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2020-2021年新疆乌鲁木齐市高二（上）期末考试数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021年新疆乌鲁木齐市高二（上）期末考试数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合M=x|−3A.{−2,−1, 0,1}B.{−3,−2,−1,0}C.{−2,−1,0}D.{−3,−2,−1}
2. 下列函数中，在区间(0, 1)上是增函数的是( )
A.y=|x+1|B.y=2−xC.y=1xD.y=x2−x+1
3. 椭圆y24+x23=1的焦点坐标为( )
A.−1,0，1,0B.−2,0，2,0C.0,−2，0,2D.0,−1，0,1
4. 执行如图的程序框图，若输入的a=6，则输出的S值为( )
A.60B.48C.24D.12
5. 设函数fx=1x−1, x<1,2x−1, x≥1, 则f−2+f2=( )
A.53B.−53C.73D.−73
6. 从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为( )
A.14B.12C.13D.23
7. 下列说法中正确的是( )
A.“若x=1，则x2+2x−3=0”的否命题为真
B.对于命题p：∃x≥1，使得x2−x<0，则¬p：∀x<1，均有x2−x≥0
C.命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题
D.“0
8. 随机变量X的分布列如下表所示，则E2X−1=( )
A.0B.−12C.−1D.−2
9. 若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为60∘，且与椭圆x25+y2=1有相等的焦距，则该双曲线的标准方程为( )
A.x23−y2=1B.x29−y23=1C.x2−y23=1D.x23−y29=1
10. 对于函数fx=−2sin3x+π4+12x∈R，有以下四种说法：
①函数的最小值是−32 ；
②图象的对称轴是直线x=kπ3−π12k∈Z；
③图象的对称中心为kπ3−π12,0(k∈Z)；
④函数在区间−7π12,−π3上单调递增，
其中正确的说法的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
11. 已知A，B，C为球O的球面上的三个点， 圆O1为△ABC的外接圆，若圆O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )
A.32πB.36πC.48πD.64π
12. 已知Mx0,y0是双曲线C：x22−y2=1上的一点，F1，F2分别为C的左、右焦点．若MF1→⋅MF2→<0，则y0的取值范围是( )
A.−33,33B.−36,36C.−223,223D.−233,233
二、填空题
已知一组数据分别是10，2，5，2，4，2，则这组数据的中位数与众数的等比中项为________.
二项式x2+1x36的展开式中，x7项的系数为________.
若正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4>m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是________.
设F为椭圆C:x2a2+y2b2=1的左焦点，P为C上第一象限的一点，若∠FPO=π6，|PF|=3|OF|，则椭圆C的离心率为________.
三、解答题
如图，在三棱锥P−ABC中， PC⊥平面ABC， AB=10，BC=6，AC=PC=8，E，F分别是PA， PC的中点．
求证：
(1)AC//平面BEF；
(2)PA⊥平面BCE．
在公差不为0的等差数列an中， a1，a4，a8成等比数列，数列an的前10项和为45．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，且数列bn的前n项和为Tn，求Tn．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=6，csA=18．
(1)若b=5，求sinC的值；
(2)若△ABC的面积为1554，求b+c的值．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=22，左焦点为F1，右焦点为F2，且椭圆上一动点M到F2的最远距离为2+1，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得∠OPA=∠OPB，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2019年元旦期间，石嘴山市某物平台的销售业绩高达1271万人民币. 与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
附：
（K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d）
(1)完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列和数学期望．
已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(2, 2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求出该抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021年新疆乌鲁木齐市高二(上)期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集的运算求解即可.
【解答】
解：∵ M=x|−3∴ M∩N={−2,−1,0}.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
根据一次函数，反比例函数，二次函数的单调性即可找出正确选项．
【解答】
解：A．x∈(0, 1)时，y=|x+1|=x+1，在(0, 1)上是递增函数，所以该选项正确；
B．y=2−x是一次函数，在(0, 1)上是递减函数，所以该选项错误；
C．y=1x是反比例函数，在(0, 1)上是递减函数，所以该选项错误；
D．y=x2−x+1是二次函数，在(0, 12)上是递减函数，在(12, 1)上是递增函数，所以该选项错误．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵4>3，
∴焦点在y轴上，
∴ |c|=4−3=1，
∴焦点坐标为(0,1)，(0,−1).
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：由程序框图可知，
i=3，S=6+63=8，
i=2，S=8+82=12，
i=1，S=12+12=24，
则输出的S值为24．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此函数为分段函数问题，分别代入得出函数值即解决问题.
【解答】
解：∵ 函数fx=1x−1, x<1,2x−1, x≥1,
∴ f−2+f2= 1−2−1+22−1=53.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
利用列举法得基本事件1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6个,
其中满足条件的有1,2,1,3,1,4,2,4共4个,再利用古典概型概率得解.
