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吉林省长春市南关区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版含答案）
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这是一份吉林省长春市南关区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年吉林省长春市南关区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．2x﹣1＝1 B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0
2．x＝﹣1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
3．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a＝b，则a﹣2＝b﹣2 B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
4．我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
6．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式x+2≤3x﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A1处，折痕为DE，若∠A＝α，∠BDA1＝β，∠CEA1＝＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．β＝2α+γ B．β＝α+γ C．β＝α+2γ D．β＝180°﹣α﹣γ
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若代数式x+1的值为﹣3，则x的值为 ．
12．已知二元一次方程3x﹣2y＝5，用含x的代数式表示y为 ．
13．若有理数a、b满足a＞b，则﹣3a ﹣3b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
15．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
16．如图，在五边形ABCDE中，∠EDC与∠BCD的平分线交于点P，∠A+∠B+∠E＝280°，则∠P的度数是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共72分）
17．解方程：＝1﹣．
18．解方程组：
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．
21．如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，AC、DE交于点G，∠ACF＝140°，∠B＝60°，求∠D和∠DGC的度数．
22．对于任意实数m、n，定义关于“⊕”的一种运算如下：m⊕n＝3m﹣2n．
例如：2⊕5＝3×2﹣2×5＝﹣4，（﹣1）⊕4＝3×（﹣1）﹣2×4＝﹣11．
（1）若（﹣3）⊕x＝2021，求x的值；
（2）若y⊕6＞10，求y的最小整数解．
23．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
24．如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．
求：（1）∠A的度数；
（2）∠C的度数．
解（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝ + （ ）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝ 度．（等量代换）．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝ 度（ ），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝ 度．
25．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米．
（1）当y＝22时，求x的值；
（2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围．
26．问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 （用含m、n、a、b的代数式表示）．
27．【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A+∠C＝260°，则∠BEF+∠DFE＝ 度．
【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系．
【结论】综合以上，请你用文字描述上述关系： ．
【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A+∠C＝210°，求∠M的度数．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．2x﹣1＝1 B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0
【分析】将x＝2代入各选项的方程中，看方程的左右两边是否相等即可．
解：A选项，当x＝2时，左边＝4﹣1＝3≠右边，不符合题意；
B选项，当x＝2时，左边＝4≠右边，不符合题意；
C选项，当x＝2时，左边＝6﹣4＝2＝右边，符合题意；
D选项，当x＝2时，左边＝6+6＝12≠右边，不符合题意；
故选：C．
2．x＝﹣1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝﹣1代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
解：把x＝﹣1代入方程得：﹣2﹣a＝0，
∴a＝﹣2，
故选：D．
3．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a＝b，则a﹣2＝b﹣2 B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
【分析】根据等式的性质逐一进行判断即可得到答案．
解：A、等式a＝b的两边同时减去2，等式仍成立，即a﹣2＝b﹣2，故本选项不合题意；
B、当m＝0时，等式a＝b不一定成立，故本选项符合题意；
C、等式a＝b的两边同时除以3，等式仍成立，即，故本选项不合题意；
D、等式x＝2的两边同时乘以x，等式仍成立，即x2＝2x，故本选项不合题意；
故选：B．
4．我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意，可列方程组为，
故选：B．
5．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
【分析】本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况．
解：由平面镶嵌的知识可知，只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形，
故选：C．
6．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
7．不等式x+2≤3x﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：移项，得：x﹣3x≤﹣2﹣2，
合并同类项，得：﹣2x≤﹣4，
系数化为1，得：x≥2，
故选：A．
8．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【分析】由旋转的性质得∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，则△ACE是等腰直角三角形，得∠CAE＝∠E＝45°，再由三角形的外角性质求解即可．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE＝∠E＝45°，
∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+25°＝70°，
故选：C．
