2020-2021学年山东省枣庄市高二（上）开学检测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省枣庄市高二（上）开学检测数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z满足(1−i)z＝i，则复数z¯在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

3. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如图统计图，则采用“直播+录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）

A.22.5%B.27.5%C.32.5%D.37.5%

4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为a2+b2−c243，则C＝（ ）
A.π2B.π3C.π4D.π6

5. 设x，y∈R，向量a→=(x,1,1)，b→=(1, y, 1)，c→=(2, −4, 2)，且a→⊥c→，b→ // c→，则|a→+b→|=( )
A.22B.10C.3D.4

6. 某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目．已知该市高中2017级全体学生中，81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总数的比例为( )
A.9%B.19%C.59%D.69%

7. 已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ，则( )
A.若m // n，n⊂α，则m // α
B.若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α // β
C.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
D.若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // β

8. 已知OA→=(1, 2, 3)，OB→=(2, 1, 2)，OP→=(1, 1, 2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→⋅QB→取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A.(12,34,13)B.(12,32,34)C.(43,43,83)D.(43,43,73)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

下面关于复数的四个命题中，真命题是（ ）
A.若复数z∈R，则z¯∈R
B.若复数z满足z2∈R，则z∈R
C.若复数z满足1z∈R，则z∈R
D.若复数z1，z2的满足z1z2∈R，则z1=z2¯

给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则( )
A.平均数为3B.标准差为85
C.众数为2和3D.第85百分位数为4.5

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，则( )

A.直线BD1⊥平面A1C1D
B.异面直线B1C与A1C1所成角为45∘
C.三棱锥P−A1DC1的体积为定值
D.平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1

在四面体P−ABC中，以上说法正确的有（ ）
A.若AD→=13AC→+23AB→，则可知BC→=3BD→
B.若Q为△ABC的重心，则PQ→=13PA→+13PB→+13PC→
C.若PA→⋅BC→=0，PC→⋅AB→=0，则PB→⋅AC→=0
D.若四面体P−ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|MN→|＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠BAA1＝∠DAA1＝∠BAD＝60∘，且所有棱长均为2，则对角线AC1的长为________．

某工厂有A，B，C三个车间，A车间有600人，B车间有500人．若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B车间10人，则样本中C车间的人数为________．

如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是CB1上的一个动点，则BM+D1M的最小值是________．


在△ABC中，AB=AC，E，F是边BC的三等分点，若|AB→+AC→|=3|AB→−AC→|，则cs∠EAF=________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知|a→|=4，|b→|=8，a→与b→夹角是120∘．
(1)求a→⋅b→的值及|a→+b→|的值；

