2020-2021学年四川省内江市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省内江市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线y=3x+1的倾斜角为（ ）
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

2. 以下空间几何体是旋转体的是（ ）
A.圆锥B.棱台C.正方体D.三棱锥

3. 如果AB>0，BC>0，那么直线Ax−By−C=0不经过的象限是（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（ ）

A.162+16πB.162+8πC.82+8πD.82+16π

5. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确( )
A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β
C.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若m // α，m // β，则α // β

6. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )

A.82B.22C.43D.23

7. 若直线ax+2y+2＝0与直线8x+ay+4＝0平行，则a的值为（ ）
A.4B.−4C.−4或4D.−2

8. 如图，四棱锥P−ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN // 平面PAD，则( )

A.MN // PDB.MN // PAC.MN // ADD.以上均有可能

9. 设有直线y=k(x−3)+1，当k变动时，所有直线都经过定点（ ）
A.(0, 0)B.(0, 1)C.(3, 1)D.(2, 1)

10. 如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（ ）
A.梯形
B.平行四边形
C.可能是梯形也可能是平行四边形
D.不确定

11. 一个正方体的平面展开图如图所示．在该正方体中，给出如下3个命题：
①AF⊥CG； ②AG与MN是异面直线且夹角为60∘； ③BG与平面ABCD所成的角为45∘．
其中真命题的个数是（ ）

A.0B.1C.2D.3

12. 在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB // CD，AD⊥DC．
①AB // 平面PCD；
②AD⊥平面PCD；
③M是棱PA的中点，棱BC上存在一点F，使MF // PC．
正确命题的序号为（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.

三个不相交的平面把空间分成________部分．

若三点A(2, −3)，B(4, 3)，C(5, k)在同一条直线上，则实数k＝________．

已知两点A(3, 2)，B(−1, 5)，直线l:y＝kx−1与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围________

直线xa+yb=1(a>0, b>0)经过点(1, 4)，则a+b的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.17题10分，18题-22题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

已知两点A(−1, 2)，B(1, 0)．
（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；

（2）求直线AB在y轴上的截距b．

在△ABC中，边AB所在的直线方程为x+3y＝2，其中顶点A的纵坐标为1，顶点C的坐标为(1, 2)．
（1）求AB边上的高所在的直线方程；

（2）若CA，CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程．

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，AB // DC，∠ABC＝90∘，∠PAB＝120∘，DC＝PC＝2．PA＝AB＝BC＝1．

（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（2）求PB与平面ABCD所成的角．

如图，在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点．

（1）证明：AB // 平面A1B1C；

（2）若M是AB的中点，证明：平面MCC1⊥平面ABB1A1；

（3）求三棱锥M−A1B1C的体积．

已知直线y=2aa2+1x+1a2+1与x轴交于A点，与y轴交于B点．
（1）若a<0，∠OAB=π6，求a的值；

（2）若a≥0，求直线l的倾斜角的取值范围．

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝120∘，PA＝2，PB＝PC＝PD，E是PB的中点．