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A1处，折痕为DE，若∠A＝α，∠BDA1＝β，∠CEA1＝＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．β＝2α+γ B．β＝α+γ C．β＝α+2γ D．β＝180°﹣α﹣γ
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝β＝α+α+γ＝2α+γ，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若代数式x+1的值为﹣3，则x的值为 ﹣4 ．
【分析】由题意易得一元一次方程，解方程即可求解．
解：由题意得x+1＝﹣3，
解得x＝﹣4，
故答案为﹣4．
12．已知二元一次方程3x﹣2y＝5，用含x的代数式表示y为 ．
【分析】根据等式的性质计算可求解．
解：3x﹣2y＝5，
﹣2y＝﹣3x+5，
y＝．
故答案为．
13．若有理数a、b满足a＞b，则﹣3a ＜ ﹣3b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】根据不等式的性质解决此题．
解：∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b．
故答案为：＜．
14．如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 18 ．
【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解．
解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD＝CF＝2，
∴四边形ABFD的周长
＝AB+BC+DF+CF+AD
＝△ABC的周长+AD+CF
＝12+3+3
＝18．
故答案为：18．
15．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 15 ．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．
故答案为：15．
16．如图，在五边形ABCDE中，∠EDC与∠BCD的平分线交于点P，∠A+∠B+∠E＝280°，则∠P的度数是 50° ．
【分析】先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．
解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝280°，
∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）•180°﹣280°＝260°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD＝130°，
∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
三、解答题（本大题共11小题，共72分）
17．解方程：＝1﹣．
【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．
解：去分母，得3（x﹣1）＝6﹣2（x+2），
去括号，得3x﹣3＝6﹣2x﹣4，
移项，得3x+2x＝6+3﹣4，
合并同类项，得5x＝5，
系数化为1，得x＝1．
18．解方程组：
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
①×2+②，得：7x＝14，
解得：x＝2，
将x＝2代入①，得：4﹣y＝3，
解得：y＝1，
则方程组的解为．
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式﹣2x≤0，得：x≥0，
解不等式（x﹣2）＞7﹣x，得：x＞4，
则不等式组的解集为x＞4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．
【分析】首先设新的多边形的边数为n，由多边形内角和公式，可得方程180°×（n﹣2）＝1980°，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案．
解：设新的多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和是1980°，
∴180°×（n﹣2）＝1980°，
解得：n＝13，
∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为12，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为13，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为14，
∴原多边形的边数可能是：12或13或14．
21．如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，AC、DE交于点G，∠ACF＝140°，∠B＝60°，求∠D和∠DGC的度数．
【分析】根据平移的性质得△ABC≌△DEF，AC∥DF，故∠D＝∠A，∠D+∠DGC＝180°．欲求∠D和∠DGC，需求∠A．根据三角形的外角的性质，可求得∠A＝∠ACF﹣∠B，进而解决此题．
解：由题意得：△ABC≌△DEF，AC∥DF．
∴∠D＝∠A，∠D+∠DGC＝180°．
∵∠ACF＝∠B+∠A，
∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝140°﹣60°＝80°．
∴∠D＝80°．
∴∠DGC＝180°﹣∠D＝100°．
22．对于任意实数m、n，定义关于“⊕”的一种运算如下：m⊕n＝3m﹣2n．
例如：2⊕5＝3×2﹣2×5＝﹣4，（﹣1）⊕4＝3×（﹣1）﹣2×4＝﹣11．
（1）若（﹣3）⊕x＝2021，求x的值；
（2）若y⊕6＞10，求y的最小整数解．
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值即可；
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，求出解集，确定出y的最小整数解即可．
解：（1）根据题中的新定义化简（﹣3）⊕x＝2021，得：﹣9﹣2x＝2021，
移项合并得：﹣2x＝2030，
解得：x＝﹣1015；
（2）根据题中的新定义化简y⊕6＞10，得：3y﹣12＞10，
移项合并得：3y＞22，
解得：y＞＝7，
所以y的最小整数解是8．
23．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质即可在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）根据轴对称的性质即可在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）根据中心对称的性质即可在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
24．如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．
求：（1）∠A的度数；
（2）∠C的度数．
解（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝ ∠A + ∠ABD （ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝ 75 度．（等量代换）．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝ 180 度（ 三角形的内角和等于180° ），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝ 20 度．
【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠A的度数；
（2）依据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝∠A+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝75度．（等量代换）．
故答案为：∠A，∠ABD，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，75．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝180度（三角形的内角和等于180°），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝20度．
