23=1，
消去x，得7y2−6y−9=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
解得,y1+y2=67，y1⋅y2=−97．
所以S△ABF2=12|F1F2|⋅|y1−y2|
=12×2×(y1+y2)2−4y1y2=1227.
【答案】
解：如图，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2=−2pyp>0，
由题意可知，B4,−5在抛物线上，
所以p=85，得x2=−165y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A2,yA，
由22=−165yA得yA=−54.
又知船面露出水面上的部分为0.75m，
所以ℎ=|yA|+0.75=2(m)，
所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.
【考点】
抛物线的应用
抛物线的求解
【解析】
主要考查抛物线定义、待定系数法求标准方程及其实际应用．
【解答】
解：如图，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2=−2pyp>0，
由题意可知，B4,−5在抛物线上，
所以p=85，得x2=−165y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A2,yA，
由22=−165yA得yA=−54.
又知船面露出水面上的部分为0.75m，
所以ℎ=|yA|+0.75=2(m)，
所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.
【答案】
解：(1)由已知得等腰直角三角形的底边长为8，
由对称性可知M，N关于x轴对称，
所以抛物线C过点M4,4，代入可得p=2，
所以C的方程为y2=4x．
(2)由y=2x−1,y2=4x,消去y得4x2−8x+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=2，x1⋅x2=14，
由抛物线的定义，得
|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
|AF|+|BF|=x2+x1+2，
|AB|=1+22|x1−x2|
=5⋅x1+x22−4x1⋅x2=15，
所以周长为|AF|+|BF|+|AB|
=x1+x2+2+15=4+15．
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)由已知得等腰直角三角形的底边长为8，
由对称性可知M，N关于x轴对称，
所以抛物线C过点M4,4，代入可得p=2，
所以C的方程为y2=4x．
(2)由y=2x−1,y2=4x,消去y得4x2−8x+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=2，x1⋅x2=14，
由抛物线的定义，得
|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
|AF|+|BF|=x2+x1+2，
|AB|=1+22|x1−x2|
=5⋅x1+x22−4x1⋅x2=15，
所以周长为|AF|+|BF|+|AB|
=x1+x2+2+15=4+15．
【答案】
解：(1)由题意(−2, 0)，一定在椭圆C1上，
设C1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，
∴ 椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2，
∴ (2, 22)也在C1上，
代入椭圆方程(2)222+(22)2b2=1，
解得b2=1，
∴ C1的方程为x24+y2=1，
从而(3, −23)，(4, −4)一定在抛物线C2上.
设C2的方程为y2=2px(p>0)，可得(−4)2=2p×4，
∴ p=2，即C2的方程为y2=4x．
(2)假设直线l过C2的焦点F(1, 0)．
当l的斜率不存在时，则M(1, 32)，N(1, −32)，
此时OM→⋅ON→=1−34=14≠0，与已知矛盾．
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k(x−1)代入C1方程并整理得，
(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0．
∵ 直线l过椭圆内部(1, 0)点，故必有两交点．
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则
x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，
y1y2=k(x1−1)k(x2−1)=k2(x1x2−x1−x2+1)
=−3k21+4k2.
∵ OM→⋅ON→=0，∴ x1x2+y1y2=0，
∴ k2−4=0，k=±2，
∴ 存在符合条件的直线l且方程为y=±2(x−1)．
【考点】
椭圆的标准方程
抛物线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）由题意(−2, 0)，一定在椭圆C1上，设C1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，可得a=2．于是椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．可判断点(2, 22)也在C1上，代入椭圆方程即可解得b2，因此得到椭圆的方程．从而(3, −23)，(4, −4)一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px(p>0)，把其中一个点的坐标代入即可得出．
（2）假设直线l过C2的焦点F(1, 0)．分类讨论：当l的斜率不存在时，得出M，N的坐标，然后验证是否满足OM→⋅ON→=0，即可．
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k(x−1)代入C1方程并整理可得根与系数的关系，利用OM→⋅ON→=0，可得k的值即可．
【解答】
解：(1)由题意(−2, 0)，一定在椭圆C1上，
设C1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，
∴ 椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2，
∴ (2, 22)也在C1上，
代入椭圆方程(2)222+(22)2b2=1，
解得b2=1，
∴ C1的方程为x24+y2=1，
从而(3, −23)，(4, −4)一定在抛物线C2上.