【解答】
解：由题意可知，基本事件有1,2，1,3，1,4，
2,3，2,4，3,4，共6个,
其中满足条件的有1,2，1,3，1,4，2,4，共4个,
则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率P=46=23.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的否定
四种命题间的逆否关系
【解析】
根据否命题，判定A；命题的否定判定；由逆否命题的真假判定；有充分必要条件判定
【解答】
解：对于A，否命题为“若x≠1，则x2+2x−3≠0”，
当x=−3，x2+2x−3=0，故A选项错误；
对于B，¬p:∀x≥1，使得x2−x≥0，故B选项错误；
对于C，该命题的逆否命题：若x=2且y=1，则x+y=3，
这是真命题，故C选项正确；
对于D，当0则充分性不成立，故D选项错误.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由分布列的性质解得a=12，利用期望的公式解得EX，再利用E2X−1=2EX−1得解.
【解答】
解：由题意，得16+a+13=1，
解得a=12，
则EX=−2×16+−1×12+1×13=−12，
所以E2X−1=2EX−1=2×−12−1=−2.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有ba=3，即b=3a，求出椭圆的半焦距，分析可得a2+b2＝4，解可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．
【解答】
解：根据题意可知，双曲线C:x2a2−y2b2=1的焦点在x轴上，
则其渐近线方程为y=±bax，
若其一条渐近线的倾斜角为60∘，则该渐近线的方程为y=3x，
所以ba=3，
解得b=3a，
且与椭圆x25+y2=1有相等的焦距，
则c2=5−1=4，
所以a2+b2=4，
即a2+3a2=4，
解得a2=1，
所以b2=3，
故双曲线的标准方程为x2−y23=1.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的单调性
正弦函数的对称性
【解析】
利用函数的性质逐项分析得解.
①因为−2sin3x+π4∈−2,2，所以f(x)∈−32,52，最小值为−32，故①正确；
②令3x+π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=π12+kπ3,k∈Z，故②错误；
③令3x+π4=kπ,k∈Z，解得x=−π12+kπ3,k∈Z，故对称中心为−π12+kπ3,12,k∈Z，故③错误；
④令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z，
令k=0，该区间为−π4,π12;当k=−1，该区间为−1112π,−712π，可判定④错误.
【解答】
解：对于①，因为−2sin3x+π4∈−2,2，
所以f(x)∈−32,52，
所以最小值为−32，故①正确；
对于②，令3x+π4=π2+kπ(k∈Z)，
解得x=π12+kπ3(k∈Z)，
所以图象的对称轴是直线x=π12+kπ3k∈Z，
故②错误；
③令3x+π4=kπ(k∈Z)，
解得x=−π12+kπ3(k∈Z)，
所以图象的对称中心为−π12+kπ3,12(k∈Z)，
故③错误；
④令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3(k∈Z)，
令k=0，单调递增区间为−π4,π12，
当k=−1，单调递增区间为−1112π,−712π，
故④错误.
综上所述，正确的只有1个.
故选A.
11.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
正弦定理
【解析】
结合题意画出图形，利用已知条件求出O1A，OO1，从而求得球的半径，进而求球的表面积.
【解答】
解：由题意，设圆O1半径为r，球的半径为R，
则πr2=4π，
∴ r=2.
由正弦定理，得AB=2rsin60∘=23,
∴ OO1=AB=23，
根据圆截面性质OO1⊥平面ABC，
∴ OO1⊥O1A，
R=OA=OO12+O1A2=OO12+r2=4,
∴ 球O的表面积S=4πR2=64π.
故选D.
12.
【答案】
A
【考点】
双曲线的特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，得F1−3,0，F23,0，
又Mx0,y0是双曲线C：x22−y2=1上的一点，
即x022−y02=1，
∴ MF1→⋅MF2→=−3−x0,−y0⋅3−x0,−y0=
x02+y02−3=3y02−1<0，
解得−33∴ y0的取值范围是−33,33.
故选A．
二、填空题
【答案】
±6
【考点】
众数、中位数、平均数
等比中项
【解析】
先把数据按照从小到大排序，确定出中位数和众数，由等比中项定义求得结果
【解答】
解：先将这组数据按照从小到大排序为2，2，2，4，5，10，
则这组数据的中位数为2+42=3，众数为2．
所以中位数与众数的等比中项为±2×3=±6.
故答案为：±6.
【答案】
6
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
【解答】
解：∵ 二项式x2+1x36的展开式的通项公式为
Tr+1=C6r⋅(x2)6−r⋅(1x3)r=C6r⋅x12−5r，
令12−5r=7，得r=1，
∴ 二项式x2+1x36的展开式中，含x7的系数为C61=6.
故答案为：6．
【答案】
−1,4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
【解析】
由已知结合基本不等式求出x+y4的最小值，然后结合不等式的恒成立与最值关系，求出m的范围．
【解答】
解：因为正实数x，y满足1x+4y=1，
所以x+y4=x+y41x+4y
=2+y4x+4xy≥2+2y4x⋅4xy=4，
当且仅当y4x=4xy，且1x+4y=1，
即x=2，y=8时，等号成立，
则x+y4的最小值为4，
因为x+y4≥m2−3m恒成立，
所以m2−3m<4，
解得−1故实数m的取值范围为−1,4.
