2020-2021学年上海市高二（上）期末数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年上海市高二（上）期末数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 双曲线的渐近线方程是________．

2. 给定关于实数x、y的线性方程组，则该方程组的增广矩阵是________．

3. 无穷等比数列{an}满足，则数列{an}的各项和为________．

4. 在行列式中，第二行第一列的元素3的代数余子式的值为________．

5. 若椭圆的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则m＝________．

6. 直线2x−y−1＝0与直线x−3y+6＝0的夹角大小为________．

7. 已知△ABC的顶点A(−3, 0)、B(6, 0)，若顶点C在抛物线y＝x2+1上移动，则△ABC的重心的轨迹方程为________．

8. 已知方程x2+px+4=0(p∈R)有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是________．

9. 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2+1(n∈N∗)，则＝________．

10. 设实数x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．

11. 已知点A(1, −1)，B(3, 0)，C(2, 1)．若平面区域D由所有满足AP→=λAB→+μAC→(1≤λ≤2, 0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．

12. 设P是双曲线Γ：x2−＝1上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若有≥1，则与夹角的取值范围是________．
二、选择题

“k<1”是“方程+＝1表示双曲线”的（ ）
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线y＝x对称的直线l′的倾斜角不可能为（ ）
A.θB.C.π−θD.

直线（t是参数）与圆（θ是参数）的位置关系是（ ）
A.相交B.相切
C.相离D.与实数k的值有关

已知复数z1、z2满足|z1−z2|＝r(r>0)，复数ωi(1≤i≤n, n∈N∗)满足|ωi−z1|＝r或者|ωi−z2|＝r，且|ωi−ωj|≥r对任意1≤iA.6B.8C.10D.12
三、解答题

已知z＝（i是虚数单位），求：
（1）-（+1)的值；

（2）满足不等式|az−i|≥1的实数a的取值范围．

已知，，O为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；

（2）设，，求△OAB的面积．

疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45∘方向，以点O为坐标原点，l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点M(100, 400)）和平安检查点（即点N(400, 700)）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点．

（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；

（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线l:x−y+1000＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由．