设C2的方程为y2=2px(p>0)，可得(−4)2=2p×4，
∴ p=2，即C2的方程为y2=4x．
(2)假设直线l过C2的焦点F(1, 0)．
当l的斜率不存在时，则M(1, 32)，N(1, −32)，
此时OM→⋅ON→=1−34=14≠0，与已知矛盾．
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k(x−1)代入C1方程并整理得，
(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0．
∵ 直线l过椭圆内部(1, 0)点，故必有两交点．
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则
x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，
y1y2=k(x1−1)k(x2−1)=k2(x1x2−x1−x2+1)
=−3k21+4k2.
∵ OM→⋅ON→=0，∴ x1x2+y1y2=0，
∴ k2−4=0，k=±2，
∴ 存在符合条件的直线l且方程为y=±2(x−1)．x
3
−2
4
2
y
−23
0
−4
22
1. 方程(x+y−1)x2+y2−4=0所表示的曲线是( )
A.B.
C.D.
2. 已知方程x23+k+y22−k=1表示椭圆，则k的取值范围为( )
A.k>−3且k≠−12B.−3
3. 若双曲线x24−y212=1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( )
A.4B.12C.4或12D.6
4. 抛物线y2=x的焦点坐标是( )
A.(12,0)B.(14,0)C.(0, 12)D.(0, 14)
5. 已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=4，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
A.12B.10C.9D.16
6. 双曲线x23−y2=1的焦点坐标是( )
A.(−2, 0)，(2, 0)B.(−2, 0)，(2, 0)C.(0, −2)，(0, 2)D.(0, −2)，(0, 2)
7. 椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，MF1→⋅MF2→=0，则M到y轴的距离为（ ）
A.233B.263C.33D.3
8. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±32x
9. 过点A0,1与抛物线y2=2pxp>0只有一个公共点的直线的条数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
10. 方程x2m+y22m−1=1为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ）
A.m>12B.m>12且m≠1C.m>1D.m>0
11. 若动圆与圆x−22+y2=1相外切，又与直线x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A.直线B.抛物线C.线段D.椭圆
12. 椭圆x236+y29=1的一条弦被A(4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是( )
A.x−2y=0B.2x+y−10=0C.2x−y−2=0D.x+2y−8=0
二、填空题
双曲线C： x22−y2=1的左右焦点分别为F1,F2，P是双曲线右支上一点，则|PF1|−|PF2|=________，双曲线C的离心率e=________.
已知椭圆C:x225+y216=1内有一点M2,3,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，则|PM|+|PF1|的最大值和最小值分别为________.
设点F，B分别为椭圆C：x2a2+y23=1a>3的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3+3，则实数a的值为________.
图中共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1,e2,e3,e4，其大小关系为________.
三、解答题
在△ABC中，C−4,0,B4,0，动点A满足sinB−sinC=12sinA，求点A的轨迹方程．
求适合下面条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点P−5,0,Q0,−3；
(2)长轴的长为10，离心率等于35.
椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若l的倾斜角为π4，求△ABF2的面积．
河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问水面上涨到与抛物线型拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
如图，等腰直角三角形直角顶点位于原点O，另外两个顶点M，N在抛物线C:y2=2pxp>0上，若三角形OMN的面积为16.
(1)求C的方程；
(2)若抛物线C的焦点为F，直线l:y=2x−1与C交于A，B两点，求△ABF的周长．
设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：
(1)求曲线C1，C2的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C1交于不同两点M，N，且OM→⋅ON→=0，请问是否存在直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
曲线与方程
【解析】
原方程等价于：x+y−1=0x2+y2≥4，或x2+y2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．
【解答】
解：原方程等价于：x+y−1=0，x2+y2≥4，或x2+y2=4，
其中当x+y−1=0需x2+y2−4有意义，等式才成立，
即x2+y2≥4，此时它表示直线x−y−1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，
而x2+y2=4表示的是圆.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据题意，方程x23+k+y22−k=1表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．
【解答】
解：∵ 方程x23+k+y22−k=1表示椭圆，
∴ 3+k>0,2−k>0,3+k≠2−k,
解得：−3
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的定义，结合P到它的右焦点的距离为8，可求点P到它的左焦点的距离．
【解答】
解：∵ a2=4，∴ a=2，
设点P到它的左焦点的距离是m，
则由双曲线的定义可得|m−8|=2×2，
∴ m=4或m=12.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的标准方程，直接写出焦点坐标即可．
【解答】
解：由y2=x知p=12，
∴ 焦点坐标为14,0.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义和性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a=4，∴ 2a=8，
由椭圆的定义知，
|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，
∴ |AF1|+|BF1|=4a−|AF2|+|BF2|
=16−|AB|=12.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=a2+b2=2，即可得到双曲线的焦点坐标．
【解答】
解：∵ 双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，
由此可得c=a2+b2=2，
∴ 该双曲线的焦点坐标为(±2, 0).