故答案为： −1,4.
【答案】
3−1
【考点】
椭圆的离心率
余弦定理
【解析】
先设出椭圆右焦点为F1，然后利用余弦定理求出|OP|的长度，分类讨论舍去一个值，再由|OP\的长可得三角形PFF1的形状为直角三角形，再由椭圆定义即可求出离心率．
【解答】
解：如图，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.
设|OF|=c，则|PF|=3c，
在△OPF中，∠FPO=π6，
由余弦定理，得cs∠FPO=|PF|2+|PO|2−|FO|22|PF||PO|
=3c2+|PO|2−c22×3c×|PO|=32，
整理，得|PO|2−3c|PO|+2c2=0，
解得|PO|=c或|PO|=2c.
若|PO|=2c，则OF2+PF2=OP2，
由勾股定理的逆定理可知，△OPF是以∠PFO为直角的直角三角形，
此时P在第二象限，与题意矛盾，舍去；
若|PO|=c，则|PO|=|OF|=c，
由直角三角形的性质，得△FPF1是直角三角形，且PF⊥PF1，
由勾股定理，得|PF|2+|PF1|2=|FF1|2，
解得|PF1|=c，
由椭圆定义，得3c+c=2a，
解得ca=3−1，
即椭圆离心率为3−1.
故答案为：3−1.
三、解答题
【答案】
证明：(1)∵ 在△PAC中，E，F分别是PA，PC的中点，
∴ EF//AC，
∵ EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，
∴ AC//平面BEF．
(2)∵ 在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∴ AB2=AC2+BC2，∴ BC⊥AC．
∵ PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ PC⊥BC．
∵ BC⊥PC，AC∩PC=C，
AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
∵ PA⊂平面PAC，∴ BC⊥PA．
∵ 在△PAC中，AC=PC，E为PA的中点，
∴ PA⊥EC．
∵ PA⊥BC，CE∩BC=C，
CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，
∴ PA⊥平面BCE．
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
【解答】
证明：(1)∵ 在△PAC中，E，F分别是PA，PC的中点，
∴ EF//AC，
∵ EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，
∴ AC//平面BEF．
(2)∵ 在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∴ AB2=AC2+BC2，∴ BC⊥AC．
∵ PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ PC⊥BC．
∵ BC⊥PC，AC∩PC=C，
AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
∵ PA⊂平面PAC，∴ BC⊥PA．
∵ 在△PAC中，AC=PC，E为PA的中点，
∴ PA⊥EC．
∵ PA⊥BC，CE∩BC=C，
CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，
∴ PA⊥平面BCE．
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵ a1，a4，a8成等比数列，
∴ a42=a1⋅a8，
即a1+3d2=a1a1+7d，
∴ a1=9d．
又数列{an}的前10项和为45，
∴ S10=10a1+45d=45，
即90d+45d=45，
解得d=13，
∴ a1=3，
∴ 数列{an}的通项公式为an=n+83.
(2)由(1)可知，an=n+83.
∴ bn=1anan+1=9n+8n+9=91n+8−1n+9，
∴ Tn=9(19−110+110−111+111−112+⋯+1n+8−1n+9)
=919−1n+9=1−9n+9=nn+9.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
等比数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵ a1，a4，a8成等比数列，
∴ a42=a1⋅a8，
即a1+3d2=a1a1+7d，
∴ a1=9d．
又数列{an}的前10项和为45，
∴ S10=10a1+45d=45，
即90d+45d=45，
解得d=13，
∴ a1=3，
∴ 数列{an}的通项公式为an=n+83.
(2)由(1)可知，an=n+83.
∴ bn=1anan+1=9n+8n+9=91n+8−1n+9，
∴ Tn=9(19−110+110−111+111−112+⋯+1n+8−1n+9)
=919−1n+9=1−9n+9=nn+9.
【答案】
解：(1)∵ csA=18，且0∴ sinA=378.
由正弦定理，得asinA=bsinB，
∴ sinB=bsinAa=5716，
又b∴ 0∴ csB=916，
∴ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=74．
(2)由(1)可知，sinA=378，
由正弦定理，得S△ABC=12bcsinA，
即12bc×378=1574，
解得bc=20，
由正弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
即b2+c2−2×20×18=36，
∴ b2+c2=41，
b+c2=b2+c2+2bc=41+40=81，
∴ b+c=9．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
同角三角函数基本关系的运用
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ csA=18，且0∴ sinA=378.
由正弦定理，得asinA=bsinB，
∴ sinB=bsinAa=5716，
又b∴ 0∴ csB=916，
∴ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=74．
(2)由(1)可知，sinA=378，
由正弦定理，得S△ABC=12bcsinA，
即12bc×378=1574，
解得bc=20，
由正弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
即b2+c2−2×20×18=36，
∴ b2+c2=41，
b+c2=b2+c2+2bc=41+40=81，
∴ b+c=9．
【答案】
解：(1)由题意，得e=ca=22,a+c=2+1,a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，c=1.