（1）证明：PD // 平面AEC；

（2）设F是线段DC上的动点，当点E到平面PAF距离最大时，求三棱锥P−AFE的体积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省内江市高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据直线的倾斜角与斜率的关系，结合倾斜角的取值范围即可求出答案．
【解答】
解：设直线y=3x+1的倾斜角为α，
则tanα=3，其中α∈[0∘, 180∘)；
∴ α=60∘．
故选：B．
2.
【答案】
A
【考点】
棱台的结构特征
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
根据旋转体定义进行判断．
【解答】
圆锥是将直角三角形绕一直角边旋转得到的几何体，故圆锥是旋转体．
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．
【解答】
解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为y=ABx−CB，
由AB>0，BC>0可得AB>0，−CB<0，
由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
几何体是半圆锥，根据三视图的数据判断底面半径与高，求母线长，把数据代入表面积公式计算．
【解答】
由三视图知：几何体是半圆锥，
其中底面半径为2，高为42．∴ 母线长为6．
∴ 几何体的表面积S=12π×22+12×4×42+12×π×2×6＝8π+82．
5.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．
【解答】
解：A，m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B，α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C，α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D，垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
【解答】
解：由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平形四边形的一组对边长为2．
在斜二测图形中O′B′=22，且∠B′O′A′=45∘.
那么在原图形中，∠BOA=90∘，且OB=42.
因此原平面图形的面积为：2×42=82.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用直线与直线平行的性质直接求解．
【解答】
∵ 直线ax+2y+2＝0与直线8x+ay+4＝0平行，
∴ a8=2a≠24，
解得a＝−4．
8.
【答案】
B
【考点】
直线与平面平行的性质
直线与平面平行的判定
【解析】
直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可．
【解答】
解：四棱锥P−ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，
且MN // 平面PAD，
MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN // PA．
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
直线系方程
【解析】
根据直线恒过定点的求法，直接求出定点．
【解答】
解：当x=3时，不论k为何值，y=1，即过(3, 1)，
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
根据平面ABFE // 平面DCGH和面面平行的限制定理得EF // GH，再由FG // EH得四边形EFGH为平行四边形
【解答】
解：∵ 平面ABFE // 平面DCGH，
且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，
∴ EF // GH．
同理，FG // EH，
∴ 四边形EFGH为平行四边形．
故答案为B
11.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
由正方体的平面展开图可得正方体ABCD−MFNG，运用线线垂直的判断和异面直线所成角的定义、线面角的定义，计算可得所求结论．
【解答】
由正方体的平面展开图可得正方体ABCD−MFNG，
可得AF // DN，DN⊥CG，即有AF⊥CG，故①正确；
MN // AC，可得AG与MN是异面直线，且∠CAG为异面直线AG与MN所成角，且夹角为60∘，故②正确；
DG⊥平面ABCD，BG与平面ABCD所成的角为∠DBG，可得sin∠DBG=13，则∠DBG≠45∘，故③错误．
12.
【答案】
A
【考点】
棱锥的结构特征
直线与平面平行
命题的真假判断与应用
【解析】
①由AB // CD，利用线面平行的判定定理即可判断出正误．
②利用面面垂直的性质定理即可判断出正误．
③由图可知：PA与BC是异面直线．若棱BC上存在一点F，使MF // PC，得出矛盾，即可判断出正误．
【解答】
①∵ AB // CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD；∴ AB // 平面PCD，因此正确．
②∵ AD⊥DC，平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，∴ AD⊥平面PCD，因此正确；
③由图可知：PA与BC是异面直线．M是棱PA的中点，若棱BC上存在一点F，使MF // PC，得出矛盾，因此棱BC上不存在一点F，使MF // PC．
正确命题的序号为①②．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.
【答案】
4
【考点】
平面的基本性质及推论
【解析】
平面的定义，平行平面和空间的关系求出结果．
【解答】
三个不相交的平面，即三个平行平面把空间分成4部分．
【答案】
6
【考点】
直线的斜率
【解析】
由两点求直线的斜率得到kAB，kAC的值，再由两斜率相等求得k．
【解答】
∵ A(2, −3)，B(4, 3)，C(5, k)在同一条直线上，
∴ kAB＝kAC，
kAB=3−(−3)4−2=3,kAC=k−(−3)5−2=k+33，
∴ 3=k+33，即k＝6．
【答案】
(−∞, −6]∪[1, +∞)
【考点】
直线的斜率
【解析】
直线y＝kx−1恒经过定点P(0, −1)，由直线的斜率公式，求出PA和PB的斜率，数形结合能求出直线l的斜率的取值范围．
