2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）11月周测考试数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）11月周测考试数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是偶数
C.真命题的个数一定是奇数
D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

2. 若方程：x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是( )
A.1个B.2个C.4个D.无数个

3. 下列命题中，说法正确的是( )
A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B.“00”的必要不充分条件
C.命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1>0”
D.命题“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆否命题为真命题

4. 在平面直角坐标系中，已知点M到x轴的距离和点M到点F0,2的距离相等，则点M的轨迹方程为( )
A.y2=4x−4B.y2=2x−4C.x2=4y−4D.x2=2y−4

5. m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A.若m//α ，n//β， α//β，则m//n
B.若m⊂α ，n⊂β， α⊥β，则m⊥n
C.若m⊥n ，m⊥α， n//β，则α⊥β
D.若m⊥α ，n⊥β， m//n，则α//β

6. 已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x−y+2=0，直角顶点是C(3, −2)，则两条直角边AC，BC的方程是( )
A.3x−y+5=0，x+2y−7=0B.2x+y−4=0，x−2y−7=0
C.2x−y+4=0，2x+y−7=0D.3x−2y−2=0，2x−y+2=0

7. 过点M(2, 1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为( )
A.2x−y−3=0B.2x+y−5=0C.x+2y−4=0D.x−2y+3=0

8. 两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为( )
A.1B.3C.19D.49

9. 圆心为C(−12，3)的圆与直线l:x+2y−3=0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足OP→⋅OQ→=0，则圆C的方程为( )
A.(x−12)2+(y−3)2=52B.(x−12)2+(y+3)2=52
C.(x+12)2+(y−3)2=254D.(x+12)2+(y+3)2=254

10. 已知椭圆x225+y216=1上的点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为( )
A.2B.3C.5D.7
二、填空题

点P−1,1为圆x−12+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________.
三、解答题

设命题p：对m∈[−1,1]，不等式a2−5a−3>m+2恒成立；
命题q：关于实数x的方程x2+ax+1=0有两个不等的负根．
(1)若p是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点E，F在侧棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，C1F=2FC，点D，G在棱AB，AC上，且BD=2DA，CG=2GA.

(1)证明：点G在平面EFD内；

(2)若∠BAC=90∘，AB=AC=1，AA1=2，求直线DF与平面ABC所成角的正切值．

求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，c=2，且经过点P2,−2；

(2)椭圆短轴的一个端点到焦点的距离是6，离心率(e=ca)为33.
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）11月周测考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
四种命题的真假关系
【解析】
根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的．
【解答】
解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，
原命题与逆否命题具有相同的真假性，
否命题与逆命题具有相同的真假性，
∴ 没有真命题或真命题成对出现，
∴ 真命题的个数一定是一个偶数．
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
先把方程整理成椭圆的标准方程，分别看焦点在x轴和y轴两种情况，根据长轴长是短轴长的2倍求得a的值．
【解答】
解：整理方程得x2a2+y2a=1.
若a2>a，即a>1，
则长轴长为2a，短轴为2a，
则a=2a，求得a=4；
若a2则长轴长为2a，短轴长为2a，
则a=2a，求得a=14.
故a允许的值的个数为2个.
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
四种命题间的逆否关系
四种命题的定义
命题的否定
【解析】
根据否命题逆否命题判断A，D，根据充要条件判断B，根据命题的否定判断C．
【解答】
解：A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1，故A错误；
B，x(1−2x)>0，解得00”的充要条件，故B错误；
C，命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；
D，命题“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”，为真命题，故其逆否命题为真命题，故D正确.
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
轨迹方程
两点间的距离公式
【解析】