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)存在，且点P的坐标为2,0. 理由如下：
假设存在Pm,0满足题意，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意可知，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，
则设l的方程为y=kx−1①，
由(1)可知，x22+y2=1，即x2+2y2=2②，
联立①②两式，得y=kx−1,x2+2y2=2,
整理，得1+2k2x2−4k2x+2k2−2=0，
∴ x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
又kAP=y1x1−m，kBP=y2x2−m，
即kAP+kBP=y1x2−m+y2x1−mx1−mx2−m=0，
∴ y1x2+y2x1−my1+y2=0,
即kx2x1−1+kx1x2−1−kmx1+x2−2=0，
∴ 2kx1x2−k+mkx1+x2+2km=0，
解得m=2，
∴ P2,0．
故在x轴上存在一点P2,0，使得∠OPA=∠OPB.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
椭圆的应用
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，得e=ca=22,a+c=2+1,a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，c=1.
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)存在，且点P的坐标为2,0. 理由如下：
假设存在Pm,0满足题意，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意可知，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，
则设l的方程为y=kx−1①，
由(1)可知，x22+y2=1，即x2+2y2=2②，
联立①②两式，得y=kx−1,x2+2y2=2,
整理，得1+2k2x2−4k2x+2k2−2=0，
∴ x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
又kAP=y1x1−m，kBP=y2x2−m，
即kAP+kBP=y1x2−m+y2x1−mx1−mx2−m=0，
∴ y1x2+y2x1−my1+y2=0,
即kx2x1−1+kx1x2−1−kmx1+x2−2=0，
∴ 2kx1x2−k+mkx1+x2+2km=0，
解得m=2，
∴ P2,0．
故在x轴上存在一点P2,0，使得∠OPA=∠OPB.
【答案】
解：(1)由题意，补全关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
则K2=200×80×10−40×702150×50×120×80≈11.111>6.635．
答：有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．
(2)由(1)可知，每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，
且X的取值可以是0，1，2，3，
则PX=0=353=27125，
PX=1=C3125352=54125，
PX=2=C3225235=36125，
PX=3=C33253=8125，
X的分布列如下：
所以EX=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，补全关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
则K2=200×80×10−40×702150×50×120×80≈11.111>6.635．
答：有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．
(2)由(1)可知，每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，
且X的取值可以是0，1，2，3，
则PX=0=353=27125，
PX=1=C3125352=54125，
PX=2=C3225235=36125，
PX=3=C33253=8125，
X的分布列如下：
所以EX=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线C:y2=2px经过点P(2, 2)，
∴ 4p=4，
解得p=1．
∴ 抛物线C的方程为y2=2x．
∴ 抛物线C的焦点坐标为(12,0)，准线方程为x=−12.
(2)由题意可知，直线AB与y轴不垂直，
设直线AB:x=ty+a，且A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由x=ty+a，y2=2x，
消去x，得y2−2ty−2a=0，
∴ y1+y2=2t，y1y2=−2a，
∵ OA⊥OB，且OA→=(x1, y1)，OB→=(x2, y2)，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即y12y224+y1y2=0，
解得y1y2=−4或y1y2=0（舍）．
∴ −2a=−4，
解得a=2．
∴ 直线AB:x=ty+2，
当y=0时，x=2，
∴ 直线AB过定点(2, 0).
S△AOB =12×2×|y1−y2|
=y12+y22−2y1y2=y12+y22+8≥2|y1y2|+8=4，
当且仅当y1=2，y2=−2时，等号成立．
∴ △AOB面积的最小值为4．
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的应用
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
(Ⅰ)根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；
(Ⅱ)直线AB的方程为x＝ty+a，与抛物线的方程联立，可得y2−2ty−2a＝0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，结合OA⊥OB，结合根与系数的关系分析可得y12y224+y1y2=0，进而可得△AOB面积的表达式，分析可得答案．
【解答】
解：(1)∵ 抛物线C:y2=2px经过点P(2, 2)，
∴ 4p=4，
解得p=1．
∴ 抛物线C的方程为y2=2x．
∴ 抛物线C的焦点坐标为(12,0)，准线方程为x=−12.
(2)由题意可知，直线AB与y轴不垂直，
设直线AB:x=ty+a，且A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由x=ty+a，y2=2x，
消去x，得y2−2ty−2a=0，
∴ y1+y2=2t，y1y2=−2a，
∵ OA⊥OB，且OA→=(x1, y1)，OB→=(x2, y2)，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即y12y224+y1y2=0，
解得y1y2=−4或y1y2=0（舍）．
∴ −2a=−4，
解得a=2．
∴ 直线AB:x=ty+2，
当y=0时，x=2，
∴ 直线AB过定点(2, 0).