故答案为：180，三角形的内角和等于180°，20．
25．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米．
（1）当y＝22时，求x的值；
（2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围．
【分析】（1）由题意得2x+y＝80，再将y＝22代入即可求x；
（2）由题意可得16≤80﹣2x≤26，求出x的范围即可．
解：（1）由题意得2x+y＝80，
当y＝22时，2x+22＝80，
∴x＝29；
（2）∵16≤y≤26，y＝80﹣2x，
∴，
∴27≤x≤32．
26．问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 am+b＝n （用含m、n、a、b的代数式表示）．
【分析】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个，根据“如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出竹签及山楂的数量；反思归纳：利用山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量，即可找出m、n、a、b之间的等量关系．
解：问题解决：设竹签有x根，山楂有y个，
依题意得：，
解得：．
答：竹签有15根，山楂有63个．
反思归纳：am+b＝n．
故答案为：am+b＝n．
27．【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A+∠C＝260°，则∠BEF+∠DFE＝ 260 度．
【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系．
【结论】综合以上，请你用文字描述上述关系： 四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和 ．
【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A+∠C＝210°，求∠M的度数．
【分析】【感知】如图①，根据四边形的内角和及邻补角的定义求解即可；
【探究】如图②，根据四边形的内角和及邻补角的定义求解即可；
【结论】综合以上可知四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
【应用】如图③，由探究得出∠BEF+∠DFE＝210°，再根据角平分线的定义得出∠MFE+∠MEF＝（∠DFE+∠BEF）＝105°，最后根据三角形的内角和即可得解．
解：【感知】如图①，∵∠A+∠C+∠CFE+∠FEA＝360°，∠A+∠C＝260°，
∴∠CFE+∠FEA＝360°﹣260°＝200°，
∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠FEA+∠BEF＝180°，
∴∠CFE+∠DFE+∠FEA+∠BEF＝360°，
∴∠BEF+∠DFE＝360°﹣（∠CFE+∠FEA）＝260°，
故答案为：260；
【探究】如图②，∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由如下：
∵∠A+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，
∴∠A+∠C＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），
∵∠AEC+∠BEC＝180°，∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠BEC+∠DFC＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），
∴∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC；
【结论】故答案为：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
【应用】如图③，∵∠A+∠C＝210°，
∴∠BEF+∠DFE＝210°，
∵FM、EM分别平分∠DFE、∠BEF，
∴∠MFE+∠MEF＝（∠DFE+∠BEF）＝105°，
∴∠M＝180°﹣（∠MFE+∠MEF）＝180°﹣105°＝75°．
2020-2021学年吉林省长春市南关区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．2x﹣1＝1 B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0
2．x＝﹣1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
3．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a＝b，则a﹣2＝b﹣2 B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
4．我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
6．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式x+2≤3x﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A1处，折痕为DE，若∠A＝α，∠BDA1＝β，∠CEA1＝＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．β＝2α+γ B．β＝α+γ C．β＝α+2γ D．β＝180°﹣α﹣γ
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若代数式x+1的值为﹣3，则x的值为 ．
12．已知二元一次方程3x﹣2y＝5，用含x的代数式表示y为 ．
13．若有理数a、b满足a＞b，则﹣3a ﹣3b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
15．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
16．如图，在五边形ABCDE中，∠EDC与∠BCD的平分线交于点P，∠A+∠B+∠E＝280°，则∠P的度数是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共72分）
17．解方程：＝1﹣．
18．解方程组：
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．
21．如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，AC、DE交于点G，∠ACF＝140°，∠B＝60°，求∠D和∠DGC的度数．
22．对于任意实数m、n，定义关于“⊕”的一种运算如下：m⊕n＝3m﹣2n．
例如：2⊕5＝3×2﹣2×5＝﹣4，（﹣1）⊕4＝3×（﹣1）﹣2×4＝﹣11．
（1）若（﹣3）⊕x＝2021，求x的值；
（2）若y⊕6＞10，求y的最小整数解．
23．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
24．如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．
求：（1）∠A的度数；
（2）∠C的度数．
解（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝ + （ ）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝ 度．（等量代换）．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝ 度（ ），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝ 度．
25．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米．
（1）当y＝22时，求x的值；
（2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围．
26．问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 （用含m、n、a、b的代数式表示）．