【解答】
解：设Mx,y，
则|y|=x2+y−22，
两边平方，可得x2=4y−4.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
根据选项中的条件依次判断各个选项的正误即可.
【解答】
解：若m//α，n//β，α//β，则m//n,或m,n异面，故A不正确；
若m⊂α ，n⊂β， α⊥β，则m⊥n或m,n相交，或m//n，故B不正确；
若m⊥n ，m⊥α， n//β，则α⊥β或α//β，故C不正确；
若m⊥α ，n⊥β， m//n，则α//β，故D正确.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
直线的点斜式方程
两角和与差的正切公式
【解析】
法一：由题意可得选项中的两直线应互相垂直，满足k1k2=−1，验证可得答案．
法二：利用两直线的位置关系和夹角公式求解．
【解答】
解：∵ 直线AB方程为3x−y+2=0，
∴ kAB=3.
设直线AB的倾斜角为α，与直线AB成45∘角的直线的倾斜角为β，斜率为k，
则tan45∘=tan(|α−β|)
=|tanα−tanβ||1+tanαtanβ|
=|k−3||1+3k|
解得：k=12，或k=−2，
∴ y+2=12(x−3)，即x−2y−7=0，或y+2=−2(x−3)，即2x+y−4=0．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
直线的截距式方程
中点坐标公式
【解析】
由题意知M点为PQ的中点，进而得出点P和Q的坐标，然后根据截距式求出方程即可．
【解答】
解：设P(a, 0)，Q(0, b)，
∵ M点为PQ的中点，M=(2, 1)，
则P(4, 0)，Q(0, 2)，
∴ x4+y2=1即x+2y−4=0.
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
两圆的公切线条数及方程的确定
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由 a2+4b2=3，得到 a2+4b29=1，
1a2+1b2=a2+4b29a2+a2+4b29b2=19+49+4b29a2+a29b2，使用基本不等式求得1a2+1b2的最小值．
【解答】
解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为 (x+a)2+y2=4，x2+(y−2b)2=1，
圆心分别为(−a, 0)，(0, 2b)，半径分别为2和1，
故有a2+4b2=3，
∴ a2+4b2=9，
∴ a2+4b29=1，
∴ 1a2+1b2=a2+4b29a2+a2+4b29b2
=19+49+4b29a2+a29b2≥59+2481=1，
当且仅当 4b29a2=a29b2 时，等号成立.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
圆的标准方程
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据所给的圆心设出圆的方程，对于本题是一个选择题目，可以有选择题目特殊的解法，观察四个选项可以看出只有一个圆的方程式正确的．
【解答】
解：设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x+12)2+(y−3)2=r2，
由题意，得(x+12)2+(y−3)2=r2，x+2y−3=0，
整理，得5y2−20y+854−r2=0，
∴ y1+y2=4，y1y2=174−r25，
∴ x1x2=2−45r2，
∵ OP→⋅OQ→=0，
∴ 2−45r2+174−r25=0，
解得r2=254，
即(x+12)2+(y−3)2=254.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可．
【解答】
解：由椭圆x225+y216=1，
得a=5，则2a=10.
∵ 点P到椭圆一焦点的距离为3，
∴ 由椭圆的定义，可得点P到另一焦点的距离为
2a−3=10−3=7．
故选D.
二、填空题
【答案】
2x−y+3=0
【考点】
直线与圆相交的性质
两条直线垂直的判定
直线的点斜式方程
【解析】

【解答】
解：由题意，点P(−1,1)为圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，
则由圆的性质可知，点P与圆心的连线与弦AB垂直，
∴ 点P与圆心的连线的斜率为k=0−11−(−1)=−12，
∴ kAB=2，
∴ 直线AB的方程为y−1=2(x+1)，
即2x−y+3=0.
故答案为：2x−y+3=0.
三、解答题
【答案】
解：(1)若p为真命题，则a2−5a−3>(m+2)max=3，
解得：a>6或a<−1．
(2)若q为真命题，设方程的两个根为x1，x2，
则Δ=a2−4>0,x1+x2=−a<0,解得：a>2，
当p真q假时，a<−1，
当p假q真时，2综上所述，实数a的取值范围为：−∞,−1∪2,6．
【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
【解析】