S△AOB =12×2×|y1−y2|
=y12+y22−2y1y2=y12+y22+8≥2|y1y2|+8=4，
当且仅当y1=2，y2=−2时，等号成立．
∴ △AOB面积的最小值为4．P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
对商品不满意
合计
200
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
1. 已知集合M=x|−3
2. 下列函数中，在区间(0, 1)上是增函数的是( )
A.y=|x+1|B.y=2−xC.y=1xD.y=x2−x+1
3. 椭圆y24+x23=1的焦点坐标为( )
A.−1,0，1,0B.−2,0，2,0C.0,−2，0,2D.0,−1，0,1
4. 执行如图的程序框图，若输入的a=6，则输出的S值为( )
A.60B.48C.24D.12
5. 设函数fx=1x−1, x<1,2x−1, x≥1, 则f−2+f2=( )
A.53B.−53C.73D.−73
6. 从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为( )
A.14B.12C.13D.23
7. 下列说法中正确的是( )
A.“若x=1，则x2+2x−3=0”的否命题为真
B.对于命题p：∃x≥1，使得x2−x<0，则¬p：∀x<1，均有x2−x≥0
C.命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题
D.“0
8. 随机变量X的分布列如下表所示，则E2X−1=( )
A.0B.−12C.−1D.−2
9. 若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为60∘，且与椭圆x25+y2=1有相等的焦距，则该双曲线的标准方程为( )
A.x23−y2=1B.x29−y23=1C.x2−y23=1D.x23−y29=1
10. 对于函数fx=−2sin3x+π4+12x∈R，有以下四种说法：
①函数的最小值是−32 ；
②图象的对称轴是直线x=kπ3−π12k∈Z；
③图象的对称中心为kπ3−π12,0(k∈Z)；
④函数在区间−7π12,−π3上单调递增，
其中正确的说法的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
11. 已知A，B，C为球O的球面上的三个点， 圆O1为△ABC的外接圆，若圆O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )
A.32πB.36πC.48πD.64π
12. 已知Mx0,y0是双曲线C：x22−y2=1上的一点，F1，F2分别为C的左、右焦点．若MF1→⋅MF2→<0，则y0的取值范围是( )
A.−33,33B.−36,36C.−223,223D.−233,233
二、填空题
已知一组数据分别是10，2，5，2，4，2，则这组数据的中位数与众数的等比中项为________.
二项式x2+1x36的展开式中，x7项的系数为________.
若正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4>m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是________.
设F为椭圆C:x2a2+y2b2=1的左焦点，P为C上第一象限的一点，若∠FPO=π6，|PF|=3|OF|，则椭圆C的离心率为________.
三、解答题
如图，在三棱锥P−ABC中， PC⊥平面ABC， AB=10，BC=6，AC=PC=8，E，F分别是PA， PC的中点．
求证：
(1)AC//平面BEF；
(2)PA⊥平面BCE．
在公差不为0的等差数列an中， a1，a4，a8成等比数列，数列an的前10项和为45．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，且数列bn的前n项和为Tn，求Tn．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=6，csA=18．
(1)若b=5，求sinC的值；
(2)若△ABC的面积为1554，求b+c的值．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=22，左焦点为F1，右焦点为F2，且椭圆上一动点M到F2的最远距离为2+1，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得∠OPA=∠OPB，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2019年元旦期间，石嘴山市某物平台的销售业绩高达1271万人民币. 与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
附：
（K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d）
(1)完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列和数学期望．
已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(2, 2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求出该抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021年新疆乌鲁木齐市高二(上)期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集的运算求解即可.
【解答】
解：∵ M=x|−3
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
根据一次函数，反比例函数，二次函数的单调性即可找出正确选项．
【解答】
解：A．x∈(0, 1)时，y=|x+1|=x+1，在(0, 1)上是递增函数，所以该选项正确；
B．y=2−x是一次函数，在(0, 1)上是递减函数，所以该选项错误；
C．y=1x是反比例函数，在(0, 1)上是递减函数，所以该选项错误；
D．y=x2−x+1是二次函数，在(0, 12)上是递减函数，在(12, 1)上是递增函数，所以该选项错误．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵4>3，
∴焦点在y轴上，
∴ |c|=4−3=1，
∴焦点坐标为(0,1)，(0,−1).
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：由程序框图可知，
i=3，S=6+63=8，
i=2，S=8+82=12，
i=1，S=12+12=24，
则输出的S值为24．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此函数为分段函数问题，分别代入得出函数值即解决问题.
【解答】
解：∵ 函数fx=1x−1, x<1,2x−1, x≥1,
∴ f−2+f2= 1−2−1+22−1=53.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
利用列举法得基本事件1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6个,
其中满足条件的有1,2,1,3,1,4,2,4共4个,再利用古典概型概率得解.