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
M(ℎ, t)，则 由MF1→⋅MF2→=0 得 ℎ2−3+t2=0 ①，把M(ℎ, t)代入椭圆方程得
t2=1−ℎ24 ②，把②代入①可得|ℎ|即为所求．
【解答】
解：由题意得 a=2，b=1，c=3，F1(−3, 0)，F2(3, 0)．
∵ MF1→⋅MF2→=0，
∴ MF1→⊥MF2→．
设M(ℎ, t)，则 由MF1→⋅MF2→=0得
(−3−ℎ, −t)⋅(3−ℎ, −t)=ℎ2−3+t2=0①．
把M(ℎ, t)代入椭圆方程得 t2=1−ℎ24 ②，
把②代入①可得ℎ2=83，|ℎ|=263．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．
【解答】
解：∵ 双曲线的离心率为e=ca=3，
则ba=b2a2=c2−a2a2=(ca)2−1=3−1=2，
即双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
抛物线的应用
【解析】
暂无
【解答】
解：如图，
过点A0,1与抛物线的轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，
过A及抛物线顶点O的直线（即y轴）与抛物线只有一个公共点，
过点A与抛物线相切于点B2p,2的直线y=p2x+1与抛物线只有一个公共点．
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
椭圆的标准方程
【解析】
暂无
【解答】
解：方程x2m+y22m−1=1表示椭圆的充要条件是m>0,2m−1>0,m≠2m−1,
即m>12且m≠1，所以方程x2m+y22m−1=1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m>1.
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
轨迹方程
圆锥曲线的轨迹问题
抛物线的定义
【解析】
暂无
【解答】
解：设动圆半径为r，动圆圆心为O′x,y，
则O′到点2,0的距离为r+1，
O′到直线x+1=0，即直线x=−1的距离为r，
所以O′到点2,0的距离与到直线x=−2的距离相等．
由抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹为抛物线．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
设这条弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1236+y129=1x2236+y229=1，两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k=−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．
【解答】
解：设这条弦的两端点为M(x1, y1)，N(x2, y2)，斜率为k，
则x1236+y129=1，x2236+y229=1，
两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0,
又弦中点为A(4, 2)，故k=−12，
故这条弦所在的直线方程y−2=−12(x−4)，
整理得x+2y−8=0.
故选D．
二、填空题
【答案】
22,62
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的定义以及几何性质得PF1−PF2=2a=22，e=ca得解.
【解答】
解：由题设C:x22−y2=1，
得a=2,b=1,c2=a2+b2=3，
利用双曲线定义得PF1−PF2=2a=22，
e=ca=c2a2=32=62.
故答案为：22；62.
【答案】
10+10，10−10
【考点】
椭圆的定义和性质
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
暂无
【解答】
解：由圆锥曲线的定义得|PF1|=2a−|PF2|，
即|PF1|=10−|PF2|，
所以|PF1|+|PM|=10+|PM|−|PF2|
由三角形的性质“两边之差小于第三边”可知，
当P，M，F2三点共线时|PM|−|PF2|取得最大值|MF2|，最小值−|MF2|．
由椭圆的标准方程x225+y216=1可得F23,0，
又|MF2|=2−32+3−02=10，
所以|PF1|+|PM|的最大值是10+10，最小值是10−10.