【解答】
解：(1)若p为真命题，则a2−5a−3>(m+2)max=3，
解得：a>6或a<−1．
(2)若q为真命题，设方程的两个根为x1，x2，
则Δ=a2−4>0,x1+x2=−a<0,解得：a>2，
当p真q假时，a<−1，
当p假q真时，2综上所述，实数a的取值范围为：−∞,−1∪2,6．
【答案】
(1)证明：连接DG，FG，
因为点E，F在侧棱BB1，CC1上，
且B1E=2EB，C1F=2FC，
又BB1//CC1，且BB1=CC1，
所以EB//FC，且EB=FC，
所以四边形BCFE为平行四边形，所以EF//BC.
又因为点D，G在侧棱AB，AC上，
且BD=2DA，CG=2GA，
所以GD//BC，且GD=13BC，
所以EF//GD，且GD=13EF，故四边形DEFG为梯形．
即D，E，F，G四点共面，所以点G在平面EFD内．
(2)解：由题设三棱柱ABC−A1B1C1 为直三棱柱知：
AB，AC，A1A两两垂直，所以C1C⊥平面 ABC，
F为C1C上一点，所以点F在平面ABC上的射影为点C，
连接CD，则∠FDC即为直线DF与平面ABC所成角，
tan∠FDC=CFCD ．因为点D在棱AB上且BD=2DA，
所以DA=13AB=13，因为点C在棱CC1上且C1F=2FC，
所以 FC=13CC1=13AA1=23，因为∠BAC=90∘，
所以DC=DA2+AC2=103 ，
tan∠FDC=CFCD=23103=105，
所以直线DF与平面ABC所成角的正切值是105．
【考点】
平面的基本性质及推论
直线与平面所成的角
【解析】

【解答】
(1)证明：连接DG，FG，
因为点E，F在侧棱BB1，CC1上，
且B1E=2EB，C1F=2FC，
又BB1//CC1，且BB1=CC1，
所以EB//FC，且EB=FC，
所以四边形BCFE为平行四边形，所以EF//BC.
又因为点D，G在侧棱AB，AC上，
且BD=2DA，CG=2GA，
所以GD//BC，且GD=13BC，
所以EF//GD，且GD=13EF，故四边形DEFG为梯形．
即D，E，F，G四点共面，所以点G在平面EFD内．
(2)解：由题设三棱柱ABC−A1B1C1 为直三棱柱知：
AB，AC，A1A两两垂直，所以C1C⊥平面 ABC，
F为C1C上一点，所以点F在平面ABC上的射影为点C，
连接CD，则∠FDC即为直线DF与平面ABC所成角，
tan∠FDC=CFCD ．因为点D在棱AB上且BD=2DA，
所以DA=13AB=13，因为点C在棱CC1上且C1F=2FC，
所以 FC=13CC1=13AA1=23，因为∠BAC=90∘，
所以DC=DA2+AC2=103 ，
tan∠FDC=CFCD=23103=105，
所以直线DF与平面ABC所成角的正切值是105．
【答案】
解：(1)设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意可得4a2+2b2=1，c=a2−b2=2，
解得a2=8，b2=4．
故所求椭圆的方程为x28+y24=1．
(2)∵ 椭圆短轴的一个端点到焦点的距离是6，
∴ a=6.
∵ 椭圆的离心率为33，
∴ ca=33，
∴ c=23.
则a2=36，
b2=a2−c2=24．
故所求椭圆的方程是x236+y224=1或y236+x224=1．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意可得4a2+2b2=1，c=a2−b2=2，
解得a2=8，b2=4．
故所求椭圆的方程为x28+y24=1．
(2)∵ 椭圆短轴的一个端点到焦点的距离是6，
∴ a=6.
∵ 椭圆的离心率为33，
∴ ca=33，
∴ c=23.
则a2=36，
b2=a2−c2=24．
故所求椭圆的方程是x236+y224=1或y236+x224=1．