【解答】
解：由题意可知，基本事件有1,2，1,3，1,4，
2,3，2,4，3,4，共6个,
其中满足条件的有1,2，1,3，1,4，2,4，共4个,
则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率P=46=23.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的否定
四种命题间的逆否关系
【解析】
根据否命题，判定A；命题的否定判定；由逆否命题的真假判定；有充分必要条件判定
【解答】
解：对于A，否命题为“若x≠1，则x2+2x−3≠0”，
当x=−3，x2+2x−3=0，故A选项错误；
对于B，¬p:∀x≥1，使得x2−x≥0，故B选项错误；
对于C，该命题的逆否命题：若x=2且y=1，则x+y=3，
这是真命题，故C选项正确；
对于D，当0
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由分布列的性质解得a=12，利用期望的公式解得EX，再利用E2X−1=2EX−1得解.
【解答】
解：由题意，得16+a+13=1，
解得a=12，
则EX=−2×16+−1×12+1×13=−12，
所以E2X−1=2EX−1=2×−12−1=−2.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有ba=3，即b=3a，求出椭圆的半焦距，分析可得a2+b2＝4，解可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．
【解答】
解：根据题意可知，双曲线C:x2a2−y2b2=1的焦点在x轴上，
则其渐近线方程为y=±bax，
若其一条渐近线的倾斜角为60∘，则该渐近线的方程为y=3x，
所以ba=3，
解得b=3a，
且与椭圆x25+y2=1有相等的焦距，
则c2=5−1=4，
所以a2+b2=4，
即a2+3a2=4，
解得a2=1，
所以b2=3，
故双曲线的标准方程为x2−y23=1.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的单调性
正弦函数的对称性
【解析】
利用函数的性质逐项分析得解.
①因为−2sin3x+π4∈−2,2，所以f(x)∈−32,52，最小值为−32，故①正确；
②令3x+π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=π12+kπ3,k∈Z，故②错误；
③令3x+π4=kπ,k∈Z，解得x=−π12+kπ3,k∈Z，故对称中心为−π12+kπ3,12,k∈Z，故③错误；
④令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z，
令k=0，该区间为−π4,π12;当k=−1，该区间为−1112π,−712π，可判定④错误.
【解答】
解：对于①，因为−2sin3x+π4∈−2,2，
所以f(x)∈−32,52，
所以最小值为−32，故①正确；
对于②，令3x+π4=π2+kπ(k∈Z)，
解得x=π12+kπ3(k∈Z)，
所以图象的对称轴是直线x=π12+kπ3k∈Z，
故②错误；
③令3x+π4=kπ(k∈Z)，
解得x=−π12+kπ3(k∈Z)，
所以图象的对称中心为−π12+kπ3,12(k∈Z)，
故③错误；
④令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3(k∈Z)，
令k=0，单调递增区间为−π4,π12，
当k=−1，单调递增区间为−1112π,−712π，
故④错误.
综上所述，正确的只有1个.
故选A.
11.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
正弦定理
【解析】
结合题意画出图形，利用已知条件求出O1A，OO1，从而求得球的半径，进而求球的表面积.
【解答】
解：由题意，设圆O1半径为r，球的半径为R，
则πr2=4π，
∴ r=2.
由正弦定理，得AB=2rsin60∘=23,
∴ OO1=AB=23，
根据圆截面性质OO1⊥平面ABC，
∴ OO1⊥O1A，
R=OA=OO12+O1A2=OO12+r2=4,
∴ 球O的表面积S=4πR2=64π.
故选D.
12.
【答案】
A
【考点】
双曲线的特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，得F1−3,0，F23,0，
又Mx0,y0是双曲线C：x22−y2=1上的一点，
即x022−y02=1，
∴ MF1→⋅MF2→=−3−x0,−y0⋅3−x0,−y0=
x02+y02−3=3y02−1<0，
解得−33
故选A．
二、填空题
【答案】
±6
【考点】
众数、中位数、平均数
等比中项
【解析】
先把数据按照从小到大排序，确定出中位数和众数，由等比中项定义求得结果
【解答】
解：先将这组数据按照从小到大排序为2，2，2，4，5，10，
则这组数据的中位数为2+42=3，众数为2．
所以中位数与众数的等比中项为±2×3=±6.
故答案为：±6.
【答案】
6
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
【解答】
解：∵ 二项式x2+1x36的展开式的通项公式为
Tr+1=C6r⋅(x2)6−r⋅(1x3)r=C6r⋅x12−5r，
令12−5r=7，得r=1，
∴ 二项式x2+1x36的展开式中，含x7的系数为C61=6.
故答案为：6．
【答案】
−1,4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
【解析】
由已知结合基本不等式求出x+y4的最小值，然后结合不等式的恒成立与最值关系，求出m的范围．
【解答】
解：因为正实数x，y满足1x+4y=1，
所以x+y4=x+y41x+4y
=2+y4x+4xy≥2+2y4x⋅4xy=4，
当且仅当y4x=4xy，且1x+4y=1，
即x=2，y=8时，等号成立，
则x+y4的最小值为4，
因为x+y4≥m2−3m恒成立，
所以m2−3m<4，
解得−1
故答案为： −1,4.