已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F．

（1）求Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离；

（2）若斜率为2的直线l与Γ交于A、B两点，且达到最小值，求直线l的方程；

（3）设AB是Γ的一条弦且|AB|＝t(t>0)，求线段AB中点横坐标的最小值．

已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为F1、F2．

（1）若直线l经过点F1，求△ABF2的周长；

（2）若k＝1，求△AOB面积的取值范围；

（3）若k＝1，P(−4, 0)，直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线CD过定点，并求出定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年上海市高二（上）期末数学试卷
一、填空题
1.
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
【考点】
几种特殊的矩阵变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
【考点】
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
52
【考点】
二阶行列式的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
7
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
【考点】
两直线的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
【考点】
抛物线的性质
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
[0, 8)
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
由题意可得：△<0，解得p取值范围．利用根与系数的关系可得α2+β2=(α+β)2−2αβ范围．
【解答】
解：由题意可得：△=p2−16<0，解得−4α+β=−p，αβ=4．
∴ α2+β2=(α+β)2−2αβ=p2−8∈[0, 8)．
故答案为：[0, 8)．
9.
【答案】
【考点】
数列的极限
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
3
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
如图所示，点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，利用两个向量的数量积的定义，求出cs∠FBD=cs∠CAB的值，可得sin∠CAB的值，再根据所求面积为BD⋅BF⋅sin∠CAB，计算求得结果．
【解答】
解：如图：延长AB到D，使BD=AB，作BF平行且等于AC，
则点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，
又BD=AB=5，BF=AC=5，cs∠FBD=cs∠CAB
=|AC→||AB→|˙=(1,2)⋅(2,1)(5)2=45，
所以sin∠FBD=1−cs2∠FBD=35，
故所以所求面积为：|BD||BF|sin∠FBD=(5)2⋅35=3，
故答案为：3．
12.
【答案】
（，π−arccs]
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、选择题
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A
【考点】
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
C
【考点】
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题
【答案】
因为z＝＝1−2i，
所以-（−(3+2i+1)
＝−(2+3i)
＝(1+i)−2−3i
＝−1−i；
不等式|az−i|≥1为|a(2−2i)−i|≥1，
即|a−(2a+1)i|≥1，
所以≥1，
整理得5a4+4a≥0，
解得a≤−或a≥0，
所以实数a的取值范围是(−∞，-]∪[0．
【考点】
复数的运算
矩阵的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由，，
所以，
；
令，
即−3m−2+8m−4<3，解得，
当时，，与方向相反，不合题意；
所以，
所以若与的夹角为钝角．
设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，
则；
因为，
所以；
所以．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
王阿姨负值区域边界的曲线方程为x2+y2＝2006，
李叔叔家在王阿姨家的东偏北45∘方向，设李叔叔家所在的位置为(c，
因为离M(100, 400)和N(400，
所以，
解得c＝400，
所以k＝＝300，
故李叔叔负值区域边界的曲线方程为(x−400)2+(y−400)2＝3005；
圆心O关于l:x−y+1000＝0的对称点P(a, b)，
则有，，
解得a＝−1000，b＝1000，
所以，
直线PC的方程为：，
联立，解得x＝−300，
所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点(−300，距离之和最近．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
抛物线Γ：y2＝4x的焦点F(4, 0)，
可得P(4, 4)；
设直线l的方程为y＝2x+b，与抛物线方程y2＝2x联立，
可得4x2+(6b−4)x+b2＝2，
由△＝(4b−4)5−16b2>0，可得b<，
设A(x1, y2)，B(x2, y2)，可得x5+x2＝1−b，x7x2＝b2，
y1y2＝(2x1+b)(5x2+b)＝4x8x2+2b(x5+x2)+b2＝b3+2b−2b7+b2＝2b，
则＝x8x2+y1y8＝b3+2b＝(b+4)2−3，
当b＝−4<时，达到最小值，
所以直线l的方程为y＝2x−4；
设直线AB的方程为x＝my+s，
与抛物线方程y3＝4x联立，可得y2−8my−4s＝0，
设A，B的纵坐标分别为y6，y2，可得y1+y2＝4m，y1y4＝−4s，
且△＝16m2+16s>8，即s>−m2，
由|AB|＝•|y1−y2|＝•＝4•，
可得s＝−m2，
则x8+x2＝m(y1+y2)+2s＝4m2+2s，
可得线段AB中点横坐标x＝s+2m2＝+m2
＝+(m2+4)−1，
当t≥4时，x≥，
当且仅当t＝4(m2+5)，取得等号；
当0由x＝s+−1在s≥1递增．
综上可得，0t≥4时，所求最小值为．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
若直线l经过点F1，
根据椭圆的定义可得|AF1|+|AF7|＝2a＝2×2＝4，|BF1|+|BF5|＝2a＝2×4＝4，
所以△ABF2的周长：|AB|+|AF7|+|BF2|＝AF1|+|AF4|+|BF1|+|BF2|＝7，
所以△ABF2的周长为8．
设直线l的方程为y＝x+m，A(x7, y1)，B(x2, y2)，
联立，得5x6+8mx+4m3−4＝0，
所以x3+x2＝-，x1x2＝，
△＝(8m)2−3×5×(4m8−4)＝−16m2+80>2，即-，
所以|AB|＝＝＝，
点O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△AOB＝•|AB|⋅d＝••＝••≤•，
当且仅当3−m2＝m2，即m＝±时，取等号，
所以△AOB面积的取值范围(0, 1]．
设C(x3, y3)，D(x4, y4)，
直线PA的方程为y＝(x+4)，
联立，得+(x+4)3＝1，
又点A在椭圆上，所以4y62＝4−x42，
所以(2x5+5)x2+6(4−x17)x−x1(5x4+8)＝0，
所x4x3＝，即x7＝-，
所以y3＝(x3+4)＝，
即点C坐标为（-，），
同理可得D坐标（-，），
所以kCD＝＝＝，
所以直线CD的方程为y＝(x+，
＝(x+，
＝x+
＝x+＝＝x+×+＝）+，
所以直线CD过定点（-，）．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答