高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算教案及反思

实数指数幂及其运算

【教学过程】

一、新知初探

探究点1：

根式与分数指数幂的互化

例1：（1）若（x－2）－有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞） B．（－∞，2]

C．（2，＋∞） D．（－∞，2）

（2）化简－得（　　）

A．6 B．－2x

C．6或－2x D．6或2x或－2x

（3）用分数指数幂表示下列各式（a>0，b>0）．

①·；②；

③·；④（）2·．

解：（1）选C．由负分数指数幂的意义可知，（x－2）－＝，所以x－2>0，即x>2，所以x的取值范围是（2，＋∞）．

（2）选C．原式＝|x＋3|－（x－3）＝

（3）①原式．

②原式．

③原式．

④原式．

规律方法：

根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．

（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．

探究点2：

根式、分数指数幂的化简与求值

例2：计算下列各式：

（1）0.064－－＋[（－2）3]－＋16－0．75；

（2）×（a>0，b>0）；

（3）·．

解：（1）原式＝0.4－1－1＋（－2）－4＋2－3＝－1＋＋＝．

（2）原式．

（3）原式．

规律方法：

（1）化简结果的一个要求和两个不能

（2）幂的运算的常规方法

①化负指数幂为正指数幂．

②化根式为分数指数幂．

③化小数为分数进行运算．

探究点3：

指数式的条件求值问题

例3：已知，求下列各式的值：

（1）a＋a－1；

（2）a2＋a－2．

解：（1）将两边平方，得a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14．

（2）将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194．

规律方法：

（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．

（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．

二、课堂总结

1．有理指数幂

（1）一般地，an中的a称为底数，n称为指数．

（2）一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．

①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0．

②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．

③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．

（3）当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．

一般地，根式具有以下性质：

①（）n＝a．

②＝

（4）一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．

对于一般的正分数，也可作类似规定，即a＝（）m＝．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数（即m，n有大于1的公因数）时可能会有歧义．

负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝．

（5）有理指数幂的运算法则：asat＝as＋t，（as）t＝ast，（ab）s＝asbs．

■名师点拨

（1）（）n中当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0，但中a∈R．

（2）分数指数幂a不可以理解为个a相乘．

2．实数指数幂

一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义．

三、课堂检测

1．化简等于（　　）

A．e－e－1 B．e－1－e

C．e＋e－1 D．0

解析：选A．

＝＝＝＝|e－1－e|＝e－e－1．

2．下列各式中成立的一项是（　　）

A．＝n7m B．＝

C．＝（x＋y） D．＝

解析：选D．A中应为＝n7m－7；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中当x＝y＝1时不成立；D正确．

3．（a>0）的值是（　　）

A．1 B．a

C．a D．a

解析：选D．原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a．

4．计算：－（－9.6）0－＋（1.5）－2＝________．

解析：原式＝－1－＋

＝－1－＋＝．

答案：