2020-2021学年吉林省长春市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年吉林省长春市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∃x0∈π4,π，使2sinx0−csx0>2”的否定是( )
A.∃x0∈π4,π，使2sinx0−csx0≤2
B.∀x∈π4,π，使2sinx−csx>2
C.∃x0∈π4,π，使2sinx0−csx0π2，则csxn>0，则x2n+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列命题为真的是( )
A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.p∨¬q

8. 若m，n表示两条不同的直线， α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若m//α,n//α，则m//nB.若α//m,β//m，则α//β
C.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m，则n⊥αD.若α//β,m⊥α,n⊥β，则m//n

9. 已知椭圆x24+y2m=1的离心率e>22，则m的取值范围是( )
A.0,1∪2,+∞ B.0,2∪8,+∞C.−∞,2D.−∞,2∪8,+∞

10. 若直线l:y=12x+n被椭圆x24+y22=1所截，得到的弦的中点横坐标为−1，则n的值为( )
A.52B.2C.32D.1

11. 如图，点M是正方体ABCD−A1B1C1D1面的对角线A1B上的动点，则下列命题：
(1)C1M//平面ACD1；
(2)CM⊥AB1；
(3)所有经过直线C1M的平面与直线CD都相交；
(4)在M由B向A1移动的过程中，平面A1D1M与平面BCC1所成的锐二面角越来越大；
真命题的个数为( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

12. 设P是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的动点，F1−c,0,F2c,0是椭圆的左右焦点，若△PF1F2存在面积为π3c2的内切圆，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.(0,33]B.[33,1)C.[22,1)D.(0,12]
二、填空题

已知“x2+3x−4>0”是“x>m+1”的必要不充分条件，则m的取值范围________.

直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为4，底面是边长为2的等边三角形，若M是棱BB1的中点，则平面AMC1和底面ABC所成锐二面角平面角的正切值为________.

设P是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，F1−1,0是椭圆的左焦点，若△PF1F2的周长为6，面积为3，则|PF1|2+|PF2|2=________.

过原点的直线和椭圆x22+y2=1交于A，B两点，过点A作直线AF1，设AF1与椭圆的另一个交点为点C，则△BOC的最大面积为________.
三、解答题

求满足条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为23；

(2)焦点F10,−3到短轴一个顶点的距离为2.

已知p:x2m+2+y22=1表示焦点在x轴的椭圆； q:x2+m+1x+m+1=0有实数根．
(1)若p∧q为真，求m的取值范围；

(2)若¬p∧q为假， ¬p∨q为真，求m的取值范围．

四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，点M，N分别是棱AB，PC的中点.

