2020-2021学年福建省莆田市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省莆田市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知等比数列{an}中， a4=4，则lg2a3+lg2a5=( )
A.2B.3C.4D.5

2. 双曲线2x2−y2=8的实轴长是( )
A.22B.2C.42D.4

3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若acsA−bcsB=0，则△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

4. 数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则an=( )
A.n2−n+1B.n2+1C.(n−1)2+1D.2n

5. 设变量x，y满足约束条件x+y≤3，x−y≥−1，y≥1，则目标函数z=4x+2y的最大值为( )
A.12B.10C.8D.2

6. 给出如下四个命题：
①“x2−5xsinB"的必要不充分条件．
其中正确的命题是( )
A.①B.②C.③D.④

7. 当双曲线M：x2m−y2m2+4=1的离心率取得最小值时，M的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±12x

8. 设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d．已知a3=12，S12>0，a70B.−4b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0, b2>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )
A.52B.4C.92D.9
二、填空题

若命题“∃x∈R，x2−4x−m=0”是真命题，则m的取值范围为________.

△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则csB=________.

椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为________.

将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m>0）．已知a11=2，a13=a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有________.
①m=3②a67=17×37③aij=(3i−1)×3j−1④S=14n(3n+1)(3n−1)
三、解答题

已知p:x2−8x−20≤0，其解集为A．q:x2−2x+1−m2≤0．其解集为B．
(1)求集合B；

(2)当m>0，若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

若原点O和点F−2,0分别为双曲线x2a2−y2=1a>0的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点．
(1)求双曲线的方程；

(2)求OP→⋅FP→的取值范围．

已知数列an的首项a1=1，an+1=4anan+2n∈N∗.
(1)证明：数列{1an−12}是等比数列；

(2)设bn=1an，求数列bn的前n项和Sn.

在△ABC中，点D是BC的中点，且AB=2.

(1)若AC=4，BC=3，求AD；

(2)若∠ADB=π3，求△ABC面积的最大值．

若各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+1(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若正项等比数列{bn}满足b2=2，2b7+b8=b9，求Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn；

(3)对于(2)中的Tn，若对任意的n∈N∗，不等式λ⋅(−1)nb>0的左焦点F在直线3x−y+32=0上，且a+b=2+2．
(1)求椭圆的方程；

(2)直线l与椭圆交于A，C两点，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△PAC的重心，探求△PAC面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省莆田市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
等比数列的性质
【解析】
由等比数列性质得到a3a5=a42=16，再利用对数的运算求解即可.
【解答】
解：等比数列{an}中， a4=4，
∴ a3a5=a42=16，
∴ lg2a3+lg2a5=lg2(a3a5)=lg216=4.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
化简双曲线方程为标准方程，求出a即可．
【解答】
解：双曲线2x2−y2=8化为标准方程为x24−y28=1，
∴ a2=4，
∴ a=2，
∴ 2a=4，
即双曲线2x2−y2=8的实轴长是4.
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
二倍角的正弦公式
【解析】
利用正弦定理由a⋅csA＝bcsB可得sinAcsA＝sinBcsB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：在△ABC中，
∵ acsA=bcsB，
∴ 由正弦定理得，sinAcsA=sinBcsB，
即sin2A=sin2B，
∴ 2A=2B或2A=π−2B，
∴ A=B或A+B=π2，
∴ △ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，移项可得，an+1−an=2n，进行叠加，从而求出an；
【解答】
解：数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，
∴ an+1−an=2n，
a2−a1=2，
a3−a2=4，
⋯
an+1−an=2n，
进行叠加可得，
an+1−a1=2+4+6+⋯+2n=n(2+2n)2=n(n+1)，
∴ an+1=1+n(n+1)，
∴ an=n(n−1)+1=n2−n+1.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【解答】
解：如图所示，作出不等式组对应的平面区域（阴影部分）．
由z=4x+2y，
得y=−2x+12z.
由图象可知当直线y=−2x+12z经过点C时，
直线y=−2x+12z的截距最大，
即此时z最大．
由x+y=3，y=1，
解得：x=2，y=1，
即C(2, 1).
将点C(2, 1)代入目标函数z=4x+2y，
得z=4×2+2×1=10．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
四种命题的真假关系
【解析】
利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论．
【解答】
解：①由x2−5x