【解答】
由题意，直线y＝kx−1恒经过定点P(0, −1)，
由直线的斜率公式，
可得kPA=2−(−1)3−0=1,kPB=5−(−1)−1−0=−6，
要使直线l:y＝kx−1与线段AB有公共点，k≥1或k≤−6．
∴ 直线l的斜率的取值范围为(−∞, −6]∪[1, +∞)．
【答案】
9
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
由直线xa+yb=1(a>0, b>0)经过点(1, 4)，可得1a+4b=1，
则a+b＝(a+b)(1a+4b)＝5+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当ba=4ab且1a+4b=1，即a＝3，b＝6时取等号，此时a+b取得最小值9．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.17题10分，18题-22题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
根据题意，设直线AB的斜率为k，倾斜角为θ，
又由两点A(−1, 2)，B(1, 0)，则k=0−21−(−1)=−1，
则tanθ＝−1，即θ＝135∘，
根据题意，直线AB的斜率k＝−1，则其方程y＝−(x−1)，
变形可得：y＝−x+1，直线AB在y轴上的截距b＝1；
即b＝1；
【考点】
直线的倾斜角
直线的斜率
【解析】
（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得k的值，进而分析可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案．
【解答】
根据题意，设直线AB的斜率为k，倾斜角为θ，
又由两点A(−1, 2)，B(1, 0)，则k=0−21−(−1)=−1，
则tanθ＝−1，即θ＝135∘，
根据题意，直线AB的斜率k＝−1，则其方程y＝−(x−1)，
变形可得：y＝−x+1，直线AB在y轴上的截距b＝1；
即b＝1；
【答案】
∵ kAB=−13，所以AB边上的高所在直线的斜率为3，
由点斜式得y−2＝3(x−1)，即3x−y−1＝0
易得A(−1, 1)，E(0, 32)，
根据中位线定理可得kEF=−13，
由点斜式可得直线EF的方程为y−32=−13(x−0)，
即直线EF的方程为：2x+6y−9＝0
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
（1）先根据垂直关系得斜率，再根据点斜式得直线方程；
（2）先求出A，E的坐标，再根据平行关系得斜率，最后根据点斜式得直线方程．
【解答】
∵ kAB=−13，所以AB边上的高所在直线的斜率为3，
由点斜式得y−2＝3(x−1)，即3x−y−1＝0
易得A(−1, 1)，E(0, 32)，
根据中位线定理可得kEF=−13，
由点斜式可得直线EF的方程为y−32=−13(x−0)，
即直线EF的方程为：2x+6y−9＝0
【答案】
证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120∘，得PB=3，
因为PC＝2，BC＝1，PB=3，
所以PB2+BC2＝PC2，即BC⊥PB，
因为∠ABC＝90∘，所以BC⊥AB，
又PB∩AB＝B，PB、AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC．
在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示．
由（1）知，BC⊥平面PAB，
因为BC⊂平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB，PE⊂平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
所以∠PBA即为PB与平面ABCD所成的角，
因为PA＝AB，∠PAB＝120∘，
所以∠PBA＝30∘，
故PB与平面ABCD所成角的大小为30∘．
【考点】
平面与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
（1）易得PB=3，由勾股定理的逆定理证得BC⊥PB，而BC⊥AB，从而有BC⊥平面PAB，进而得证；
（2）在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，先证平面PAB⊥平面ABCD，从而有PE⊥平面ABCD，故∠PBA即为所求，再由△PAB为等腰三角形即可得解．
【解答】
证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120∘，得PB=3，
因为PC＝2，BC＝1，PB=3，
所以PB2+BC2＝PC2，即BC⊥PB，
因为∠ABC＝90∘，所以BC⊥AB，
又PB∩AB＝B，PB、AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC．
在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示．
由（1）知，BC⊥平面PAB，
因为BC⊂平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB，PE⊂平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
所以∠PBA即为PB与平面ABCD所成的角，
因为PA＝AB，∠PAB＝120∘，
所以∠PBA＝30∘，
故PB与平面ABCD所成角的大小为30∘．
【答案】
∵ 在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，AB // A1B1，
A1B1⊂平面A1B1C，AB⊄平面A1B1C，
∴ AB // 平面A1B1C．
在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，
∵ BC＝AC，M是线段AB中点，∴ CM⊥AB，
∵ AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则CM⊥AA1，
∵ AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，
且AB∩AA1，∴ CM⊥平面ABB1A1，
∵ CM⊂平面MCC1，∴ 平面MCC1⊥平面ABB1A1．
∵ AB // 平面A1B1C，∴ 点M，点A到平面A1B1C的距离相等，
∴ 三棱锥M−A1B1C的体积：