27．【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A+∠C＝260°，则∠BEF+∠DFE＝ 度．
【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系．
【结论】综合以上，请你用文字描述上述关系： ．
【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A+∠C＝210°，求∠M的度数．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．2x﹣1＝1 B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0
【分析】将x＝2代入各选项的方程中，看方程的左右两边是否相等即可．
解：A选项，当x＝2时，左边＝4﹣1＝3≠右边，不符合题意；
B选项，当x＝2时，左边＝4≠右边，不符合题意；
C选项，当x＝2时，左边＝6﹣4＝2＝右边，符合题意；
D选项，当x＝2时，左边＝6+6＝12≠右边，不符合题意；
故选：C．
2．x＝﹣1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝﹣1代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
解：把x＝﹣1代入方程得：﹣2﹣a＝0，
∴a＝﹣2，
故选：D．
3．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a＝b，则a﹣2＝b﹣2 B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
【分析】根据等式的性质逐一进行判断即可得到答案．
解：A、等式a＝b的两边同时减去2，等式仍成立，即a﹣2＝b﹣2，故本选项不合题意；
B、当m＝0时，等式a＝b不一定成立，故本选项符合题意；
C、等式a＝b的两边同时除以3，等式仍成立，即，故本选项不合题意；
D、等式x＝2的两边同时乘以x，等式仍成立，即x2＝2x，故本选项不合题意；
故选：B．
4．我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意，可列方程组为，
故选：B．
5．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
【分析】本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况．
解：由平面镶嵌的知识可知，只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形，
故选：C．
6．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
7．不等式x+2≤3x﹣2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：移项，得：x﹣3x≤﹣2﹣2，
合并同类项，得：﹣2x≤﹣4，
系数化为1，得：x≥2，
故选：A．
8．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝25°，在∠ADC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【分析】由旋转的性质得∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，则△ACE是等腰直角三角形，得∠CAE＝∠E＝45°，再由三角形的外角性质求解即可．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE＝∠E＝45°，
∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+25°＝70°，
故选：C．
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A1处，折痕为DE，若∠A＝α，∠BDA1＝β，∠CEA1＝＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．β＝2α+γ B．β＝α+γ C．β＝α+2γ D．β＝180°﹣α﹣γ
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝β＝α+α+γ＝2α+γ，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若代数式x+1的值为﹣3，则x的值为 ﹣4 ．
【分析】由题意易得一元一次方程，解方程即可求解．
解：由题意得x+1＝﹣3，
解得x＝﹣4，
故答案为﹣4．
12．已知二元一次方程3x﹣2y＝5，用含x的代数式表示y为 ．
【分析】根据等式的性质计算可求解．
解：3x﹣2y＝5，
﹣2y＝﹣3x+5，
y＝．
故答案为．
13．若有理数a、b满足a＞b，则﹣3a ＜ ﹣3b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】根据不等式的性质解决此题．
解：∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b．
故答案为：＜．
14．如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 18 ．
【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解．
解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD＝CF＝2，
∴四边形ABFD的周长
＝AB+BC+DF+CF+AD
＝△ABC的周长+AD+CF
＝12+3+3
＝18．
故答案为：18．
15．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 15 ．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．
故答案为：15．
16．如图，在五边形ABCDE中，∠EDC与∠BCD的平分线交于点P，∠A+∠B+∠E＝280°，则∠P的度数是 50° ．
【分析】先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．
解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝280°，
∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）•180°﹣280°＝260°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD＝130°，
∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
三、解答题（本大题共11小题，共72分）
17．解方程：＝1﹣．
【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．
解：去分母，得3（x﹣1）＝6﹣2（x+2），
去括号，得3x﹣3＝6﹣2x﹣4，
移项，得3x+2x＝6+3﹣4，
合并同类项，得5x＝5，
系数化为1，得x＝1．
18．解方程组：
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
①×2+②，得：7x＝14，
解得：x＝2，
将x＝2代入①，得：4﹣y＝3，
解得：y＝1，
则方程组的解为．
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式﹣2x≤0，得：x≥0，
解不等式（x﹣2）＞7﹣x，得：x＞4，
则不等式组的解集为x＞4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．
【分析】首先设新的多边形的边数为n，由多边形内角和公式，可得方程180°×（n﹣2）＝1980°，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案．
解：设新的多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和是1980°，
∴180°×（n﹣2）＝1980°，
解得：n＝13，
∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为12，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为13，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为14，
