2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知直线l的方向向量α→，平面α的法向量μ→，若α→=(1, 1, 1)，μ→=(−1, 0, 1)，则直线l与平面α的位置关系是（）
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行

2. 方程x2+y2+4mx−2y+5m＝0表示圆的充要条件是（）
A.141C.m<14D.m>1

3. 设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+csα=0，则a，b满足( )
A.a+b=1B.a−b=1C.a+b=0D.a−b=0

4. 若直线l:ax+by＝1与圆C:x2+y2＝1无交点，则点P(b, a)与圆C的位置关系是（）
A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定

5. 设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）
A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥m
C.若l // β，则α // βD.若α // β，则l // m

6. 已知点A(2, −1)，B(3, m)，若m∈[]，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）
A.[，]B.[0，]∪[，π)
C.[，）∪（，]D.[，）∪[，π)

7. 已知圆M:x2+y2−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x−1)2+(y−1)2=1的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切D.相离

8. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0, 2)与点(4, 0)重合，点(7, 3)与点(m, n)重合，则m+n=( )
A.345B.365C.283D.323
二、多选题（每小给的选项中有多项符合要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分，每题5分共20分）

下列命题正确的是（）
A.若直线AB与直线CD是异面直线，则直线AC与直线BD一定异面
B.方程x2+y2+2ax−b2＝0表示圆的一般方程
C.若空间向量，，不共面，则，，-不共面
D.夹在两个平行平面间的两条平行线段相等

已知直线l：(a2+a+1)x−y+1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是（）
A.当a＝−1时，直线l与直线x+y＝0垂直
B.若直线l与直线x−y＝0平行，则a＝0
C.直线l过定点(0, 1)
D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等

下列说法正确的有（）
A.若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则(k, b)在第二象限
B.任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C.过点(2, −1)斜率为-的点斜式方程为y+1＝-(x−2)
D.直线的斜率越大，倾斜角越大

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则（）

A.直线B1C // 平面A1BD
B.B1C⊥BD1
C.三棱锥C1−B1CE的体积为13
D.异面直线B1C与BD所成的角为60∘
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

已知A(1, −2, 11)、B(4, 2, 3)、C(x, y, 15)三点共线，则xy＝________．

已知C的圆心在直线x−2y−3＝0上，且过点A(2, −3)，B(−2, −5)，则圆C的标准方程为________．

当方程x2+y2+kx+2y+k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k−1)x+2的倾斜角a＝________．

数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2, 0)，B(0, 4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点A(2, −3)，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍的直线方程．

（2）求经过点A(−2, 2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．

已知△ABC的顶点C(2, −8)，直线AB的方程为y＝−2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2＝0．
（1）求顶点A和B的坐标；

（2）求△ABC外接圆的一般方程．

已知圆C经过点A(2, −1)，和直线x+y−1＝0相切，且圆心在直线y＝−2x上．
（1）求圆C的方程；

（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．
（1）求圆C的方程；

（2）试探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4, 0)的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60∘，

（1）求直线BF与平面ABCD的夹角；

（2）求点A到平面FBD的距离．

如图所示的几何体P−ABCDE中，△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，AB⊥AE，AB // CE，AE // CD，CD＝CE＝2AB＝4，M为PD的中点．
(Ⅰ)求证：CE⊥PE；
(Ⅱ)求二面角M−CE−D的大小；
(Ⅲ)设N为线段PE上的动点，使得平面ABN // 平面MCE，求线段AN的长．