【答案】
3−1
【考点】
椭圆的离心率
余弦定理
【解析】
先设出椭圆右焦点为F1，然后利用余弦定理求出|OP|的长度，分类讨论舍去一个值，再由|OP\的长可得三角形PFF1的形状为直角三角形，再由椭圆定义即可求出离心率．
【解答】
解：如图，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1.
设|OF|=c，则|PF|=3c，
在△OPF中，∠FPO=π6，
由余弦定理，得cs∠FPO=|PF|2+|PO|2−|FO|22|PF||PO|
=3c2+|PO|2−c22×3c×|PO|=32，
整理，得|PO|2−3c|PO|+2c2=0，
解得|PO|=c或|PO|=2c.
若|PO|=2c，则OF2+PF2=OP2，
由勾股定理的逆定理可知，△OPF是以∠PFO为直角的直角三角形，
此时P在第二象限，与题意矛盾，舍去；
若|PO|=c，则|PO|=|OF|=c，
由直角三角形的性质，得△FPF1是直角三角形，且PF⊥PF1，
由勾股定理，得|PF|2+|PF1|2=|FF1|2，
解得|PF1|=c，
由椭圆定义，得3c+c=2a，
解得ca=3−1，
即椭圆离心率为3−1.
故答案为：3−1.
三、解答题
【答案】
证明：(1)∵ 在△PAC中，E，F分别是PA，PC的中点，
∴ EF//AC，
∵ EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，
∴ AC//平面BEF．
(2)∵ 在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∴ AB2=AC2+BC2，∴ BC⊥AC．
∵ PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ PC⊥BC．
∵ BC⊥PC，AC∩PC=C，
AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
∵ PA⊂平面PAC，∴ BC⊥PA．
∵ 在△PAC中，AC=PC，E为PA的中点，
∴ PA⊥EC．
∵ PA⊥BC，CE∩BC=C，
CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，
∴ PA⊥平面BCE．
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
【解答】
证明：(1)∵ 在△PAC中，E，F分别是PA，PC的中点，
∴ EF//AC，
∵ EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，
∴ AC//平面BEF．
(2)∵ 在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∴ AB2=AC2+BC2，∴ BC⊥AC．
∵ PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴ PC⊥BC．
∵ BC⊥PC，AC∩PC=C，
AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC．
∵ PA⊂平面PAC，∴ BC⊥PA．
∵ 在△PAC中，AC=PC，E为PA的中点，
∴ PA⊥EC．
∵ PA⊥BC，CE∩BC=C，
CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，
∴ PA⊥平面BCE．
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵ a1，a4，a8成等比数列，
∴ a42=a1⋅a8，
即a1+3d2=a1a1+7d，
∴ a1=9d．
又数列{an}的前10项和为45，
∴ S10=10a1+45d=45，
即90d+45d=45，
解得d=13，
∴ a1=3，
∴ 数列{an}的通项公式为an=n+83.
(2)由(1)可知，an=n+83.
∴ bn=1anan+1=9n+8n+9=91n+8−1n+9，
∴ Tn=9(19−110+110−111+111−112+⋯+1n+8−1n+9)
=919−1n+9=1−9n+9=nn+9.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
等比数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵ a1，a4，a8成等比数列，
∴ a42=a1⋅a8，
即a1+3d2=a1a1+7d，
∴ a1=9d．
又数列{an}的前10项和为45，
∴ S10=10a1+45d=45，
即90d+45d=45，
解得d=13，
∴ a1=3，
∴ 数列{an}的通项公式为an=n+83.
(2)由(1)可知，an=n+83.
∴ bn=1anan+1=9n+8n+9=91n+8−1n+9，
∴ Tn=9(19−110+110−111+111−112+⋯+1n+8−1n+9)
=919−1n+9=1−9n+9=nn+9.
【答案】
解：(1)∵ csA=18，且0
由正弦定理，得asinA=bsinB，
∴ sinB=bsinAa=5716，
又b
∴ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=74．
(2)由(1)可知，sinA=378，
由正弦定理，得S△ABC=12bcsinA，
即12bc×378=1574，
解得bc=20，
由正弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
即b2+c2−2×20×18=36，
∴ b2+c2=41，
b+c2=b2+c2+2bc=41+40=81，
∴ b+c=9．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
同角三角函数基本关系的运用
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ csA=18，且0
由正弦定理，得asinA=bsinB，
∴ sinB=bsinAa=5716，
又b
∴ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=74．
(2)由(1)可知，sinA=378，
由正弦定理，得S△ABC=12bcsinA，
即12bc×378=1574，
解得bc=20，
由正弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA，
即b2+c2−2×20×18=36，
∴ b2+c2=41，
b+c2=b2+c2+2bc=41+40=81，
∴ b+c=9．
【答案】
解：(1)由题意，得e=ca=22,a+c=2+1,a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，c=1.