∴原多边形的边数可能是：12或13或14．
21．如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，AC、DE交于点G，∠ACF＝140°，∠B＝60°，求∠D和∠DGC的度数．
【分析】根据平移的性质得△ABC≌△DEF，AC∥DF，故∠D＝∠A，∠D+∠DGC＝180°．欲求∠D和∠DGC，需求∠A．根据三角形的外角的性质，可求得∠A＝∠ACF﹣∠B，进而解决此题．
解：由题意得：△ABC≌△DEF，AC∥DF．
∴∠D＝∠A，∠D+∠DGC＝180°．
∵∠ACF＝∠B+∠A，
∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝140°﹣60°＝80°．
∴∠D＝80°．
∴∠DGC＝180°﹣∠D＝100°．
22．对于任意实数m、n，定义关于“⊕”的一种运算如下：m⊕n＝3m﹣2n．
例如：2⊕5＝3×2﹣2×5＝﹣4，（﹣1）⊕4＝3×（﹣1）﹣2×4＝﹣11．
（1）若（﹣3）⊕x＝2021，求x的值；
（2）若y⊕6＞10，求y的最小整数解．
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值即可；
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，求出解集，确定出y的最小整数解即可．
解：（1）根据题中的新定义化简（﹣3）⊕x＝2021，得：﹣9﹣2x＝2021，
移项合并得：﹣2x＝2030，
解得：x＝﹣1015；
（2）根据题中的新定义化简y⊕6＞10，得：3y﹣12＞10，
移项合并得：3y＞22，
解得：y＞＝7，
所以y的最小整数解是8．
23．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质即可在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）根据轴对称的性质即可在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）根据中心对称的性质即可在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
24．如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．
求：（1）∠A的度数；
（2）∠C的度数．
解（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝ ∠A + ∠ABD （ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝ 75 度．（等量代换）．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝ 180 度（ 三角形的内角和等于180° ），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝ 20 度．
【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠A的度数；
（2）依据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），
∴∠BDC＝∠A+∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵∠A＝∠ABD（已知），
∴∠A＝75度．（等量代换）．
故答案为：∠A，∠ABD，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，75．
（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝180度（三角形的内角和等于180°），
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．
又∵∠ABC＝85°，
∴∠C＝20度．
故答案为：180，三角形的内角和等于180°，20．
25．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米．
（1）当y＝22时，求x的值；
（2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围．
【分析】（1）由题意得2x+y＝80，再将y＝22代入即可求x；
（2）由题意可得16≤80﹣2x≤26，求出x的范围即可．
解：（1）由题意得2x+y＝80，
当y＝22时，2x+22＝80，
∴x＝29；
（2）∵16≤y≤26，y＝80﹣2x，
∴，
∴27≤x≤32．
26．问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 am+b＝n （用含m、n、a、b的代数式表示）．
【分析】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个，根据“如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出竹签及山楂的数量；反思归纳：利用山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量，即可找出m、n、a、b之间的等量关系．
解：问题解决：设竹签有x根，山楂有y个，
依题意得：，
解得：．
答：竹签有15根，山楂有63个．
反思归纳：am+b＝n．
故答案为：am+b＝n．
27．【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A+∠C＝260°，则∠BEF+∠DFE＝ 260 度．
【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系．
【结论】综合以上，请你用文字描述上述关系： 四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和 ．
【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A+∠C＝210°，求∠M的度数．
【分析】【感知】如图①，根据四边形的内角和及邻补角的定义求解即可；
【探究】如图②，根据四边形的内角和及邻补角的定义求解即可；
【结论】综合以上可知四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
【应用】如图③，由探究得出∠BEF+∠DFE＝210°，再根据角平分线的定义得出∠MFE+∠MEF＝（∠DFE+∠BEF）＝105°，最后根据三角形的内角和即可得解．
解：【感知】如图①，∵∠A+∠C+∠CFE+∠FEA＝360°，∠A+∠C＝260°，
∴∠CFE+∠FEA＝360°﹣260°＝200°，
∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠FEA+∠BEF＝180°，
∴∠CFE+∠DFE+∠FEA+∠BEF＝360°，
∴∠BEF+∠DFE＝360°﹣（∠CFE+∠FEA）＝260°，
故答案为：260；
【探究】如图②，∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由如下：
∵∠A+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，
∴∠A+∠C＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），
∵∠AEC+∠BEC＝180°，∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠BEC+∠DFC＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），
∴∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC；
【结论】故答案为：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
【应用】如图③，∵∠A+∠C＝210°，
∴∠BEF+∠DFE＝210°，
∵FM、EM分别平分∠DFE、∠BEF，
∴∠MFE+∠MEF＝（∠DFE+∠BEF）＝105°，
∴∠M＝180°﹣（∠MFE+∠MEF）＝180°﹣105°＝75°．
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