故答案为：10+10，10−10．
【答案】
2
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
暂无
【解答】
解：根据题意可知△OFB的周长为a+b+c=3+3，
又b=3，可知a+c=3，
结合a2−c2=b2=3，
可以解得a=2,c=1,
故实数a的值为2．
故答案为：2．
【答案】
e1
椭圆的离心率
双曲线的离心率
【解析】
暂无
【解答】
解：因为椭圆离心率的变化反映了椭圆的扁平程度，
又由椭圆②较椭圆①更“扁平”，可知椭圆②的离心率大于椭圆①的离心率，即e2>e1，
又因为双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据，
由e=ca>1可推出，e越大双曲线的“开口”就越开阔，即e4
【答案】
解：在△ABC中，由sinB−sinC=12sinA及正弦定理，得
|AC|−|AB|=12|BC|，
又∵ 点C−4,0，B4,0，
∴ |BC|=8，
∴ |AC|−|AB|=4，
∴ 点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的一支（靠近B点，剔除点2,0)，
∴ 2a=4，2c=|BC|=8，即a=2，c=4，
∴ b2=c2−a2=12．
∴ 点A的轨迹方程为x24−212=1（x>2）．
【考点】
轨迹方程
正弦定理
圆锥曲线的轨迹问题
双曲线的定义
【解析】
无
【解答】
解：在△ABC中，由sinB−sinC=12sinA及正弦定理，得
|AC|−|AB|=12|BC|，
又∵ 点C−4,0，B4,0，
∴ |BC|=8，
∴ |AC|−|AB|=4，
∴ 点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的一支（靠近B点，剔除点2,0)，
∴ 2a=4，2c=|BC|=8，即a=2，c=4，
∴ b2=c2−a2=12．
∴ 点A的轨迹方程为x24−212=1（x>2）．
【答案】
解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得a=5，b=3．
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225+y29=1．
(2)由已知，2a=10，e=ca=35，
所以a=5，c=3，则b2=52−32=16．
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以所求的椭圆标准方程为x225+y216=1或y225+x216=1．
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得a=5，b=3．
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225+y29=1．
(2)由已知，2a=10，e=ca=35，
所以a=5，c=3，则b2=52−32=16．
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以所求的椭圆标准方程为x225+y216=1或y225+x216=1．
【答案】
解：(1)由椭圆的定义，
得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以，△ABF2的周长|AF2|+|BF2|+|AB|=4a．
又因为a2=4，
所以a=2，
故△ABF2的周长为8．
(2)由条件，得F1(−1, 0)，
因为AB的倾斜角为π4，所以AB斜率为1，
故直线AB的方程为y=x+1．
由y=x+1，x24+y23=1，
消去x，得7y2−6y−9=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
解得,y1+y2=67，y1⋅y2=−97．
所以S△ABF2=12|F1F2|⋅|y1−y2|
=12×2×(y1+y2)2−4y1y2=1227.
【考点】
椭圆的定义
直线与椭圆的位置关系
【解析】
(1)由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．再由a2=4，能导出△ABF2的周长．
(2)由F1(−1, 0)，AB的倾斜角为π4，知直线AB的方程为y=x+1．由y=x+1x24+y23=1消去x，得7y2−6y−9=0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，借助韦达定理能够求出△ABF2的面积．
【解答】
解：(1)由椭圆的定义，
得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以，△ABF2的周长|AF2|+|BF2|+|AB|=4a．
又因为a2=4，
所以a=2，
故△ABF2的周长为8．
(2)由条件，得F1(−1, 0)，
因为AB的倾斜角为π4，所以AB斜率为1，
故直线AB的方程为y=x+1．
由y=x+1，x24+y23=1，
消去x，得7y2−6y−9=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
解得,y1+y2=67，y1⋅y2=−97．
所以S△ABF2=12|F1F2|⋅|y1−y2|
=12×2×(y1+y2)2−4y1y2=1227.
【答案】
解：如图，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2=−2pyp>0，
由题意可知，B4,−5在抛物线上，
所以p=85，得x2=−165y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A2,yA，
由22=−165yA得yA=−54.
又知船面露出水面上的部分为0.75m，
所以ℎ=|yA|+0.75=2(m)，
所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.
【考点】
抛物线的应用
抛物线的求解
【解析】
主要考查抛物线定义、待定系数法求标准方程及其实际应用．
【解答】
解：如图，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2=−2pyp>0，
由题意可知，B4,−5在抛物线上，
所以p=85，得x2=−165y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A2,yA，
由22=−165yA得yA=−54.
