2020-2021学年广西省贵港市高二（上）1月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广西省贵港市高二（上）1月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “x>12“是”2x2+x−1>“的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2. 已知变量x，y满足回归方程y=bx+a，其散点图如图所示，则( )

A.a0B.a>0，b>0C.a0的左、右焦点为F1,F2，离心率为22，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为83，则C的方程为（ ）
A.x26+y23=1B.x248+y224=1C.x212+y26=1D.x218+y29=1

5. 椭圆C:x2a2+y23=1a>0的焦点在x轴上，其离心率为12，则( )
A.椭圆C的短轴长为3B.椭圆C的长轴长为4
C.椭圆C的焦距为4D.a=4

6. 已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，且它的一个焦点是0,−10，则双曲线的标准方程为( )
A.x28−y22=1B.x22−y28=1C.y22−x28=1D.y28−x22=1

7. 已知抛物线y=4x2，则抛物线的焦点坐标为( )
A.(1, 0)B.(0, 1)C.(0,116)D.(116，0)

8. 下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①“x=1”是“ x2−3x+2=0 ”的充分不必要条件；
②命题"∀∈R，sinx≤1"的否定是"∃x0∈R， sinx0>1"；
③命题p:∀x∈[1,+∞)，lgx≥0，命题q：∃x0∈R，x02+x0+10,b>0的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为8，则a=________.

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为________.
三、解答题

在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50) ，[50,60)，[60,70)，…，90,100，得到如下频率分布直方图．

(1)求出直方图中m的值；

(2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．

在平面xOy中，已知椭圆过点P(2, 1)，C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)且离心率e=32．
(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l方程为y=12x+m，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2020年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y（人）的近5天的具体数据，如表：
已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系．
(1)求线性回归方程y=bx+a；

(2)预测哪天该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人？
参考公式：回归直线方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯ ，x¯，y¯为样本平均值．

过双曲线x24−y22=1的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.
(1)求双曲线的离心率和渐近线；

(2)求|AB|的长．

已知抛物线C： y2=2pxp>0的准线方程为x=−12，F为抛物线的焦点．
1求抛物线C的方程；

2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72，2，求|PA|+|PF|的最小值；

3若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M,N 两点，求线段MN的中点坐标．

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为32，点A在椭圆E上，∠F1AF2=60∘，△F1AF2的面积为43．
(1)求椭圆E的方程；

(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆E分别交于P，Q两点，证明：点O到直线PQ的距离为定值，并求出这个定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省贵港市高二（上）1月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由2x2+x−1>0，解得x12.
所以x>12是2x2+x−1>0的充分不必要条件.
【解答】
解：由2x2+x−1>0，解得x12.
所以x>12是2x2+x−1>0的充分不必要条件.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由散点图知变量x，y负相关，回归直线方程的斜率小于0；回归直线在y轴上的截距大于0．
【解答】
解：由散点图可知，变量x，y之间具有负相关关系，
可得回归直线l的方程y=bx+a的斜率b0.
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
曲线与方程
【解析】
将选项代入方程x2−xy+2y+1=0，如果等式成立，那个点就是曲线上的，等式不成立就不在，故可判断．
【解答】
解：将选项代入方程x2−xy+2y+1=0，可得A，C，D满足条件，B不满足条件，
即(1, −2)，(0, −12)，(3, 10)在曲线上，(2, −3)不在曲线上.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
椭圆的标准方程
【解析】
利用椭圆的几何性质以及定义得出关系式求解即可.
【解答】
解：由题意结合椭圆定义可得，
△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|
=2a+2a=4a，
∴ ca=22，4a=83，
解得：a=23，c=6，
∴ b2=a2−c2=6，
∴ 椭圆方程为x212+y26=1.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
解：由椭圆的性质可知，椭圆C的短轴长为23，椭圆的离心率e=1−3a2=12，则a2=4，即a=2,c2=a2−3=1，所以椭圆C的长轴长2a=4．椭圆C的焦距2c=2，故选B．
【解答】
解：∵ 椭圆C:x2a2+y23=1a>0
∴ 由椭圆的性质可知，椭圆C的短轴长为23，故选项A错误；
∵ 椭圆的离心率e=1−3a2=12，
∴ a2=4，即a=2，
∴ 椭圆C的长轴长2a=4，故选项B正确，D错误；
∴ c2=a2−3=1，
∴ 椭圆C的焦距2c=2，故选项C错误.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
由渐近线及焦点坐标，直接得到a，b，c，从而得出答案.
【解答】
解：由题意可得双曲线焦点在y轴上，
设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1a>0,b>0，
则渐近线方程为y=±abx，
由题意知c=10，ab=2，
又10=a2+b2，
解得a=22，b=2，
则双曲线方程为y28−x22=1.
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
【解析】
先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标．
【解答】
解：由题意，x2=y4，
故其焦点在y轴正半轴上，p=18．
∴ 焦点坐标为(0, 116)．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
逻辑联结词“或”“且”“非”
全称命题的否定
直线与平面垂直的性质
【解析】
将各个选项进行逐一分析求解即可.
【解答】
解：对于①：当x=1时有12−3×1+2=0，即x2−3x+2=0成立；
当x2−3x+2=0成立时有x=1或x=2，不一定有x=1成立，
∴ “ x=1”是"x2−3x+2=0"的充分不必要条件，故①正确；
对于②：命题"∀x∈R，sinx≤1"的否定是"∃x0∈R， sinx0>1"，故②正确．
对于③：命题p:∀x∈[1,+∞)，lgx≥0是真命题，
因为x2+x+1=x+122+34>0恒成立，
所以命题q：∃x0∈R，x02+x0+10)过点P(2, 1)，且离心率e=32，
可得：4a2+1a2−c2=1,ca=32, 解得a=22，c=6，则b=2，
椭圆方程为：x28+y22=1．
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立方程组y=12x+m,x28+y22=1, 整理得：x2+2mx+2m2−4=0，
∴ x1+x2=−2m，x1x2=2m2−4，
利用弦长公式得：|AB|=(1+14)[4m2−4(2m2−4)]=5(4−m2)，
由点线距离公式得到P到l的距离d=2|m|5．
△PAB面积S=12|AB|⋅d
=12⋅5(4−m2)⋅2|m|5
=m2(4−m2)≤m2+(4−m2)2=2．
当且仅当m2=2，即m=±2时取到最大值，最大值为2．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可．
【解答】
解：(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2, 1)，且离心率e=32，
可得：4a2+1a2−c2=1,ca=32, 解得a=22，c=6，则b=2，
椭圆方程为：x28+y22=1．
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立方程组y=12x+m,x28+y22=1, 整理得：x2+2mx+2m2−4=0，
∴ x1+x2=−2m，x1x2=2m2−4，
利用弦长公式得：|AB|=(1+14)[4m2−4(2m2−4)]=5(4−m2)，
由点线距离公式得到P到l的距离d=2|m|5．
△PAB面积S=12|AB|⋅d
=12⋅5(4−m2)⋅2|m|5
=m2(4−m2)≤m2+(4−m2)2=2．
当且仅当m2=2，即m=±2时取到最大值，最大值为2．
【答案】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【答案】
解：(1)因为双曲线方程为x24−y22=1，
所以a=2，b=2，
则c=a2+b2=6，
所以e=ca=62，双曲线的渐近线方程为y=±22x．
(2)由题知，双曲线的右焦点为F6,0，
则直线l的方程为y=2x−6，
代入双曲线x24−y22=1中，化简可得7x2−166x+52=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
所以x1+x2=1667，x1x2=527，
所以|AB|=1+4|x2−x1|
=5x1+x22−4x1x2=207．
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
直线的点斜式方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】