VM−B1A1C=VB1−ACA1=13×2×2×12×2=43．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
直线与平面平行
【解析】
（1）推导出AB // A1B1，由此能证明AB // 平面A1B1C．
（2）推导出CM⊥AB，CM⊥AA1，从而CM⊥平面ABB1A1，由此能证明平面MCC1⊥平面ABB1A1．
（3）三棱锥M−A1B1C的体积VM−B1A1C=VB1−ACA1，由此能求出结果．
【解答】
∵ 在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，AB // A1B1，
A1B1⊂平面A1B1C，AB⊄平面A1B1C，
∴ AB // 平面A1B1C．
在棱长为2的正方体ACBD−A1C1B1D1中，
∵ BC＝AC，M是线段AB中点，∴ CM⊥AB，
∵ AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则CM⊥AA1，
∵ AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，
且AB∩AA1，∴ CM⊥平面ABB1A1，
∵ CM⊂平面MCC1，∴ 平面MCC1⊥平面ABB1A1．
∵ AB // 平面A1B1C，∴ 点M，点A到平面A1B1C的距离相等，
∴ 三棱锥M−A1B1C的体积：
VM−B1A1C=VB1−ACA1=13×2×2×12×2=43．
【答案】
根据题意，直线y=2aa2+1x+1a2+1，其斜率k=2aa2+1，在y轴上的截距为1a2+1，
若a<0，则k<0，直线经过二三四象限，
若∠OAB=π6，则直线的倾斜角为π−π6=5π6，则有tan5π6=2aa2+1=−33，
变形可得a2+23a+1＝0，
解可得：a=−3+2或−3−2，
故a=−3+2或−3−2，
根据题意，直线的斜率k=2aa2+1，设直线的倾斜角为θ，
当a＝0时，k＝0，直线的倾斜角为0，
当a>0时，k=2aa2+1=2a+1a，
又由a+1a≥2a×1a=2，当且仅当a＝1时等号成立，必有k≤22=1，
则有tanθ<1，又由0<θ<π，
则0<θ≤π4，
综合可得：0≤θ≤π4，
故θ的取值范围为[0, π4]．
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
（1）根据题意，由∠OAB的值分析直线的倾斜角，即可得直线的斜率，分析可得tan5π6=2aa2+1=−33，解可得a的值，即可得答案，
（2）根据题意，直线的斜率k=2aa2+1，分a＝0与a>0两种情况讨论k的范围，分析可得倾斜角θ的范围，综合可得答案．
【解答】
根据题意，直线y=2aa2+1x+1a2+1，其斜率k=2aa2+1，在y轴上的截距为1a2+1，
若a<0，则k<0，直线经过二三四象限，
若∠OAB=π6，则直线的倾斜角为π−π6=5π6，则有tan5π6=2aa2+1=−33，
变形可得a2+23a+1＝0，
解可得：a=−3+2或−3−2，
故a=−3+2或−3−2，
根据题意，直线的斜率k=2aa2+1，设直线的倾斜角为θ，
当a＝0时，k＝0，直线的倾斜角为0，
当a>0时，k=2aa2+1=2a+1a，
又由a+1a≥2a×1a=2，当且仅当a＝1时等号成立，必有k≤22=1，
则有tanθ<1，又由0<θ<π，
则0<θ≤π4，
综合可得：0≤θ≤π4，
故θ的取值范围为[0, π4]．
【答案】
证明：连接DB与AC交于O，连接OE，
∵ ABCD是菱形，∴ O为DB的中点，
又∵ E为PB的中点，∴ PD // OE，
∵ PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴ PD // 平面AEC；
取BC中点M，连接AM，PM，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120∘，且PC＝PB，
∴ BC⊥AM，BC⊥PM，
又AM∩PM＝M，∴ BC⊥平面APM，
又AP⊂平面APM，∴ C⊥PA．
同理可证：DC⊥PA，又BC∩DC＝C，
∴ PA⊥平面ABCD，则平面PAF⊥平面ABCD，
又平面PAF∩平面ABCD＝AF，
∴ 点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，
过B作直线AF的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB＝2，
∵ E为PB的中点，故点E到平面PAF的最大距离为1，
此时，F为DC的中点，即AF=3，
∴ S△PAF=12PA⋅AF=12×2×3=3，
∴ Vp−AFE=VE−PAF=13×3×1=33．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
直线与平面平行
【解析】
（1）连接DB与AC交于O，连接OE，由三角形中位线定理证明PD // OE，再由线面平行的判定可得PD // 平面AEC；
（2）取BC中点M，连接AM，PM，证明PA⊥平面ABCD，则平面PAF⊥平面ABCD，又平面PAF∩平面ABCD＝AF，可得点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，过B作直线AF的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB＝2，由此可得点E到平面PAF的最大距离为1，求得AF，则三棱锥P−AFE的体积可求．
【解答】
证明：连接DB与AC交于O，连接OE，
∵ ABCD是菱形，∴ O为DB的中点，
又∵ E为PB的中点，∴ PD // OE，
∵ PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴ PD // 平面AEC；
取BC中点M，连接AM，PM，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120∘，且PC＝PB，
∴ BC⊥AM，BC⊥PM，
又AM∩PM＝M，∴ BC⊥平面APM，
又AP⊂平面APM，∴ C⊥PA．
同理可证：DC⊥PA，又BC∩DC＝C，
∴ PA⊥平面ABCD，则平面PAF⊥平面ABCD，
又平面PAF∩平面ABCD＝AF，
∴ 点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，
过B作直线AF的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB＝2，
∵ E为PB的中点，故点E到平面PAF的最大距离为1，
此时，F为DC的中点，即AF=3，
∴ S△PAF=12PA⋅AF=12×2×3=3，
∴ Vp−AFE=VE−PAF=13×3×1=33．