参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
D
【考点】
平面的法向量
【解析】
由α→⋅μ→=0，即可判断出直线l与平面α的位置关系．
【解答】
∵ α→⋅μ→=−1+1＝0，
∴ α→⊥μ→，
∴ 直线l在平面α内或直线l与平面α平行．
2.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
利用圆的一般方程表示圆的充要条件，D2+E2−4F>0 求解即可．
【解答】
由(4m)2+4−4×5m>0知m<14或m>1．
3.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
直线的倾斜角
【解析】
由sinα+csα=0，我们易得tanα=−1，即函数的斜率为−1，进而可以得到a，b的关系．
【解答】
解：∵ sinα+csα=0，
∴ tanα=−1，k=−1，−ab=−1，
a=b，a−b=0.
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
A根据线面垂直的判定定理得出A正确；
B根据面面垂直的性质判断B错误；
C根据面面平行的判断定理得出C错误；
D根据面面平行的性质判断D错误．
【解答】
对于A，∵ l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴ A正确；
对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴ B错误；
对于C，当l // β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴ C错误；
对于D，当α // β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴ D错误．
6.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
直线与圆的位置关系
【解析】
根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】
解：圆的标准方程为M:x2+(y−a)2=a2(a>0)，
则圆心为(0, a)，半径R=a，
圆心到直线x+y=0的距离d=a2，
∵ 圆M:x2+y2−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，
∴ 2R2−d2=2a2−a22=2a22=22，
即a22=2，即a2=4，a=2，
则圆心为M(0, 2)，半径R=2，
圆N：(x−1)2+(y−1)2=1的圆心为N(1, 1)，半径r=1，
则MN=12+12=2，
∵ R+r=3，R−r=1，
∴ R−r即两个圆相交．
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
由两点关于一条直线对称的性质，求得对称轴所在的直线方程为 2x−y−3=0，再根据垂直及中点在轴上这两个条件求得m，n的值，可得m+n的值
【解答】
解：由题意可得，对称轴所在的直线即为点(0, 2)与点(4, 0)构成的线段的中垂线．
由于点(0, 2)与点(4, 0)连成的线段的中点为(2, 1)，斜率为−12，
故对称轴所在的直线方程为y−1=2(x−2)，即 2x−y−3=0．
再根据点(7, 3)与点(m, n)重合，可得n−3m−7×2=−12⋅m+72−n+32−3=0，求得m=35n=315，∴ m+n=345，
故选：A．
二、多选题（每小给的选项中有多项符合要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分，每题5分共20分）
【答案】
A,D
【考点】
异面直线的判定
命题的真假判断与应用
圆的一般方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,C
【考点】
直线的斜率
直线的点斜式方程
命题的真假判断与应用
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,B,D
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面平行的判定
向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】
本题考查立体几何的线面平行，线线垂直，异面直线所成角，运用那些公理、定理进行推理，或者用空间向量的知识来求.
【解答】
解：A，连接A1，D，则A1D//B1C，而A1D⊂平面A1BD，∴B1C//平面A1BD，因此A正确；
B，以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，
则B0,0,0，D11,1,1，B10,0,1，C1,0,0，
∴B1C→=1,0−1，BD1→=1,1,1，则B1C→⋅BD1→=0，∴B1C⊥BD1，因此B正确；
C，以△C1CE为底面，B1C1为高，则V=13×12×1×1×1=16，因此C错误；
D，∵BD//B1D1，∴异面直线B1C与BD所成的角为∠CB1D1，连接CD1，则△B1CD1是等边三角形，∴∠CB1D1=60∘．因此D正确．
故选ABD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
2
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(x+1)2+(y+2)2＝10
【考点】
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
圆的一般方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
x−2y+3＝0
【考点】
待定系数法求直线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
因为直线的斜率为，
所以，所求直线的倾斜角为60∘，
又所求直线经过点A(2, −3)，
即，
设直线方程为，
则，解得或，
故所求的直线方程为：x+2y−2＝3或2x+y+2＝5．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
直线的点斜式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由可得顶点B(7，
又因为AC⊥BH得，，
所以设AC的方程为y＝3x+b，
将C(5, −8)代入得b＝−14，
由可得顶点为A(5，
所以A和B的坐标分别为(5, 5)和(7，
设△ABC的外接圆方程为x2+y7+Dx+Ey+F＝0，
将A(5, 8)，−3)和C(2
别代入得则有，
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2−4x+6y−12＝0．
【考点】
圆的一般方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题可设圆心(a, −2a)，则圆的方程为：
(x−a)2+(y+8a)2＝r2所以解得，
所以圆C的方程为(x−1)2+(y+7)2＝2；
当直线l斜率不存在时，满足条件x＝5，
当直线l斜率存在时，设直线方程为：kx−y＝0，
则1+（）6＝2解得k＝-，
此时直线方程：3x+4y＝6，
故所求直线方程为x＝0或3x+8y＝0．
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：（1）设圆心坐标为(m, n)(m<0, n>0)，
则该圆的方程为(x−m)2+(y−n)2=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则|m−n|2=22
即|m−n|=4①
又圆与直线切于原点，将点(0, 0)代入得m2+n2=8②
联立方程①和②组成方程组解得m=−2n=2
故圆的方程为(x+2)2+(y−2)2=8；
（2）设Q(x, y)，则Q到定点F(4, 0)的距离等于线段OF的长，方程为(x−4)2+y2=16．
联立两圆，解得x=45，y=125．
即存在异于原点的点Q(45, 125)，使得Q到定点F(4, 0)的距离等于线段OF的长．
【考点】
直线和圆的方程的应用
【解析】
（1）设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解．
（2）要探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4, 0)的距离等于线段OF的长，我们可以转化为探求圆(x−4)2+y2=16与（1）所求的圆的交点数．
【解答】
解：（1）设圆心坐标为(m, n)(m<0, n>0)，
则该圆的方程为(x−m)2+(y−n)2=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则|m−n|2=22
即|m−n|=4①
又圆与直线切于原点，将点(0, 0)代入得m2+n2=8②
联立方程①和②组成方程组解得m=−2n=2
故圆的方程为(x+2)2+(y−2)2=8；
（2）设Q(x, y)，则Q到定点F(4, 0)的距离等于线段OF的长，方程为(x−4)2+y2=16．
联立两圆，解得x=45，y=125．
即存在异于原点的点Q(45, 125)，使得Q到定点F(4, 0)的距离等于线段OF的长．
【答案】
由已知得：A(0, 1, 8)，，−1，，F(0，2，
易得平面ABCD的法向量为，，
，即，
所以直线BF与平面ABCD的夹角为．
因为，，
设平面FBD的法向量为，，
令z＝1得，
又因为，
所以点A到平面FBD的距离．
【考点】
直线与平面所成的角
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：依题意△ABP和△AEP均为以直角为顶点的等腰直角三角形，
则PA⊥AB，PA⊥AE，又AB⊥AE，
建立以A为原点，AB，AP为x，y，
则A(0, 0, 5)，0，0)，8，0)，6，6)，2，0)，7，2)，3，6)，
＝(−4, 0, 5)，，2，−2)，
∵ ＝5．
（2）＝(−2, −1)，，−7，
设＝(x，y，
则，令y＝1，得，8，−1)，
平面DEC的一个法向量＝(0，6，
∴ cs<>＝，
由图得二面角M−CE−D为锐二面角，
∴ 二面角M−CE−D的大小为45∘．
(Ⅲ)设＝λ，4]），y，z)，
则(x, y, z−2)＝λ(0, 6,∴ N(0, 2−2λ)，
令⊥，则＝0，∴ N为PE的中点，
∵ AB // 平面MCE，AN // 平面MCE，
∴ 当N为PE的中点时，平面ABN // 平面MCE，
此时，N(0，1，||＝＝．
∴ 线段AN的长为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答

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