无
【解答】
解：(1)因为双曲线方程为x24−y22=1，
所以a=2，b=2，
则c=a2+b2=6，
所以e=ca=62，双曲线的渐近线方程为y=±22x．
(2)由题知，双曲线的右焦点为F6,0，
则直线l的方程为y=2x−6，
代入双曲线x24−y22=1中，化简可得7x2−166x+52=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
所以x1+x2=1667，x1x2=527，
所以|AB|=1+4|x2−x1|
=5x1+x22−4x1x2=207．
【答案】
解：1抛物线C:y2=2pxp>0的准线方程为x=−12,
F为抛物线的焦点，可得F12,0，
即p2=12，p=1，
抛物线的方程为y2=2x；
2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72,2，
如图，过P作PB⊥直线l，垂足为B，
当且仅当A，P，B三点共线时，
|AB|=|PA|+|PB|=|PF|+|PA|=72+12=4，
∴ |PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥4,
当且仅当A，P，B三点共线，|PA|+|PF|取得最小值4.
3由题意可得直线 MN的方程为y=x−12，
代入抛物线方程y2=2x，可得x2−3x+14=0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，可得x1+x2=3，
即有MN的中点的横坐标为32，纵坐标为32−12=1,
即有MN的中点坐标为32,1.
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】

2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72,2
如图，过A作AB⊥佳线l，垂足为B，
由抛物线的定义可得|PB|=|PF|
则IPA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AB|=72+12=4,
当且仅当A，P，B三点共线，|PA|+|PH|取得最小值4.
3由题意可得直线 MN的方程为y=x−12
代入抛物线方程y2=2x，可得x2−3x+14−0
设Mx1,y1,Nx2,y2，可得x1+x2=3
即有MN的中点的横坐标为32，纵坐标为32−12=1,
即有MN的中点坐标为32,1.
【解答】
解：1抛物线C:y2=2pxp>0的准线方程为x=−12,
F为抛物线的焦点，可得F12,0，
即p2=12，p=1，
抛物线的方程为y2=2x；
2若P是抛物线C上一点，点A的坐标为72,2，
如图，过P作PB⊥直线l，垂足为B，
当且仅当A，P，B三点共线时，
|AB|=|PA|+|PB|=|PF|+|PA|=72+12=4，
∴ |PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥4,
当且仅当A，P，B三点共线，|PA|+|PF|取得最小值4.
3由题意可得直线 MN的方程为y=x−12，
代入抛物线方程y2=2x，可得x2−3x+14=0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，可得x1+x2=3，
即有MN的中点的横坐标为32，纵坐标为32−12=1,
即有MN的中点坐标为32,1.
【答案】
解：(1)由题意得S△PF2F1=12|PF1|⋅|PF2|sin60∘=43，
所以|PF1|⋅|PF2|=16 ．
再由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs60∘
=(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1|⋅|PF2|，
即4c2=4a2−3×16，所以c2=a2−12．
又离心率e=32=ca，b2=a2−c2，
所以a2=48，b2=12，
所以椭圆E的方程为x248+y212=1．
(2)由题意，当直线PQ的斜率不存在时，此时可设Px0,x0，Qx0,−x0，
又P，Q两点在椭圆E上，x0248+x0212=1，x02=485，
所以原点到直线PQ的距离d=485=4155，
当直线PQ的斜率存在时，
设直线PQ的方程为y=kx+m，Px1,y1，Qx2,y2，
联立方程组y=kx+m,x248+y212=1，
消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−48=0，
Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−48)>0，
即m20，
即m2