又知船面露出水面上的部分为0.75m，
所以ℎ=|yA|+0.75=2(m)，
所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.
【答案】
解：(1)由已知得等腰直角三角形的底边长为8，
由对称性可知M，N关于x轴对称，
所以抛物线C过点M4,4，代入可得p=2，
所以C的方程为y2=4x．
(2)由y=2x−1,y2=4x,消去y得4x2−8x+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=2，x1⋅x2=14，
由抛物线的定义，得
|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
|AF|+|BF|=x2+x1+2，
|AB|=1+22|x1−x2|
=5⋅x1+x22−4x1⋅x2=15，
所以周长为|AF|+|BF|+|AB|
=x1+x2+2+15=4+15．
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)由已知得等腰直角三角形的底边长为8，
由对称性可知M，N关于x轴对称，
所以抛物线C过点M4,4，代入可得p=2，
所以C的方程为y2=4x．
(2)由y=2x−1,y2=4x,消去y得4x2−8x+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=2，x1⋅x2=14，
由抛物线的定义，得
|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
|AF|+|BF|=x2+x1+2，
|AB|=1+22|x1−x2|
=5⋅x1+x22−4x1⋅x2=15，
所以周长为|AF|+|BF|+|AB|
=x1+x2+2+15=4+15．
【答案】
解：(1)由题意(−2, 0)，一定在椭圆C1上，
设C1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，
∴ 椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2，
∴ (2, 22)也在C1上，
代入椭圆方程(2)222+(22)2b2=1，
解得b2=1，
∴ C1的方程为x24+y2=1，
从而(3, −23)，(4, −4)一定在抛物线C2上.
设C2的方程为y2=2px(p>0)，可得(−4)2=2p×4，
∴ p=2，即C2的方程为y2=4x．
(2)假设直线l过C2的焦点F(1, 0)．
当l的斜率不存在时，则M(1, 32)，N(1, −32)，
此时OM→⋅ON→=1−34=14≠0，与已知矛盾．
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k(x−1)代入C1方程并整理得，
(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0．
∵ 直线l过椭圆内部(1, 0)点，故必有两交点．
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则
x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，
y1y2=k(x1−1)k(x2−1)=k2(x1x2−x1−x2+1)
=−3k21+4k2.
∵ OM→⋅ON→=0，∴ x1x2+y1y2=0，
∴ k2−4=0，k=±2，
∴ 存在符合条件的直线l且方程为y=±2(x−1)．
【考点】
椭圆的标准方程
抛物线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）由题意(−2, 0)，一定在椭圆C1上，设C1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，可得a=2．于是椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．可判断点(2, 22)也在C1上，代入椭圆方程即可解得b2，因此得到椭圆的方程．从而(3, −23)，(4, −4)一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px(p>0)，把其中一个点的坐标代入即可得出．
（2）假设直线l过C2的焦点F(1, 0)．分类讨论：当l的斜率不存在时，得出M，N的坐标，然后验证是否满足OM→⋅ON→=0，即可．
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k(x−1)代入C1方程并整理可得根与系数的关系，利用OM→⋅ON→=0，可得k的值即可．
【解答】
解：(1)由题意(−2, 0)，一定在椭圆C1上，
设C1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，
∴ 椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2，
∴ (2, 22)也在C1上，
代入椭圆方程(2)222+(22)2b2=1，
解得b2=1，
∴ C1的方程为x24+y2=1，
从而(3, −23)，(4, −4)一定在抛物线C2上.
设C2的方程为y2=2px(p>0)，可得(−4)2=2p×4，
∴ p=2，即C2的方程为y2=4x．
(2)假设直线l过C2的焦点F(1, 0)．
当l的斜率不存在时，则M(1, 32)，N(1, −32)，
此时OM→⋅ON→=1−34=14≠0，与已知矛盾．
当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k(x−1)代入C1方程并整理得，
(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0．
∵ 直线l过椭圆内部(1, 0)点，故必有两交点．
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则
x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，
y1y2=k(x1−1)k(x2−1)=k2(x1x2−x1−x2+1)
=−3k21+4k2.
∵ OM→⋅ON→=0，∴ x1x2+y1y2=0，
∴ k2−4=0，k=±2，
∴ 存在符合条件的直线l且方程为y=±2(x−1)．x
3
−2
4
2
y
−23
0
−4
22
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