(2)当k为何值时，(a→+2b→)⊥(ka→−b→)？

已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0, |φ|B，故△ABC不满足②．
故△ABC满足①，③，④．
（2）因为a2＝b2+c2−2bccsA，
所以72=32+c2−2×3×c×12．
解得c＝8，或c＝−5（舍）．
所以△ABC的面积S=12bcsinA=63．
【考点】
解三角形
余弦定理
【解析】
(Ⅰ)判断三角形的满足的条件，推出结果即可；
(Ⅱ)利用余弦定理求出c，利用面积公式求解△ABC的面积．
【解答】
（本小题满分1
(1)△ABC同时满足①，③，④．理由如下：
若△ABC同时满足①，②．
因为csB=−2323π．
所以A+B>π，矛盾．
所以△ABC只能同时满足③，④．
因为a>b，所以A>B，故△ABC不满足②．
故△ABC满足①，③，④．
（2）因为a2＝b2+c2−2bccsA，
所以72=32+c2−2×3×c×12．
解得c＝8，或c＝−5（舍）．
所以△ABC的面积S=12bcsinA=63．
【答案】
（1）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为(0.003+0.005+0.012)×10＝0.2，
所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20；
（2）对B餐厅评分在[0, 10)范围内的有2人，设为M1、M2；
对B餐厅评分在[10, 20)范围内的有3人，设为N1、N2、N3；
从这5人中随机选出2人的选法为：
(M1, M2)，(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)，
(N1, N2)，(N1, N3)，(N2, N3)共10种．
其中，恰有1人评分在[0, 10)范围内的选法为：
(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)共6种；
故2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率为P=610=35；
(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：
由(Ⅰ)得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，
所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；
B餐厅评分低于30的人数为2+3+5＝10，
所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；
所以会选择B餐厅用餐．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
(Ⅰ)由A餐厅分数的频率分布直方图求得频率与频数；
(Ⅱ)用列举法求基本事件数，计算对应的概率值；
(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例分析，即可得出结论．
【解答】
（1）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为(0.003+0.005+0.012)×10＝0.2，
所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20；
（2）对B餐厅评分在[0, 10)范围内的有2人，设为M1、M2；
对B餐厅评分在[10, 20)范围内的有3人，设为N1、N2、N3；
从这5人中随机选出2人的选法为：
(M1, M2)，(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)，
(N1, N2)，(N1, N3)，(N2, N3)共10种．
其中，恰有1人评分在[0, 10)范围内的选法为：
(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)共6种；
故2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率为P=610=35；
(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：
由(Ⅰ)得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，
所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；
B餐厅评分低于30的人数为2+3+5＝10，
所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；
所以会选择B餐厅用餐．
【答案】
由题意可得 50+a+b=1000a=b+10 ，求得a=30b=20 ．
对骑车人处罚10元的概率约为 20100=15，对骑车人处罚20元的概率约为 30100=310，
故对骑车人处罚10元与20元的概率的差为 310−15=110．
对骑车人处罚10元的人数为30，对骑车人处罚20元的人数为20，
分层抽样的方法从中抽取5人，
则对骑车人处罚10元的人中抽取3人，对骑车人处罚20元的人中抽取2人，
这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率为 C31⋅C21C52=610=35．
【考点】
分层抽样方法
【解析】
（1）由题意先求出a、b的值，再求出分别对骑车人处罚10元、20元的的概率，可得结论．
（2）先求出抽取的对骑车人处罚分别为10元、20元的人数，再利用等可能事件的概率计算公式，求得结果．
【解答】
由题意可得 50+a+b=1000a=b+10 ，求得a=30b=20 ．
对骑车人处罚10元的概率约为 20100=15，对骑车人处罚20元的概率约为 30100=310，
故对骑车人处罚10元与20元的概率的差为 310−15=110．
对骑车人处罚10元的人数为30，对骑车人处罚20元的人数为20，
分层抽样的方法从中抽取5人，
则对骑车人处罚10元的人中抽取3人，对骑车人处罚20元的人中抽取2人，
这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率为 C31⋅C21C52=610=35．
【答案】
因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．
因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D−xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE＝60∘，
所以EDDB=3．
由AD＝3，可知DE=36，AF=6．
则A(3, 0, 0)，F(3,0,6)，E(0,0,36)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，
所以BF→=(0,−3,6)，EF→=(3,0,−26)．
设平面BEF的法向量为n→=(x, y, z)，则n→⋅BF→=0n→⋅EF→=0 ，即−3y+6z=03x−26z=0 ．
令z=6，则n→=(4,2,6)．
因为AC⊥平面BDE，所以CA→为平面BDE的法向量，CA→=(3,−3,0)．
所以cs⟨n→,CA→>=n→⋅CA→|n→||CA→|=632×26=1313．
因为二面角为锐角，所以二面角F−BE−D的余弦值为1313．
点M是线段BD上一个动点，设M(t, t, 0)．
则AM→=(t−3,t,0)．
因为AM // 平面BEF，
所以AM→⋅n=0，即4(t−3)+2t＝0，解得t＝2．
此时，点M坐标为(2, 2, 0)，
即当BM=13BD时，AM // 平面BEF．
【考点】
向量方法证明线、面的位置关系定理
空间中直线与平面之间的位置关系
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F−BE−D的余弦值；
（3）由已知中M是线段BD上一个动点，设M(t, t, 0)．根据AM // 平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．
【解答】
因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．
因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D−xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE＝60∘，
所以EDDB=3．
由AD＝3，可知DE=36，AF=6．
则A(3, 0, 0)，F(3,0,6)，E(0,0,36)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，
所以BF→=(0,−3,6)，EF→=(3,0,−26)．
设平面BEF的法向量为n→=(x, y, z)，则n→⋅BF→=0n→⋅EF→=0 ，即−3y+6z=03x−26z=0 ．
令z=6，则n→=(4,2,6)．
因为AC⊥平面BDE，所以CA→为平面BDE的法向量，CA→=(3,−3,0)．
所以cs⟨n→,CA→>=n→⋅CA→|n→||CA→|=632×26=1313．
因为二面角为锐角，所以二面角F−BE−D的余弦值为1313．
点M是线段BD上一个动点，设M(t, t, 0)．
则AM→=(t−3,t,0)．
因为AM // 平面BEF，
所以AM→⋅n=0，即4(t−3)+2t＝0，解得t＝2．
此时，点M坐标为(2, 2, 0)，
即当BM=13BD时，AM // 平面BEF．
B餐厅分数频数分布表
分数区间
频数
[0, 10)
2
[10, 20)
3
[20, 30)
5
[30, 40)
15
[40, 50)
40
[50, 60]
35
处罚金额x（单位：元）
0
10
20
处罚人数y
50
a
b