(1)求证： PA//平面BDN．

(2)在棱PB上确定点E，使平面MNE//平面PAD，并给出证明．

已知直线l:y=kx+2，椭圆E:x24+y2=1.
(1)若直线l和椭圆E相切，求直线方程；

(2)若直线l和圆x2+y2=1相切，与椭圆E交于两点A，B，求弦长|AB|

设点F是正四面体A−BCD的棱CD的中点，点E在棱AB上，点G是线段EF上的动点．

(1)确定点E的位置，使得点G在线段EF上移动过程中，总有DG⊥AB成立，并给出证明．

(2)在(1)的条件下，当点G是线段EF中点时，求二面角B−CG−D的余弦值．

已知圆C:x−32+y2=16和点A−3,0，点M是圆C上的动点，线段MA的中垂线交半径CM于点N．
(1)求动点N的轨迹方程；

(2)设(1)中所求方程的曲线为曲线K，曲线K与x轴交于G,H，P，E，F为曲线K上非坐标轴上的动点，且满足OE//PH,OF//PG，求证：△EOF的面积为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市高二（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：特称命题“∃x0∈π4,π，使2sinx0−csx0>2”的否定是：
∀x∈π4,π，使2sinx−csx≤2．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：否命题既要否定条件，也要否定结论，
则命题若a=1，则a2=1的否命题为：若a≠1，则a2≠1．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：由题意得：c=4，a+b=2c，a2=b2+c2，
且a>b.
解得a=5，b=3，
∴ 标准方程为x225+y29=1.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据圆柱的底面的可能情况分三类,分别求出半径,代入圆柱的体积公式比较大小即可求解.
【解答】
解：圆柱的底面在边长为10,20的面内时，
圆柱底面半径为102=5，
此时圆柱的体积为π×52×30=750π；
圆柱的底面在边长为10,30的面内时，
圆柱底面半径为102=5,
此时圆柱的体积为π×52×20=500π；
圆柱的底面在边长为20,30的面内时，
圆柱底面半径为202=10，
此时圆柱的体积为π×102×10=1000π；
所以圆柱的最大体积为1000π（平方厘米）.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据椭圆的标准方程以及焦点位置得到m的取值范围，进而可得答案．
【解答】
解：∵ 方程x2m−1 + y22 = 1表示焦点在x轴上的椭圆，
则m−1>2，
解得：m>3.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：由椭圆方程可得，a=5，
△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|，
∴ 三角形的周长为定值4a=20，
∴ |AF1|+|BF1|=4a−5=15．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，若3π2n>0，
由椭圆的标准方程x2n+y2m=1可知表示焦点在y轴上的椭圆，
∴ 命题q为真命题；
则¬p为真命题，¬q为假命题，
∴ 由复合命题真假的判断可知：
p∧q为假命题，¬p∧q为真命题，p∧¬q为假命题，p∨¬q为假命题.
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：A，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，
可能相交，可能异面，故错误；
B，两平面分别平行于一条直线，不能得出两平面平行，
可能相交，故错误；
C，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，要得出n⊥α，
需要n⊂β，故错误；
D，由线面垂直的性质可得，故正确.
故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：e=1−b2a2>22，
∴b2a20时，m40上的点， △PF1F2的周长为6，
则2a+2c=6，
∵c=1，∴ a=2，∴ b2=3，
△PF1F2面积为3，则PF1⊥PF2，
∴ 平方和为4c2=4．
故答案为：4.
【答案】
22
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：设AC方程为x=my−1，
代入x22+y2=1，
整理得m2+2y2−2my−1=0，
y1+y2=2mm2+2，y1y2=−1m2+2，
∴ S△BOC=S△AOC
=12c|y1−y2|
=122mm2+22−4−1m2+2，
∴ S△BOC=2m2+1m2+22≤22．
故答案为：22.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 焦点在x轴上，
∴ 设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
∵ 离心率为12，短轴长为23，
∴ 1−b2a2=12，b=3，
∴ a=2，
∴ 椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2)∵ 焦点F10,−3，
∴ 设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，
∵ 焦点到短轴一个顶点的距离为2，
∴ a=2，
∴ b2=a2−c2=1，
∴ 椭圆的标准方程为y24+x2=1．
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)∵ 焦点在x轴上，
∴ 设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
∵ 离心率为12，短轴长为23，
∴ 1−b2a2=12，b=3，
∴ a=2，
∴ 椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2)∵ 焦点F10,−3，
∴ 设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，
∵ 焦点到短轴一个顶点的距离为2，
∴ a=2，
∴ b2=a2−c2=1，
∴ 椭圆的标准方程为y24+x2=1．
【答案】
解：(1)若p为真，则有m+2>2，
∴ m>0，
若q为真，则有Δ=m+12−4m+1≥0，
∴ m≤−1或m≥3,
若p∧q为真，则p为真且q为真，
∴ m>0,m≤−1或m≥3,
∴ m≥3，
即m的取值范围是[3,+∞).
(2)若¬p∧q为假， ¬p∨q为真，则¬p和q一真一假，
当¬p为真q为假时m≤0,−10，
若q为真，则有Δ=m+12−4m+1≥0，
∴ m≤−1或m≥3,
若p∧q为真，则p为真且q为真，
∴ m>0,m≤−1或m≥3,
∴ m≥3，
即m的取值范围是[3,+∞).
(2)若¬p∧q为假， ¬p∨q为真，则¬p和q一真一假，
当¬p为真q为假时m≤0,−1b>0，
∴ 2a=4，a=2 ，
∴ b2=a2−3=1，
∴ 点N的轨迹方程为x24+y2=1.
(2)证明：设Px0,y0 ，
∴ kPHkPG=y02x02−4=−14，
∵ OE//PH，OF//PG，
∴ kOEkOF=kPMkPG=−14，
设EF的方程为y=kx+m，
带入曲线K的方程有4k2+1x2+8kmx+4m2−4=0，
当Δ>0时 设Ex1,y1 Fx2,y2，
则 x1+x2=−8mk4k2+1 ，x1x2=4m2−44k2+1，
kOEkOF=y1y2x1x2=−14 ，
∴ 4y1y2+x1x2=0，
4kx1+mkx2+m+x1x2=0 ，
即4k2+1x1x2+4kmx1+x2+4m2=0，
∴ 4k2+14m2−44k2+1−4km8mk4k2+1+4m2=0，
∴ 2m2=4k2+1，
|MN|=k2+1x2−x12=2k2+14k2+1 或4k2+14k2+12，
d=|m|k2+1，
∴ S=2k2+14k2+1|m|k2+1=1．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
轨迹方程
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：N在线段MA的中垂线上 ，
∴ |NA|=|NM|，
∴ |NA|+|NC|=|CM|=4>|AC|，
∴ 点N的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
∴ 2a=4，a=2 ，
∴ b2=a2−3=1，
∴ 点N的轨迹方程为x24+y2=1.
(2)证明：设Px0,y0 ，
∴ kPHkPG=y02x02−4=−14，
∵ OE//PH，OF//PG，
∴ kOEkOF=kPMkPG=−14，
设EF的方程为y=kx+m，
带入曲线K的方程有4k2+1x2+8kmx+4m2−4=0，
当Δ>0时 设Ex1,y1 Fx2,y2，
则 x1+x2=−8mk4k2+1 ，x1x2=4m2−44k2+1，
kOEkOF=y1y2x1x2=−14 ，
∴ 4y1y2+x1x2=0，
4kx1+mkx2+m+x1x2=0 ，
即4k2+1x1x2+4kmx1+x2+4m2=0，
∴ 4k2+14m2−44k2+1−4km8mk4k2+1+4m2=0，
∴ 2m2=4k2+1，
|MN|=k2+1x2−x12=2k2+14k2+1 或4k2+14k2+12，
d=|m|k2+1，
∴ S=2k2+14k2+1|m|k2+1=1．