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)存在，且点P的坐标为2,0. 理由如下：
假设存在Pm,0满足题意，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意可知，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，
则设l的方程为y=kx−1①，
由(1)可知，x22+y2=1，即x2+2y2=2②，
联立①②两式，得y=kx−1,x2+2y2=2,
整理，得1+2k2x2−4k2x+2k2−2=0，
∴ x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
又kAP=y1x1−m，kBP=y2x2−m，
即kAP+kBP=y1x2−m+y2x1−mx1−mx2−m=0，
∴ y1x2+y2x1−my1+y2=0,
即kx2x1−1+kx1x2−1−kmx1+x2−2=0，
∴ 2kx1x2−k+mkx1+x2+2km=0，
解得m=2，
∴ P2,0．
故在x轴上存在一点P2,0，使得∠OPA=∠OPB.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
椭圆的应用
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，得e=ca=22,a+c=2+1,a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，c=1.
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)存在，且点P的坐标为2,0. 理由如下：
假设存在Pm,0满足题意，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意可知，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，
则设l的方程为y=kx−1①，
由(1)可知，x22+y2=1，即x2+2y2=2②，
联立①②两式，得y=kx−1,x2+2y2=2,
整理，得1+2k2x2−4k2x+2k2−2=0，
∴ x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
又kAP=y1x1−m，kBP=y2x2−m，
即kAP+kBP=y1x2−m+y2x1−mx1−mx2−m=0，
∴ y1x2+y2x1−my1+y2=0,
即kx2x1−1+kx1x2−1−kmx1+x2−2=0，
∴ 2kx1x2−k+mkx1+x2+2km=0，
解得m=2，
∴ P2,0．
故在x轴上存在一点P2,0，使得∠OPA=∠OPB.
【答案】
解：(1)由题意，补全关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
则K2=200×80×10−40×702150×50×120×80≈11.111>6.635．
答：有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．
(2)由(1)可知，每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，
且X的取值可以是0，1，2，3，
则PX=0=353=27125，
PX=1=C3125352=54125，
PX=2=C3225235=36125，
PX=3=C33253=8125，
X的分布列如下：
所以EX=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，补全关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
则K2=200×80×10−40×702150×50×120×80≈11.111>6.635．
答：有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．
(2)由(1)可知，每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，
且X的取值可以是0，1，2，3，
则PX=0=353=27125，
PX=1=C3125352=54125，
PX=2=C3225235=36125，
PX=3=C33253=8125，
X的分布列如下：
所以EX=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线C:y2=2px经过点P(2, 2)，
∴ 4p=4，
解得p=1．
∴ 抛物线C的方程为y2=2x．
∴ 抛物线C的焦点坐标为(12,0)，准线方程为x=−12.
(2)由题意可知，直线AB与y轴不垂直，
设直线AB:x=ty+a，且A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由x=ty+a，y2=2x，
消去x，得y2−2ty−2a=0，
∴ y1+y2=2t，y1y2=−2a，
∵ OA⊥OB，且OA→=(x1, y1)，OB→=(x2, y2)，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即y12y224+y1y2=0，
解得y1y2=−4或y1y2=0（舍）．
∴ −2a=−4，
解得a=2．
∴ 直线AB:x=ty+2，
当y=0时，x=2，
∴ 直线AB过定点(2, 0).
S△AOB =12×2×|y1−y2|
=y12+y22−2y1y2=y12+y22+8≥2|y1y2|+8=4，
当且仅当y1=2，y2=−2时，等号成立．
∴ △AOB面积的最小值为4．
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的应用
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
(Ⅰ)根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；
(Ⅱ)直线AB的方程为x＝ty+a，与抛物线的方程联立，可得y2−2ty−2a＝0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，结合OA⊥OB，结合根与系数的关系分析可得y12y224+y1y2=0，进而可得△AOB面积的表达式，分析可得答案．
【解答】
解：(1)∵ 抛物线C:y2=2px经过点P(2, 2)，
∴ 4p=4，
解得p=1．
∴ 抛物线C的方程为y2=2x．
∴ 抛物线C的焦点坐标为(12,0)，准线方程为x=−12.
(2)由题意可知，直线AB与y轴不垂直，
设直线AB:x=ty+a，且A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由x=ty+a，y2=2x，
消去x，得y2−2ty−2a=0，
∴ y1+y2=2t，y1y2=−2a，
∵ OA⊥OB，且OA→=(x1, y1)，OB→=(x2, y2)，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ x1x2+y1y2=0，
即y12y224+y1y2=0，
解得y1y2=−4或y1y2=0（舍）．
∴ −2a=−4，
解得a=2．
∴ 直线AB:x=ty+2，
当y=0时，x=2，
∴ 直线AB过定点(2, 0).
S△AOB =12×2×|y1−y2|
=y12+y22−2y1y2=y12+y22+8≥2|y1y2|+8=4，
当且仅当y1=2，y2=−2时，等号成立．
∴ △AOB面积的最小值为4．P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
对商品不满意
合计
200
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
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